Fundamentos da Eletrostática Aula 05 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

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1 A lei de Coulomb Fundamentos da Eletrostática Aula 5 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Conforme mencionamos anteriormente, trataremos neste curso de distribuções estáticas de cargas; isto é, vamos sempre supor que os corpos carregados permanecem xos durante todo o tempo e, como conseqüência, todas as grandezas que vamos considerar são independentes do tempo. Esta simplicação nos permitirá encontrar com mais facilidade forças, campos e energia de tais congurações. Neste processo, você deverá praticar várias das habilidades necessárias para o desenvolvimento completo da teoria eletromagnética, que envolve a situação de cargas em movimento. Começamos com a lei de Coulomb, uma constatação exerimental de que a força sobre uma carga pontual q 1 localizada em r 1, devido à existência de uma outra carga q 2 localizada em r 2 é F = q 1q 2 r 1 r 2 r 1 r 2 3. Aparece nesta expressão a constante fundamental ε = C 2 N m 2, NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 1

2 chamada de permissividade do vácuo. Você verá mais adiante que o eletromagnetismo possui outra constante fundamental, µ, relacionada ao campo magnético gerado por cargas em movimento, 7 N s2 µ = C 2. Note que o produto ε µ tem dimensões de 1 (velocidade) 2. De fato, James Clerck Maxwell descobriu, no nal do século XIX, que ε µ está relacionado à velocidade da luz através de c = 1 µ ε. O fato de que a luz não é mais que um fenômeno eletromagnético foi uma das maiores descobertas do século XIX. A radiação eletromagnética recebe diferentes nomes conforme o seu comprimento de onda típico - luz, microondas, ondas de rádio, raios-x, etc..., e suas aplicações práticas são tão difundidas que é difícil imaginar a vida moderna sem elas. Carga Elétrica Paramos agora para uma observação sobre a carga elétrica. É observado que as cargas livres (manipuláveis) existentes na natureza são encontradas em múltiplos inteiros de uma unidade de carga. Tal unidade corresponde exatamente à carga de um elétron, q e = C. O elétron é considerado uma partícula pontual, sem estrutura interna, na teoria padrão que descreve parte das interações fundamentais da natureza. Por se tratar de uma partícula microscópica, o comportamento do elétron só pode ser descrito por uma teoria quântica, e na mecânica quântica não é possível ter controle total da trajetória do elétron para testar, por exemplo, a lei de Coulomb entre dois elétrons. Por outro lado, q e é um número extremamente pequeno e as cargas macroscópicas que manipulamos em laboratório envolvem tipicamente um número muito grande de elétrons. Isto nos permite usar uma aproximação clássica em que carga elétrica pode estar continuamente distribuída num dado volume, por exemplo. Assim, podemos considerar as cargas contidas em um dado volume, por exemplo, como resultando de uma distribuição contínua de cargas, com uma densidade volumétrica ρ (r). Denimos ρ num ponto r da seguinte maneira: consideramos um dado volume V em torno de r, contendo n ( V ) elétrons. Não podemos simplesmente tomar NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 2 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 3

3 V, ou a natureza corpuscular da carga elétrica se tornará evidente. Assim, tomamos V muito pequeno (do ponto de vista macroscópico), mas ainda assim grande o suciente para envolver um número considerável de elétrons. V. Assim, ρ (r) = n ( V ) q e lim V V Denotamos este limite físico por q = lim V V, de Coulomb? No mundo microscópico, devemos usar a mecânica quântica para descrever os fenômenos, e aí não se pode empregar o conceito de força. Contudo, o conceito de potencial tem grande importância, e a medida, por exemplo, das linhas espectrais do átomo de Hidrogênio mostram que o elétron está ligado ao núcleo atômico por um potencial que, com grande precisão, é da forma 1 r, justamente o potencial clássico de Coulomb. e a distribuição contínua ρ (r) é uma boa aproximação para uma distribuição de elétrons carregados, de tal forma que a carga total em V seja dada por Q = V ρ (r) d 3 V. (Tudo isto é feito, na prática, porque é muito mais fácil manipular formalmente integrais do que somas). Dito isto, o que realmente entendemos por cargas pontuais, quando nos referimos à lei de Coulomb? Na verdade, as observações experimentais que levaram a esta lei envolvem cargas concentradas em corpos carregados de volumes muito pequenos, de tamanho muito menor do que as distâncias entre os corpos envolvidos. Nestas condições, o fato de que a força elétrica varia como 1 r 2 foi vericado experimentalmente com grande precisão. De ora em diante, sempre que nos referirmos a carga pontual estamos nos referindo a este tipo de concentração macroscópica de cargas. Podemos nos perguntar sobre a validade da lei de Coulomb no nível microscópico ou seja, elétrons individuais obedecem à lei NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 4 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 5

4 Leitura suplementar I No começo do século XX, Robert Millikan efetuou uma experiência para medir a carga do elétron observando que, com grande precisão, micropartículas de óleo carregadas sempre possuíam carga igual a um múltiplo inteiro de um certo valor, uma unidade indivisível de carga, que foi entendida como sendo igual à carga de um único elétron. Este experimento valeu-lhe o prêmio Nobel de física em 1923 e é considerado um dos mais belos experimentos da física realizados até hoje. Veja mais em: Leitura suplementar II A teoria clássica do eletromagnetismo não é suciente para a eletrônica moderna; seu componente mais fundamental, o transistor, só tem seu funcionamento explicado pela mecânica quântica. Além disso, existem transistores sensíveis à passagem de um único elétron, para os quais a aproximação macroscópia discutida acima é totalmente inválida. Veja mais em: Princípio da Superposição Dada uma carga pontual Q localizada em r, a lei de Coulomb nos diz qual a força que ela sente devido à presença de uma carga q 1 localizada em r 1. Mas e se houverem outras cargas presentes? Digamos que exista (além de Q) uma coleção de N cargas q i, cada uma localizada no ponto r i. É um fato experimental da maior importância que vale o princípio da superposição: a força sentida por Q é simplesmente a soma das forças F i, calculadas como se só existisse a carga q i além de Q. Ou seja, F = F 1 + F 2 + [ ] = Q r r 1 q 1 r r q r r 2 2 r r = Q N q i r r i r r i 3 No caso de uma distribuição contínua, a soma será substituída por uma integral sobre a distribuição de carga ρ (r) da seguinte forma, Q 3ρ (r ) d 3 V. NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 6 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 7

5 (quando não especicamos o volume de integração é porque integramos sob todo o espaço). Note que podemos escrever e Q linha 3λ (r ) dl. dq = ρ (r ) d 3 V = ρ (r ) dx dy dz, onde dq é a quantidade innitesimal de carga presente numa região innitesimal em torno do ponto r. Já se a carga estiver distribuída apenas sobre uma superfície, dq será dada por uma distribuição supercial de carga, Para concluir, notamos que para uma distribuição discreta de N cargas q i, podemos denir uma distribuição ρ (r ) por meio da função δ (r r i ), onde r i é a posição de cada carga q i : de tal forma que ρ (r ) = N q i δ 3 (r r i ), e dq = σ (r ) da ρ (r ) d 3 V = N q i δ 3 (r r i ) d 3 V = N q i, Q superfície Se a carga estiver distribuída apenas sobre uma linha (situação que descreve, por exemplo, um longo o condutor, com diâmetro muito menor que seu comprimento), dq será descrita por uma distribuição linear de carga, 3σ (r ) da. e Q 3ρ (r ) d 3 V = Q N q i 3δ3 (r r i ) d 3 V = Q N q i r r i r r i 3, dq = λ (r ) dl que é justamente a força para uma coleção discreta de cargas. NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 8 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 9

6 Num caso mais geral, envolvendo várias distribuições de cargas, podemos simplesmente escrever Q 3dq, onde subentende-se que a integral extenda-se por toda região em que há carga, e em cada situação deve-se tomar o dq apropriado. Alternativamente, podemos escrever explicitamente para a força total [ Q { ρ (r 3 ) + ρ discreto (r ) } d 3 V + superfície 3σ (r ) da ] + 3λ (r ) dl. linha Na expressão geral O Campo Elétrico Q 3dq, existe uma clara assimetria entre as cargas dq (que são integradas) e a carga Q, que só aparece como um fator multiplicativo na força F. Isto signica que a razão F (r) Q = E (r), denominada de campo elétrico E no ponto r, pode ser calculada sem especicar o valor de Q. Q é a chamada carga teste e dq as cargas fontes do problema em questão. Na verdade, embora a força F só exista quando a carga Q está presente, podemos pensar que o campo elétrico produzido pelas cargas dq existe em r, mesmo se Q está ausente. Assim, uma distribuição de cargas ρ (r) cria um campo elétrico E (r) em todo o espaço, que pode ser calculado de forma geral como E (r) = 1 3dq, NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 1 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 11

7 ou, mais explicitamente, [ E (r) = ( ρ (r ) + ρ discreto (r ) ) d 3 V superfície linha 3σ (r ) da 3λ (r ) dl ]. Exemplo 1: distribuição linear de carga Problema: determinar o campo elétrico em um ponto P no eixo z, considerando que há uma distribuição linear de cargas, com densidade constante λ, localizada sobre o eixo dos x, que se extende de x = até x = L. O campo elétrico só depende das cargas dq. Não podemos, contudo, medir diretamente o campo elétrico: precisamos colocar uma carga de teste Q num dado ponto do espaço, medir a força exercida sobre esta carga, e daí inferimos E. Geralmente, é preciso considerar Q pequena o bastante para não inuenciar signicativamente as cargas fontes que queremos estudar. O fundamental é que podemos calcular e estudar o campo elétrico sem precisar da carga teste Q, e é o que faremos no restante deste curso. Posição de dq : r = x x Posição de P : r = z ẑ Elemento de carga: dq = λdx E (r) = 1 = 1 L 3dq zẑ x x ( z 2 + (x ) 2) λ 3/2 dx Como x é uma variável muda, vamos mudá-la para x por comodidade, NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 12 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 13

8 e calcular: L E (zẑ) = λ zẑ xx dx (z 2 + x 2 3/2 ) [ = λ L ] dx L xdx zẑ x (z 2 + x 2 3/2 ) (z 2 + x 2 ) 3/2 e daí E (zẑ) = [( ) ] λ L z z L3 2z z 3 ẑ L2 2 z 3 x. Por integração direta, ou consultando uma tabela de integrais, obtemos: L dx (z 2 + x 2 ) = x 3/2 z 2 z 2 + x 2 L = L z 2 z 2 + L 2 L e portanto, E (zẑ) = x dx (z 2 + x 2 ) = 1 L 3/2 z2 + x 2 λ [ L z z 2 + L 2ẑ = 1 z 1 z2 + L 2 ( ) ] 1 z 1 x z2 + L 2. Se supomos que z L, vale a aproximação 1 z2 + L = 1 2 z ( 1 + L2 z 2 )1 2 ) 1 (1 L2 z 2z 2 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 14 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 15

9 Exemplo 2: carga numa casca esférica Problema: determinar o campo elétrico dentro e fora de uma superfície (casca) esférica com densidade de carga supercial constante σ. Sem perda de generalidade (por quê?), podemos escolher o ponto P no eixo dos z. Portanto: r =zẑ r =Rr = x x + y ŷ + z ẑ =R sin θ cos φx + R sin θ sin φŷ + R cos θẑ Logo, E (zẑ) = 1 3dq = σ π 2π zẑ (R sin θ cos φx + R sin θ sin φŷ + R cos θẑ) dθ dφ `z2 R 2 sin θ + R 2 2zR cos θ 3/2 = σr2 π 2π R sin θ (cos φx + sin φŷ) + (z R cos θ) ẑ dθ dφ `z2 sin θ + R 2 2zR cos θ 3/2 A integral em cos φ e sin φ são nulas no intervalo [, 2π], logo só sobra 2π E (zẑ) = σr2 = σr2 2ε ẑ π π dφ (z R cos θ) ẑ dθ sin θ (z 2 + R 2 3/2 2zR cos θ) (z R cos θ) sin θ dθ (z 2 + R 2 2zR cos θ) 3/2 Novamente, uma integral que deve ser feita: = ( r 2 2 r R cos θ + R 2 ) = z 2 + R 2 2zR cos θ π (z R cos θ) sin θ dθ (z 2 + R 2 2zR cos θ) = 3/2 = z2 2zR + R 2 + z R z 2 (z 2 2zR + R 2 ) z R + z R z 2 z R dq = σda = σr 2 sin θdθdφ Note que, dentro da esfera, temos z < R e z R = (z R), portanto E (zẑ) = (pontos dentro da esfera) NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 16 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 17

10 Já fora da esfera, temos z > R e z R = z R, logo E (zẑ) = σr2 ε z 2ẑ Note que q = 4πR 2 σ, logo E (zẑ) = q ẑ z 2. Questões: 1. Interprete sicamente este resultado, 2. O que a simetria esférica permite concluir sobre E (r) se r não está no eixo dos z? 3. Você consegue argumentar sicamente por que o campo elétrico dentro da esfera é zero? NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 18