11ª Série de Problemas Mecânica e Ondas (Relatividade) MEBM, MEFT, LEGM, LMAC

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1 11ª Série de Problemas Mecânica e Ondas (Relatividade) MEBM, MEFT, LEGM, LMAC 1. A vida média de uma partícula é 100 ns no seu referencial próprio. 1.a) Qual a duração da partícula no laboratório, sabendo que a sua velocidade é de 0.960c? 1.b) Quanto mede o percurso da partícula no laboratório durante a sua existência? 1.c) Quanto mediria o mesmo percurso se o tempo fosse igual no laboratório e no referencial próprio da partícula, como na Física Clássica. 2. Uma nave espacial tem comprimento L=300 m. Imagine que o seu comandante está no centro da nave enviando simultaneamente dois feixes de luz, um para cada lado oposto da nave onde actuam um mecanismo de abertura automática de portas. 2.a) Calcule o instante em que a luz atinge a parede do lado esquerdo. A nave espacial relativista move-se da esquerda para a direita com velocidade v=0.8c relativamente ao espaçoporto (estação espacial). 2.b) Calcule, no referencial da nave, ao fim de quanto tempo abrem as portas da frente e a de trás, situadas nos dois extremos opostos da nave. A abertura das portas é simultânea no ponto de vista do capitão? 2.c) Refaça a alínea 5.a) no referencial do espaçoporto. 3. Um neutrão livre tem um período de semi-vida no seu referencial próprio de 11.0 min (só no núcleo, com outros neutrões e protões, é que o neutrão é mais estável), desintegrando-se num electrão, num protão e num neutrino (declínio β - ). Considere um feixe de neutrões produzido numa das muitas reacções de fusão nuclear que ocorrem no Sol. 3.a) Quanto tempo deve decorrer no referencial próprio dos neutrões para que o seu número se reduza a 1% do número inicial? (Lembre-se do declínio radioactivo) 3.b) Suponha que os neutrões se deslocam a uma velocidade média de 106 m/s (na realidade a velocidade é menor) e considere que a distância Terra-Sol é de 1.49 x m. Quanto tempo demoraria um neutrão a chegar à Terra, para um observador na Terra? 3.c) A partir dos resultados de a) e de b), diga se há perigo de os neutrões solares atingirem a Terra. (Lembre-se que só pode comparar grandezas medidas no mesmo referencial!).

2 4. Um farol espacial roda em torno do seu eixo com uma velocidade angular constante, ω. O ponto iluminado pelo feixe a uma distância R do farol tem uma velocidade dada pela expressão clássica v=ωr. Assim, para uma distância suficientemente grande, verifica-se que v se torna maior que c, a velocidade da luz. Como explica este resultado? 5. Uma nave, cujo comprimento em repouso é de 60 m, afasta-se de um observador na Terra. A sua velocidade pode ser determinada enviando um sinal luminoso da Terra que é reflectido de volta por dois espelhos colocados em cada uma das extremidades da nave. Começa-se por receber um sinal de resposta (1), resultante da reflexão no espelho mais próximo do observador na Terra, seguido de um sinal de resposta (2), que resulta da reflexão no espelho mais afastado. O segundo sinal é recebido pelo observador na Terra 1,74 μs depois da recepção do primeiro. 5.a) Qual é a velocidade da nave? 5.b) A nave transporta um laboratório de Física onde se produzem mesões que se deslocam com uma velocidade de 0.999c em relação a esta. Qual é a velocidade destes mesões em relação a um laboratório na Terra? (compre com o resultado clássico). 6. A nave espacial Enterprise desloca-se com velocidade de 0.96c em relação a uma base espacial da Federação. O comprimento da nave medido por um dos técnicos da base da base é de 60 m. Dentro da nave, um feixe de muões é disparado com uma velocidade de 0.9c de uma extremidade à outra, no sentido do movimento da nave. 6.a) Quanto tempo demora o feixe a realizar esse trajecto, para o comandante da nave 6.b) No relógio de um dos técnicos da base da Federação, quanto tempo demora o feixe a realizar o seu percurso? 6.c) Qual a velocidade do feixe de muões no referencial da base espacial?

3 7. Um atleta corre com velocidade V transportando uma barra horizontal de comprimento L 0 cujas extremidades são A e B. No ponto médio da barra existe uma fonte que emite luz (Fig.1). Fig.1 Nas respostas às alíneas que se seguem, compare a solução relativista com a solução clássica, não relativista. 7.a) A fonte emite um impulso. Calcule os intervalos de tempo para a luz chegar a A e a B, medidos no referencial do corredor. 7.b) O mesmo, mas no referencial de quem está parado. 7.c) Qual deverá ser a velocidade V para que, no referencial de quem está parado, a tabua tenha um comprimento L=L 0 /2. 7.d) Se a barra com a velocidade V calculada em c) entrar numa garagem de comprimento L=L 0 /2 (Fig.2) os acontecimentos passagem da extremidade B da barra pela porta P B e passagem da extremidade A pela porta P A são simultâneos no referencial da garagem. E no referencial da barra? Qual o comprimento da garagem no referencial da barra? 7.e) Se no instante em que, para o referencial da garagem, a barra está toda lá dentro, forem simultaneamente fechadas as portas P A e P B, a barra fica fechada na garagem. Como é isto possível se, para um observador ligado à barra (o corredor), esta tem comprimento L 0 e a garagem um comprimento menor? Calcule a diferença entre o comprimento da garagem e o da barra no referencial do corredor e compare com o espaço percorrido pela garagem no intervalo de tempo entre o fecho das portas. 7.f) Qual o intervalo no espaço-tempo entre os dois acontecimentos nos dois referenciais. Fig.2

4 8. Uma civilização extraterrestre em exercícios militares na vizinhança da Terra, lança acidentalmente um míssil em direcção ao ponto mais estratégico do nosso planeta: a base das Lajes. O Super-Homem em férias no espaço, é avisado do perigo eminente. Quando na base terrestre das Lajes começa oficialmente a monitorização da missão de salvamento, o míssil encontra-se a 10 8 m com uma velocidade de 2x10 7 ms -1 (acontecimento A) e o Super-Homem encontra-se a 9x10 8 m (acontecimento B) com uma velocidade de cruzeiro v e perfeitamente alinhado com a direcção do míssil. 8.a) Calcule a velocidade de cruzeiro do Super-Homem para que este salve o planeta no último instante (acontecimento C). 8.b) Calcule no referencial do Super-Homem a distância no tempo e no espaço entre os acontecimento B e C. 8.c) Mostre que o intervalo do Universo entre os acontecimento B e C (Δs), é de facto igual no referencial da Terra e no referencial do Super-Homem (intervalo invariante). 8.d) O Super-Homem já em velocidade de cruzeiro para a Terra, envia um sinal rádio de frequência 10 5 Hz na direcção da base. Qual a frequência em que deve ser sintonizado o receptor da base? 8.e) Afinal o Super-Homem estava no parque de diversões de Martepólis. Sendo a distância Terra-Marte de m, refaça a línea a). 9. O bosão de Higgs (com, por exemplo, uma massa m H =2 x10-25 kg e um tempo próprio de vida t H =2x10-24 s) será activamente procurado no LHC. Considere um bosão de Higgs com velocidade v H =0.998c (β H2 =0.996) no referencial do laboratório. 9.a) Calcule no referencial do laboratório, o momento linear e a energia do bosão de Higgs. Compare com os valores obtidos no referencial do centro de massa. 9.b) Determine no referencial do laboratório, a distância percorrida pelo bosão de Higgs antes de decair. 9.c) Suponha que o bosão de Higgs decai em dois fotões, emitidos ao longo da linha de voo do bosão. Determine, no referencial do centro de massa do Higgs, a energia dos fotões emitidos. 9.d) Determine no referencial de laboratório a energia dos fotões emitidos. 9.e) Verifique que poderia ter chegado ao resultado da alínea d) utilizando o efeito de Doppler.

5 10. A descoberta do J/Ψ em 1974 foi uma autêntica revolução na física de partículas, com a confirmação do modelo dos quarks o J/Ψ é uma partícula formada por um quark c (charme) e o seu antiquark. O J/Ψ tem uma massa de aproximadamente kg e um tempo de vida de cerca de 5x10-20 s. Considere um J/Ψ que no referencial do laboratório tem uma velocidade de c. 10.a) Calcule, no referencial do laboratório, o momento linear e a energia do J/Ψ. 10.b) Determine, no referencial do laboratório, a distância percorrida pelo J/Ψ antes de decair. 10.c) Suponha que o J/Ψ decai num par electrão-positrão (electrão positivo). Que fracção da massa do J/Ψ desaparece no decaimento. Porquê? 10.d) Determine, no referencial do CM do J/Ψ, o momento linear do electrão resultante. 11. No Sol, são convertidas, por segundo, milhões de toneladas de hidrogénio e hélio, protões e energia através de reacções de fusão nuclear. Uma dessas reacções é descrita por 3 He + 3 He -> 4 He + 1 H + 1 H. 11.a) Sabendo que as massas do 3 He, do 4 He e do 1 H são respectivamente x10-27 kg, x10-27 kg e x10-27 kg, calcule a energia cinética libertada pela fusão nuclear de cada par de 3 He em repouso. 11.b) Suponha que inicialmente os dois núcleos de 3 He se dirigem um para o outro com uma velocidade de 0.5c e que depois da reacção a velocidade de recuo do 4 He, relativamente ao CM, é de 0.3c. Qual é a energia transportada pelos dois átomos de hidrogénio produzidos na reacção, no referencial do CM? 11.c) Calcule o módulo do momento linear de cada um dos átomos de hidrogénio, supondo que estes seguem com momentos de igual módulo. 11.d) Com que ângulo são emitidos os dois átomos de hidrogénio em relação à direcção de recuo do 4 He? Faça um esquema.

6 12. Suponha que na alta atmosfera, a partir da radiação cósmica, é produzido um mesão π - (pião) com uma massa m π 25x10-29 kg. O pião decai num muão μ - de massa m μ 20x10-29 kg e num anti-neutrino ν de massa desprezável. O tempo de vida médio do pião é τ π - 2.5x10-8 s. 12.a) Se o pião for criado na alta atmosfera, com uma energia total E π =3.5 x10-11 J no referencial da Terra, qual a sua velocidade vista também do referencial da Terra? 12.b) Qual o espaço percorrido pelo pião até decair visto dos referenciais próprio e da Terra? 12.c) Calcule o momento linear total do sistema, após o decaimento do pião, nos referenciais do pião e da Terra. 13. Num laboratório são produzidos feixes de muões e anti-muões (partícula e anti-partícula semelhantes ao electrão e positrão mas com uma massa m µ ~ 200 m e ) para realizar colisões. Considere que o tempo médio de vida dos muões em repouso é 2,2x10-6 s. Considere como acontecimento A a produção de um muão numa das pontas do laboratório e como acontecimento B o desaparecimento desse muão, por decaimento, ao fim do seu tempo de vida médio e na outra ponta do laboratório. 13.a) Determine o módulo da velocidade com que o muão se deve deslocar em relação ao referencial do laboratório, V, de modo a que t AB lab= 4x10-6 s. 13.b) Determine a distância percorrida pelo muão durante o seu tempo média de vida no referencial do laboratório e no seu referencial próprio ( X AB lab e X AB muão). 13.c) Fazem-se colidir frontalmente um muão e um anti-muão tendo cada um, no referencial do laboratório, o módulo da velocidade obtida em a). Será possível obter da colisão um hipotético bosão de Higgs com uma massa de 3x10 5 m e? Justifique.

7 14. Considere um mesão π 0 que entra na atmosfera da Terra com uma energia de 100 GeV e que durante o seu percurso na atmosfera da Terra decai em dois fotões. 14.a) Determine a velocidade com que o pião entra na atmosfera da Terra. 14.b) Determine, no referencial do π 0, a energia e o momento de cada um dos fotões resultantes do decaimento do π c) Determine a energia e o momento, no referencial da Terra de cada um dos fotões resultantes do decaimento do π 0, considerando que os fotões são emitidos segundo a linha de voo do π d) Quais são as velocidades no referencial da Terra dos fotões resultantes do decaimento do mesão π 0?