Partículas: a dança da matéria e dos campos

Transcrição

1 Partículas: a dança da matéria e dos campos Aula 15 Quântica e Relatividade 1. Rotações no espaço-tempo Intervalos, eventos, cone de luz. Dilatação do tempo e contração do espaço 3. Antipartículas. Dirac e o pósitron 4. Gráficos de Feynman

2 Rotações no espaço-tempo Uma característica importante da rotações e que ficou mascarada na discussão anterior é o conceito de invariante: a quantidade D²=x²+y²+z² é o que se chama de um invariante sob rotações (já discutimos isso no caso de rotações no plano). A este invariante está associada a idéia de que a esfera é um escalar (i.e., invariante) sob rotações, pois uma esfera é definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um dado centro é constante. Sob um ponto de vista mais formal, o grupo de rotações pode ser definido como o conjunto de operações que deixam inalterada a quantidade D²=x²+y²+z².

3 Rotações no espaço-tempo Retornemos agora à nossa discussão de muitas aulas atrás sobre o resultado da experiência de Michelson-Morley: a velocidade da luz, c, é uma constante. Isto significa que um pulso de luz que sai de um dado ponto e se propaga pelo espaço em todas as direções abrange, em cada instante do tempo, uma superfície esférica de raio D. MAS, como a velocidade da luz é uma constante, devemos ter para esse pulso de luz um raio igual a ct: D² = x²+y²+z² = c²t² Colocado de outra forma, c²t²- (x²+y²+z²) = 0 tem que ser um invariante para a luz. Sabemos, como conseqüência da relatividade de Einstein, que a coordenada temporal é uma coordenada tão boa quanto as espaciais e portanto a forma quadrática: S²=c²t²-(x²+y²+z²) deve ser um invariante sob rotações no espaço-tempo (transformações de Lorentz). S² é uma quantidade que deve ser a mesma quando medida por qualquer observador inercial. Comentário: Poderia ter sido feita outra escolha: S²=-c²t²+(x²+y²+z²), o que corresponderia a escolher outra métrica.

4 Intervalos entre dois eventos DS²>0 c²dt²> Dr (=Dx²+ Dy²+ Dz²): intervalo tipo tempo. Um observador com velocidade menor do que c pode ser enviado de um evento a outro. DS²<0 c²dt²< Dr : intervalo tipo espaço. Não há como fazer uma relação causal entre esses dois eventos, pois eles demandam v>c DS²=0 c²dt²= Dr : intervalo tipo luz.

5 Representações t t t 1 t 1 t 0 x 0 t 0 x 0 x 1 x x 1 x Inclinação velocidade Portanto a inclinação máxima: c

6 c invariante espaço-tempo Experiência com propagação da luz espaço espaço t Eventos tipo tempo Cone de luz Eventos tipo espaço x y c invariante todos os cones têm a mesma abertura

7 t Eventos Cone de luz t 1 t 0 x 01 x

8 Eventos t t 1 t t 0 x 01 x Simultaneidade depende do observador ordem temporal dos eventos também

9 Dilatação do tempo Experiência com um relógio movido a luz c invariante t = γt próprio, com γ = (1-v /c ) -1/ 1 tic tic L L tac tac Entre tacs: Δt = L/c Entre tacs: Δt = L /c Como L > L Δt > Δt

10 Tempo próprio No relógio em repouso: t próprio =L/c Em movimento (observado por alguém parado): L =(x +L ) 1/, onde x=tv sendo t o intervalo entre um tic e um tac. Como c é a velocidade limite: t=l /c Portanto: ( L ) x + L ( vt) + ( t próprioc) t próprio t = c = c = c t = v c 1 = γt próprio

11 Dilatação do tempo/contração do espaço Conseqüência: um relógio cujos "tic-tacs" estão separados por um intervalo de tempo t próprio =L/c, quando em repouso, tem esse intervalo alterado para: t=(1-v²/c²) -1/ t próprio. Em outras palavras, o relógio em movimento anda mais devagar quando observado por alguém em repouso.

12 Dilatação do tempo/contração do espaço Uma verificação desse fato é a detecção de píons (π ±, π 0 ) na superfície da Terra; os píons são produzidos pela colisão de raios cósmicos com núcleos da alta atmosfera (cerca de km de altura) e têm uma vida média da ordem de, segundos (os píons carregados; o π 0 tem uma vida média consideravelmente menor 8, s). Os píons assim produzidos decairiam muito antes de poder chegar à superfície da Terra Mesmo assumindo que eles viajassem à velocidade da luz teríamos: , =0,008 km). De maneira simétrica, o comprimento para o observador em movimento se contrai em relação ao em repouso: l=(1-v²/c²) +1/ l próprio

13 x Representações t Partícula ao absorver energia: Partícula ao emitir energia: B A

14 Quântica + Relatividade Quântica trajetória Relatividade simultaneidade Fora do cone B A 1

15 Situação B x A Situação 1 antipartícula B t A 1 Evento precede evento 1! Partícula que anda para trás no tempo, ou Duas partículas que aparecem em e uma delas se aniquila com a original em 1. Aparecer?!

16 Quântica: Quântica + Relatividade ΔEΔt Relatividade: h E = mc ΔmΔt Então: Δt h mc. E se Δt for menor... Resumindo: c ser invariante + princípio da incerteza mistura espaço e tempo de um jeito tal que a ordem temporal de certos eventos torna-se indefinida; a relação de incerteza entre variáveis conjugadas faz com que não seja possível definir a trajetória de uma partícula; esses fatos implicam que, a cada partícula, corresponda uma antipartícula. h c

17 Pósitrons Pósitrons haviam já sido previstos por Dirac ( 198), quando da formulação da mecânica quântica relativística e sua descoberta deve-se a C. Andersson (193) Uma olhada em: electromag-events1.htm pode ser interessante: é feita uma cuidadosa anállise de resultados de eventos em câmara de bolhas (na verdade, o sítio contém muito material interessante voltado para professores do ensino médio europeu). A interpretação de que pósitrons podem ser entendidos como elétrons caminhando para trás no tempo é devida a Feynman. Dirac, porém, inventou algo tão estranho quanto: o conceito de um vácuo cheio. Todas as partículas conhecidas têm suas respectivas antipartículas (a notação usual é o próprio nome com uma barra na parte superior; exceção:e - e + ; π + π - ); em alguns casos, as partículas são suas próprias antipartículas (e.g., o fóton, ou o méson π 0 ).

18 Pósitrons Ao resolver a equação relativística para o elétron, Dirac levou a sério o sinal "-" na expressão da energia: E= (p c +m 0 c 4 ) 1/ O sinal "+" é óbvio, tinha que estar lá, mas levar em conta o sinal negativo exigia uma grande coragem, ousadia e engenhosidade. Para contornar a óbvia dificuldade ligada à existência de estados de energia negativa, que tornaria impossível a existência dos sistemas físicos tal com os entendemos na Natureza, Dirac propôs que esses estado estivessem todos ocupados. Elétrons são férmions, mesmo esses com energia negativa. Assim, ele fez algo ainda impactante: criou o conceito de um vácuo repleto de elétrons ocupando os estados de energia negativa. Um fóton com E m 0 c poderia excitar esse vácuo gerando um par elétron-pósitron (i.e., um elétron e a ausência de um elétron no mar de Dirac ).

19 Tomografia por emissão de pósitrons Núcleo do Flúor 18 Eletrônica de coincidência Pósitron + Reconstrução de imagem Raio gama Elétron Raio gama -fluor--desoxi-d-glucose : FDG Hidrogênio Oxigênio Carbono Oxigênio Aniquilação Flúor 18

20 Gráficos de Feynman A figura apresenta os processos elementares associados à eletrodinâmica. Deve ser observado que a relatividade da simultaneidade demanda todos esses processos. Os gráficos de Feynman são uma ferramenta adequada para a representação e cálculo de processos envolvendo a troca de fótons entre partículas carregadas (eletrodinâmica quântica); com as devidas adaptações, os gráficos de Feynman foram aplicados a processos mediados por outros tipos de interação.