Eletromagnetismo. Eletrostática: O Potencial Elétrico

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1 Eletromagnetismo Eletrostática: O Potencial Elétrico

2 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 1 Introdução Os problemas mais simples do eletromagnetismo são aqueles que envolvem cargas elétricas distribuídas de tal forma que as densidades que descrevem a distribuição de cargas não se alteram com o tempo. Admitimos igualmente que, na mesma região do espaço, os campos magnéticos (se existirem) são, igualmente, estáticos. É nesse sentido que utilizamos a palavra estática. As duas condições enunciadas acima podem ser resumidas assim: ρ ρ ( xyzt,,, ) =ρ ( xyz,, ) = 0 t B B( xyzt,,, ) = B( xyz,, ) = 0 t O campo magnético acima citado (caso exista) não teria sido provocado pelas cargas estáticas aludidas acima. Assim, a situação mais comum na eletrostática é o campo magnético ser nulo. Consideraremos neste capítulo só esse caso. Escrevemos: ( 1 ) B = 0 ( ) Cargas elétricas em repouso produzem dois tipos de campos. O primeiro deles - o campo denominado potencial elétrico - será tratado neste capítulo. No entanto, antes de introduzi-lo devemos abordar o próprio conceito de campo. O conceito de Campo A rigor, não há necessidade de os corpos estarem em contato para que eles interajam entre si. Em particular, todas as interações fundamentais são interações à distância. Para descrevermos interações à distância, fazemos uso do conceito de campo. Com isso queremos dizer que, nas formulações mais gerais e abrangentes dos fenômenos físicos, lançamos mão desse conceito. Esse é o caso, por exemplo, da teoria da gravitação formulada por Einstein e da teoria eletromagnética formulada por Maxwell.

3 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico Conquanto o conceito de campo seja um pouco abstrato, ele é um conceito fundamental e que permeia toda a Física, da Física Clássica à Física Quântica. A ideia de descrever as interações utilizando campos parte do pressuposto de que um objeto (uma partícula, um átomo, uma maçã etc.) altera, com a sua mera presença, as propriedades do espaço. A descrição dessa alteração nas propriedades do espaço se dá através do campo, que ocupa todo o espaço. O campo abriga o conteúdo de informações, do ponto de vista das interações, que se pode extrair a respeito de objetos existentes numa determinada região do espaço. Isso se torna verdadeiro na medida em que os objetos interagem entre si através dos campos gerados por eles. Nesse sentido, a interação com o campo é equivalente à interação com aquilo que o produziu. É importante ressaltar que o campo existe independentemente da existência de outros objetos que interajam com ele. Dito de outra forma, quando uma partícula se encontra numa determinada região do espaço em que ela experimenta a ação de uma força, pode-se argumentar que a partícula se move numa região que tem características especiais. O campo, nessa visão, seria uma propriedade de uma região do espaço e essa propriedade é independente da existência das partículas que se movam nela. A esse algo de especial existente em cada ponto do espaço, e que dá origem à força sobre uma partícula num determinado ponto do espaço, denominamos campo. Nessa forma de encarar os fenômenos, o agente que é responsável pela interação entre as partículas é o campo. Consideremos um caso relativamente simples: o nosso planeta. A Terra exibe três tipos de campo: um campo é denominado campo gravitacional;o outro, campo elétrico e; finalmente, o campo magnético. Assim, os constituintes da Terra (os agregados de átomos) produzem campos que preenchem o espaço físico à sua volta. Esses campos são ilustrados nas figuras abaixo. Campos gravitacional, elétrico e magnético da Terra.

4 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 3 Um objeto próximo à superfície terrestre, como uma maçã ou uma bússola, interage com a Terra através de um ou mais desses campos. O resultado da interação de um objeto com o campo gravitacional terrestre é o movimento dos projéteis. A queda de uma maçã é um exemplo simples. O movimento dos satélites já não é tão simples assim. A interação de uma agulha imantada com o campo magnético da Terra resulta na sua orientação ao longo de direções preferenciais. Ela sempre se orienta na direção dos polos. Cargas elétricas geram Campos O conceito de campo desempenha um papel central no eletromagnetismo bem como em relação às demais interações e isso porque não há como fazer uma descrição dos fenômenos elétricos e magnéticos sem fazer uso de tal conceito. Numa linguagem científica mais precisa, dizemos que os atributos dos constituintes geram campos. Assim, uma partícula como o elétron gera, com sua mera presença, campos ditos eletromagnéticos. A interação com os demais objetos dotados do mesmo atributo se dá por meio deles. Essa é a base da descrição das interações eletromagnéticas. Assim, objetos dotados de atributos como a carga elétrica produzem campos que ocupam o espaço físico. Os demais objetos dotados do mesmo atributo interagem com os primeiros por meio desse campo. Assim, não há como falar dos fenômenos eletromagnéticos sem introduzir o conceito de campo. Em particular, as leis do eletromagnetismo são expressas em termos de taxas de variação pontual ou taxas de variação instantânea de campos. No eletromagnetismo devemos falar em dois tipos de campos fundamentais denominados potenciais. O potencial elétrico (que é um campo escalar) e o potencial vetor. Os demais campos, como o campo elétrico e o campo magnético, são, a rigor, derivados desses dois. Para entendê-los consideremos duas situações fisicamente relevantes. Na primeira, as cargas elétricas ocupam posições fixas. Dizemos que temos uma situação estática. Nessas circunstâncias dizemos que as cargas geram um potencial eletrostático, o qual será representado pela letra V. Em geral, o potencial depende do ponto do espaço e do tempo. Como regra geral, escrevemos: Uma partícula em repouso (ou mais partículas) gera campos: o campo elétrico e o potencial escalar. V = V(x, y, z, t) ( 3 )

5 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 4 Quando as cargas estão em movimento, elas geram ainda outro campo: o potencial vetor A. Ele é dependente dos pontos do espaço e, eventualmente, do tempo. Escrevemos, nessas circunstâncias: A= A xyzt (,,, ) ( 4 ) Cargas elétricas em repouso geram um potencial num ponto P do espaço (o potencial elétrico). Sendo r o vetor de posição associado a ele, o potencial elétrico será representado por: V( r ) ( 5 ) Unidades A unidade de potencial no sistema Internacional de medidas (ou o MKSA) é o Volt. Superfícies Equipotenciais O lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais o potencial é constante, V(x, y, z) = V 0 ( 6 ) é uma superfície. Como os pontos sobre essa superfície estão, todos, sujeitos ao mesmo potencial, tais superfícies são denominadas equipotenciais. Recursos interativos A superfície que contém as linhas azuis é uma equipotencial. Todos os seus pontos, pertencentes ou não às linhas, possuem o mesmo potencial elétrico, ou seja, em qualquer ponto de coordenadas x, y e z, o potencial V(x, y, z) = V 0.

6 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 5 Superfícies equipotenciais são importantes na eletrostática, especialmente em se tratando de condutores. No caso de um condutor perfeito, pode-se mostrar que a superfície do próprio condutor é uma superfície equipotencial. Um condensador é um dispositivo nos quais temos duas superfícies equipotenciais. No caso de um condensador de placas paralelas, as duas superfícies são planos paralelos. a Potencial e Energia Potencial É fácil explicar a relação do potencial com a energia potencial. Para tanto, consideremos uma partícula que se mova numa determinada região do espaço, e na qual ela experimenta a ação de uma força conservativa. Nesse caso, a energia mecânica é conservada. Escrevemos a energia mecânica (E) como a soma de duas parcelas: mv E= + U xyz (,, ) ( 7 ) b O primeiro termo é denominado energia cinética e depende do quadrado da velocidade da partícula e da sua massa: mv E c = ( 8 ) Como se nota na expressão acima, a energia cinética está relacionada com o estado de movimento do corpo (derivando daí o termo cinética ). A segunda contribuição para a energia mecânica é a energia potencial,a qual escrevemos sob a forma: Ep = U(x, y, z) ( 9 ) Superfícies equipotenciais de duas cargas de sinal oposto (a) e de um condensador de placas planas paralelas (b). Observe que o fato de essa forma de energia depender da posição é o que confere a ela o nome de energia potencial, ou seja, energia associada à posição da partícula. No caso em que a partícula se move sob a ação de uma força elétrica, a energia potencial recebe o nome de energia potencial eletrostática. Tendo em vista que a energia mecânica é conservada, é de se esperar que, ao longo do movimento, uma forma de energia se converta, continuamente, em outra forma de energia. Quando atiramos uma pedra para o alto, imprimimos uma energia cinética a ela, a qual irá se reduzindo

7 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 6 paulatinamente até que ela atinja o ponto mais alto. Nesse ponto de altura máxima, a energia cinética será mínima. Consequentemente, a energia cinética foi convertida em parte em energia potencial. A partir do momento em que a pedra inicia o movimento descendente começa a fase do movimento em que existe conversão de energia potencial em energia cinética. O exemplo acima não é um caso particular. Em geral, vale a premissa de que, nos pontos para os quais a energia potencial é mínima, a energia cinética será máxima. E vice-versa. Esse é o princípio de funcionamento das montanhas russas num parque de diversões. O potencial eletrostático, assim como o campo eletrostático, pode ser pensado como uma propriedade da região do espaço. Essa propriedade é independente da existência das partículas que se movam nela. A essa propriedade associada ao ponto do espaço, e que agora está relacionado à energia da partícula, damos o nome de Potencial elétrico. Da forma que a energia potencial eletrostática não dependa da partícula que se mova numa dada região do espaço, definimos o potencial eletrostático como o quociente da energia eletrostática pela carga elétrica, isto é: U(x, y, z) = qv(x, y, z) ( 10 ) Em outras palavras, o potencial eletrostático é dado pela razão entre a energia eletrostática e a carga da partícula. E isso assegura que o potencial não dependa da existência de partículas que se movam no espaço. Ele tem uma existência própria. Campos Gerados por uma Carga Elétrica em Repouso Para o bom entendimento do caso geral, consideremos uma partícula de carga Q localizada num ponto P do espaço caracterizado pelo vetor de posição r ' de coordenadas (x', y', z'). Essa partícula gera um campo potencial elétrico de tal forma que, num ponto P cujo vetor posição é r (coordenadas (x, y, z)), ele pode ser escrito como V r Q 1 Q 1 = = 4πε r r 4 πε d PP, 0 0 onde r r ' = d(p, P') é a distância entre os pontos P e P' (veja figura), e ε 0 é a permitividade do vácuo. ( 11 ) Uma carga elétrica no ponto P produz um potencial elétrico no ponto P o qual depende da distância entre eles.

8 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 7 Admitiremos que a expressão (11) seja uma lei fundamental e única da eletrostática, isto é, ela não pode ser derivada de outras. A seguir, veremos que ela leva à lei de Coulomb, e esta é tida muitas vezes como a lei fundamental da eletrostática. Se a mesma partícula estiver embebida num meio material (como a água) caracterizado por uma permitividade ε, a expressão acima é dada por: V r Q 1 Q 1 = = 4πε r r 4 πε d PP, ( 1 ) De agora em diante, admitiremos que o meio no qual a partícula se encontra seja o vácuo, lembrando, no entanto, que, se considerarmos um meio qualquer, basta substituir, nas fórmulas seguintes, o valor da permitividade do vácuo pela constante permitividade do meio. Sabemos da Geometria Euclidiana que a distância entre dois pontos do espaço pode depender das coordenadas desses pontos de acordo com a expressão: (, ) = ( ) + ( ) + ( ) d PP x x y y z z ( 13 ) Assim, podemos expressar o potencial elétrico produzido no ponto de coordenadas (x, y, z), devido à existência de uma carga puntiforme localizada no ponto de coordenadas (x', y', z') como função das coordenadas desses dois pontos, ou seja, a expressão (11) pode ser escrita assim: (,. ) V x yz Q = 4 πε 0 1 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ( 14 ) As superfícies equipotenciais associadas ao potencial são esferas concêntricas adotando-se o ponto P como o centro delas (veja figura). As circunferência tracejadas são intersecções das superfícies esféricas equipotenciais associadas ao potencial elétrico gerado pela carga Q com a superfície z = 0. Os pontos de cada esfera ou circunferência tem o mesmo potencial elétrico, pois distam igualmente da carga Q. Superfícies equipotenciais, no plano xy associadas a uma carga puntiforme localizada na origem do referencial. exercício resolvido

9 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 8 Campos produzidos por uma distribuição discreta de cargas O princípio da superposição assegura que o potencial eletrostático, quer seja de uma distribuição discreta ou contínua de cargas, é dado pela soma dos potenciais produzidos pelas partes. Assim, o potencial produzido por N cargas, cujos valores são Q 1, Q, Q 3,... Q N, localizadas em r 1, r, r 3, rn é dado pela soma dos potenciais produzidos pelas cargas elétricas individuais: V r N 1 Qi 1 Qi = = 4πε r r 4πε r r i= 1 0 i 0 i= 1 o qual, quando escrito em termos das coordenadas cartesianas, se escreve como: (,, ) V xyz = N Qi 4πε ( ) 1 x xi + y yi + z zi i= N i ( 15 ) ( 16 ) Cargas em diferentes pontos do espaço geram um potencial no ponto P. Como veremos a seguir, as expressões para o potencial eletrostático que resulta de uma distribuição estática de cargas são mais simples que a dos campos eletrostáticos, pois nesse caso estamos falando de uma grandeza escalar. Temos, no caso do potencial, apenas um campo escalar e não um campo vetorial com três componentes. exercícios resolvidos

10 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 9 Potencial e Campo de duas Cargas de sinais opostos A título de exemplo, consideremos o caso de duas cargas elétricas de sinais opostos. Seja Q o módulo dessas cargas. Consideremos a situação descrita pela figura, na qual a carga de sinal positivo se encontra na posição z = d (as demais coordenadas iguais a zero) e a carga negativa se encontra no eixo z e com coordenada z = d. Nessas circunstâncias, o potencial para um ponto arbitrário no espaço,cujas coordenadas são (x, y, z), será dado pela expressão: (,, ) V xyz Q 1 1 = 4πε 0 ( z d) + ( y) + ( x) ( z+ d) + ( y) + ( x) ( 17 ) Duas cargas a uma distância d localizadas ao longo do eixo z. Ao olhar a expressão anterior podemos constatar que, para z = 0, o potencial se anula: V(x, y, 0) = 0 ( 18 ) As superfícies equipotenciais são dadas pela figura. Linhas de força de um dipolo.

11 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 10 Potencial produzido por uma distribuição contínua de cargas Para uma distribuição contínua de cargas, aplicamos o princípio da superposição considerando as contribuições associadas a volumes infinitesimais da distribuição de cargas e, então, efetuamos a soma. Resulta que, se a distribuição volumétrica for caracterizada pela densidade ρ(x, y, z), o potencial gerado por tal distribuição no ponto r é dado pela integral de volume: 1 ρ( x, y, z ) 1 ρ( r ) V ( x, y, z) = dx dy dz dv 1 ( 19 ) 4πε 0 4πε V 0 r r V x x + y y + z z ( ) onde a integral de volume deve ser efetuada sobre o volume V que contém a distribuição de cargas. Para o caso de cargas distribuídas ao longo de uma superfície, caracterizada pela densidade superficial e distribuição superficial σ, o potencial gerado por uma tal distribuição é dado por: 1 σ( x, y, z ) 1 σ( r ) V ( x, y, z) = ds ds 1 ( 0 ) 4πε 0 4πε S 0 r r S x x + y y + z z ( ) A integral agora deve ser efetuada como uma soma sobre as contribuições de todos os pontos da superfície que contêm a distribuição. exercício resolvido O caso de uma distribuição linear de cargas é uma simples extensão dos resultados anteriores. O potencial no ponto r, r, agora se escreve como a integral: λ( x, y, z ) (( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ) 1 0 Γ 0 Γ ( r ) 1 1 λ V ( x, y, z) = dl dl 4πε 4πε r r ( 1 ) Cargas podem ser distribuidas no espaço ou em superficies. exercício resolvido

12 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 11 Comportamento a Grandes Distâncias: Momento de Dipolo Elétrico de uma distribuição de cargas Analisemos o comportamento do potencial elétrico quando consideramos pontos localizados a grandes distâncias da distribuição de cargas elétricas. Dada uma distribuição de cargas caracterizada por uma densidade ρ(r ), o potencial elétrico produzido por tal distribuição é dado pela expressão (19). Ele pode ser reescrito sob a forma: V r 1 ( r ) = 1/ 4 πε 0 V rr r r 1 + ρ r r dv ( ) Grandes distâncias da fonte, da distribuição de cargas elétricas, significam a seguinte condição: r 1 r ( 3 ) onde r' é a distância até um ponto qualquer sobre a distribuição de cargas elétricas e r é a distância até o ponto do espaço. O comportamento dos potenciais a grandes distâncias pode ser inferido com bastante precisão a partir da aproximação: 1 rr r 1 + r r rr 1+ r 1/ ( 4 ) E, portanto, o potencial elétrico pode ser determinado, substituindo-se (4) em (), com bastante precisão como uma soma de dois termos: V r Q pr 4πε r 4πε r = ( 5 )

13 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 1 onde Q é a carga total da distribuição e é o momento de dipolo elétrico da mesma distribuição, a saber: Diferenças de Potencial p = r ρ r dv V ( 6 ) Em geral, não temos como determinar o potencial num determinado ponto. É mais factível determinar diferenças de potencial. Isso ocorre porque, quando existem diferenças de potencial numa determinada região, criam-secondições para o movimento de cargas nela localizadas. A partir das forças podemos determinar as diferenças de potencial. A diferença de potencial entre dois pontos, A e B, é dada pela diferença entre a função potencial elétrico calculada nesses dois pontos, ou seja: V = V V = V r V r B A B A ( 7 ) Consideremos diferenças de potenciais bem pequenas, ou seja, consideremos variações infinitesimais das coordenadas. Uma variação infinitesimal é definida como a diferença da função para pontos do espaço muito próximos. Para escrevermos uma expressão para a variação infinitesimal, consideremos a variação entre dois pontos que se distinguem pelo vetor deslocamento Δr (veja figura). V V r + r V r ( 8 ) Vamos agora expandir a grandeza escalar V r r V x xy yz z ( + ) ( +, +, + ) ( 9 ) em potências das variações (Δx, Δy, Δz) utilizando para isso a expansão de Taylor para funções de muitas variáveis: V V V 1 V V V( x+ xy, + yz, + z) = V( xyz,, ) + x+ y+ z+ x + x y+... x y z x xy ( 30 ) Os pontos A e B têm o mesmo potencial, pois suas distâncias até onde a carga Q se localiza é a mesma.

14 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 13 Assim, até termos de primeira ordem, podemos escrever: V V V V( xyz,, ) x+ y+ z x y z ( 31 ) Donde concluímos, pela definição do gradiente, que para valores infinitesimais dos deslocamentos podemos escrever: dv = V dr ( 3 ) onde, nessa notação, escrevemos: V V V V = i + j + i x y z ( 33 ) Outra propriedade importante em relação à variação infinitesimal é a de que a integral sobre tais variações dá a diferença de potencial entre os pontos considerados: B A dv = V( r ) V( r ) B A ( 34 ) Definimos o campo elétrico como o campo vetorial obtido a partir de derivadas do potencial, ou seja, o campo elétrico é definido por: V V V E V = i j i x y z ( 35 ) exercícios resolvidos

15 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 14 Exercício resolvido: Potencial produzido por uma distribuição contínua de cargas Exercício Determine o potencial gravitacional e o campo gravitacional de uma distribuição de cargas, de massa total M, de tal forma que ela esteja inteiramente concentrada numa casca esférica de raio R e com densidade constante. Resolução A densidade superficial de uma distribuição da carga total é, desde que constante, dada por: M σ= 4 πr ( 36 ) Adotando-se o referencial de tal forma que a origem do referencial tenha o seu eixo z passando pelo ponto no qual se quer determinar, então, a distância desse ponto até um ponto sobre a distribuição pode ser escrita como: r r = x + y + z z ( 37 ) Utilizando as coordenadas esféricas, e lembrando que + + = = cos θ x y z R e z R ( 38 ) a distância entre o ponto e aquele localizado sobre a esfera pode ser escrita como: r r = z zrcosθ + R ( 39 ) Uma área na superfície esférica associada a valores infinitesimais dos ângulos θ e φ pode ser escrita, de acordo com a figura, como: ds = R senθdθdφ ( 40 ) Elemento infinitesimal de superfície esférica.

16 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 15 Assim, o potencial pode ser escrito como: V z = GσR dϕ dθ π π sen θ 0 0 z zrcosθ+ R ( 41 ) Efetuando a integração, trivial, sobre a coordenada φ, obtemos: V z = GσR π dθ 0 π sen θ z zrcosθ+ R ( 4 ) É fácil verificar que sen θ 1 dθ = z zrcosθ+ R z zrcosθ+ R zr ( 43 ) Donde obtemos: sen 1 1 π d θ θ = ( z + R ) ( z R ) = z + R z R 0 z zrcos R zr zr θ+ ( 44 ) E, portanto, lembrando a relação (41), podemos escrever o potencial sob a forma: 1 V ( z) = GM z R z R zr + ( 45 ) Para os pontos externos à distribuição, o potencial é dado por: V z 1 = GM z ( 46 ) ou seja, o potencial varia com o inverso da distância do ponto até a origem: V r 1 = GM r ( 47 ) Para os pontos internos à distribuição, o potencial, de acordo com a expressão (45), é constante e dado pelo valor dele na superfície da distribuição de massas: 1 V ( r) = GM R ( 48 ) Neste caso, o potencial elétrico em um ponto P distante r R (raio da esfera) é o mesmo que o de uma carga puntiforme localizada na origem e de valor igual a Q.

17 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 16 Exercício Determine o campo elétrico, num ponto fora da distribuição, devido à existência de cargas distribuídas de uma forma uniforme, com densidade σ 0 sobre um plano infinito. Resolução Para facilitar o cálculo, consideramos a distribuição como se estivesse no plano z = 0 a Ademais, podemos sempre tomar um referencial de tal forma que as coordenadas do ponto no qual queremos determinar o campo sejam (veja figura): x = 0, y = 0 Considerando-se o referencial da figura, o campo elétrico pode ser escrito como: σ 0 x i + y j + zk E ( x, y, z) = dx dy 3 4 πε 0 S x + y + z ( 49 ) b Como as integrais das componentes x e y envolvem integrais de funções ímpares, essas componentes são nulas: E x (x, y, z) = E x (x, y, z) = 0 Para o cálculo da única componente não nula, efetuamos uma mudança de variáveis (de coordenadas cartesianas para polares) e obtemos: Referencial cartesiano adotado para determinar o campo elétrico produzido por uma placa plana carregada e infinita. σ σ ρ ρ ϕ E ( x, y, z) = zk = zk 4πε 4 (,, ) π 0 dx dy 0 d d πε 0 0 ( x + y + z ) ( ρ + z ) πσ 0 ρdρ σ 0 1 σ0 z E x y z = zk = zk = k 3 0 ( ρ + z ) ( ρ + z ) 4πε ε ε z ( 50 )

18 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 17 O campo elétrico é, portanto, constante e perpendicular à superfície (veja figura 000). O vetor campo elétrico aponta para a placa se as cargas forem negativas ou, no caso de cargas positivas, o vetor tem o sentido oposto. Exercício Um fio de comprimento 30 cm tem C de cargas em excesso, distribuídas uniformemente ao longo desse fio. Qual é o valor do potencial elétrico num ponto localizado a uma distância d acima de uma das suas extremidades? Resolução A partir dos dados do enunciado, podemos concluir que a densidade linear de cargas é uniforme e dada pela relação entre a carga total e o comprimento do fio: λ = Q/L = ( )C/(30 cm) = C/cm = C/cm ( 51 ) Utilizando o referencial da figura, concluímos que a distância r de um ponto sobre o fio é a hipotenusa do triângulo de catetos x e d = x + d, onde x é a coordenada, ao longo do fio, do elemento de carga infinitesimal. Portanto, de (000), concluímos que o potencial é dado pela soma: = ( + ) V = k dq r = k ( λdx) x + d kλ dx x d. ( 5 ) Pedaço de fio com densidade linear de carga uniforme. Os limites de integração são: x = 0 até x = L, coordenadas essas associadas aos pontos A e B (as extremidades do fio), abrangendo todo o comprimento do fio. Então, substituindo λ = Q/L e, de acordo com o princípio da superposição, concluímos que: L V = k Q L dx x + d 0 ( 53 )

19 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 18 Consultando uma tabela de integrais, encontramos: L 0 L dx x + d = ln x+ x + d = ln L+ L + d ln d 0 ( 54 ) Donde inferimos que: L kq L + L + d = + = V k Q L dx x d 0.ln, L d ( 55 ) ou seja, o potencial elétrico gerado pela carga Q no fio de comprimento L, no ponto P, é: V kq L + L + d =.ln L d ( 56 )

20 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 19 Exercícios resolvidos: Campos Gerados por uma Carga Elétrica em Repouso Exercício Considere uma carga elétrica pontual Q = + μc no espaço. Determinar o potencial elétrico por ela gerado no ponto P(0,80 m; 0,60 m; 0,70 m) quando a carga Q estiver em repouso e localizada nos seguintes pontos do espaço: a. Carga Q localizada no ponto de coordenadas P ( 0; 0; 0,0 m). b. Carga Q localizada na origem do referencial. Resolução a. Potencial no ponto P como resultado de estar a partícula localizada no ponto P. Substituindo-se na equação (000) as coordenadas do ponto P (0; 0; 0,0 m), o potencial gerado por Q em pontos de coordenadas (x, y, z) assim se escreve: (,, ) V xyz kq = = kq ( x 0) + ( y 0) + ( z 0,0) x + y + ( z 0,0) ( 57 ) Para o ponto P(0,80 m; 0,60 m; 0,70 m), o potencial é: V P 9 Nm ( 10 C ) 3 C = = ( N.m/C) = 16,1 kv ( 0,80 m) + ( 0,60 m) + ( 0,70 0,0) m 1, 5 ( 58 ) b. Potencial no ponto P como resultado de a partícula estar localizada na origem. Nessa nova situação, a carga Q encontra-se na origem, ou seja, P (0,0,0). Então, o potencial gerado por Q em qualquer ponto de coordenadas (x, y, z) é: (,, ) V xyz = kq + + x y z, onde x + y + z = d = distância da origem até o ponto P(x, y, z).

21 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 0 Assim, o novo potencial no ponto P é: V P 9 Nm C 3 C = = = N C = 14,7 kv 1, 49 ( 0,8 m) + ( 0,6 m) + ( 0,7 m) ( 59 ) Superfície equipotencial A distância do ponto P(x, y, z) à origem é d = x + y + z ; para x = 80 cm, y = 60 cm e z = 70 cm, ela é d = cm 1 cm. Existem infinitos pontos cuja distância à origem é d = ~55 cm 1 cm. Esses pontos pertencem à superfície esférica, concêntrica com a carga Q e com raio R = d. Todos os pontos da superfície esférica de raio 1 cm, concêntrica com Q (que está na origem), têm coordenadas tais que x + y + z = d = R; em todos esses pontos, o potencial elétrico gerado pela carga Q é V = kq/d. Portanto, essa superfície é uma equipotencial. Os pontos da superfície esférica de raio R = d = x + y + z têm o mesmo potencial elétrico. Essa superfície é equipotencial.

22 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 1 Exercícios resolvidos: Campos produzidos por uma distribuição discreta de cargas Exercício Considere uma distribuição de cargas elétricas como a esboçada na figura. As cargas pontuais Q 1, Q e Q 3 têm intensidades iguais a q e estão fixas nos vértices de um prisma retangular. a. Determine o potencial elétrico resultante na origem do referencial cartesiano. b. Qual a carga que, fixada em P, anula o potencial no ponto 0. Resolução a. Potencial elétrico na origem do referencial cartesiano Pelo princípio da sobreposição, o potencial na origem do referencial [o ponto de coordenadas (x = y = z = 0)] é a soma algébrica dos potenciais que cada carga gera nesse ponto. As cargas estão localizadas nos pontos de coordenadas A(0; 0; 0,5 m); B(0; 0,50 m; 0) e C(0,50 m; 0; 0). Vamos calcular cada um deles fazendo uso da expressão geral do potencial calculado na origem resultante de uma carga Q localizada num ponto arbitrário P de coordenadas (x, y, z ). Tal expressão é: Q 1 1 V ( 0,0,0) = = Qk P 4πε ( x ) + ( y ) + ( z ) ( x ) + ( y ) + ( z ) ( 60 ) As posições das cargas neste exemplo são: Q 1 (x A,y A,z A ); Q (x B,y B,z B ) e Q 3 (x C,y C,z C ). Cada carga gera um potencial num ponto do espaço P(x,y,z). O resultado, de acordo com o princípio da superposição, é a soma dos potenciais gerados pelas diversas cargas elétricas. Para simplificar o cálculo, basta lembrar que o potencial depende apenas da distância d entre a carga e o ponto onde se deseja determinar o potencial. Lembrando que Q 1 = Q = Q 3 = q, e substituindo, na expressão anterior, os valores das coordenadas de cada um dos pontos, concluímos, então, que o resultado é dado por: 3 V = Vi= kq d + kq d + kq d 0 i ( 61 )

23 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico Carga Distância da carga ao ponto 0 V = kq/d Q 1 = q 0,5 m kq/0,5 = 4kq Q = q 0,50 m kq/0,50 = kq Q 3 = q 0,50 m kq/0,50 = kq V 0 = 4kq + kq + kq = 8kq b. Quarta carga que, fixada em P, anula o potencial na origem do referencial Trata-se de determinar o valor de uma quarta carga Q 4 que, colocada no ponto P(50 cm; 50 cm; 5 cm) (veja figura), torna nulo o potencial resultante na origem (x = 0, y = 0, z =0). Assim, V 4 + V 0 = 0 V 4 = V 0 = 8kq. Como V 4 = kq 4 /d 4 e 4 = + + = = 3175 = 75 cm = 0,75 m, d x y z ( 6 ) tem-se kq 4 /(0,75) = 8kq Q 4 = 6q. Resumindo: uma carga Q 4 = 6q, fixa no ponto P, torna nulo o potencial elétrico no ponto 0. Exercício Determine a energia potencial eletrostática (ou elétrica) do sistema de três cargas alinhadas e distribuídas de acordo com o esquema da figura, dado que Q = C, Q 1 = 10 3 C e Q = 10 3 C. Três cargas alinhadas ao longo do eixo x. Resolução A energia potencial elétrica de um sistema de cargas é a soma da energia potencial de cada um dos pares de cargas do sistema. O sistema das cargas (Q, Q 1 e Q ) forma 3 pares, a saber: I) Q e Q 1 ; II) Q e Q e III) Q 1 e Q. A energia potencial desse sistema será: 3 U = U = Ui = U + U + U sistema 3 cargas ( 63 )

24 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 3 Par Q e Q 1 U = k.q.q 1 /d = [( N.m²/C²)( C)( 10 3 C)]/(0, m) ³ J Q e Q U = k.q.q /d = [( N.m²/C²)( C)( 10 3 C)]/(0,4 m) ³ J Q 1 e Q U = k.q 1.Q /d = [( N.m²/C²)( 10 3 C)( 10 3 C)]/(0,6 m) ³ J Portanto, U sistema = ( ³ J) + ( ³ J) + (+60 10³ J) = ³ J. O significado físico de energias negativas de um sistema em interação é o fato de que ele é um sistema dito ligado. Como consequência, para separar as cargas para longe é necessário fornecer uma energia mínima para o sistema, cujo valor é igual à sua energia de ligação. Nesse caso, essa energia mínima para separá-las completamente é dada por E = ³ J. Exercício U par O diagrama ao lado esquematiza um sistema de três cargas Q, q B e q C, distribuídas nas posições A, B e C, conforme a figura. Pode-se pensar essa configuração como se fosse o átomo de Hélio quando os elétrons estão equidistantes do núcleo e suas posições têm direções formando um ângulo de 90. Considerando-se os valores L = 1,5Å (1Å = m); e = 1, C, determinar: a. a energia potencial elétrica do átomo de Hélio nessa situação. b. a energia mínima para dissociar o átomo. Resolução: a. A energia potencial elétrica do átomo O sistema, átomo de Hélio, é formado por três cargas o núcleo e os dois elétrons, o que resulta em 3 pares distintos de cargas. Para determinar a energia potencial do sistema de 3 cargas, consideramos a soma das energias dos pares: Uma situação clássica para o átomo de Hélio. 3 U = Ui = U + U + U 3 cargas ( 64 )

25 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 4 Dados: L = 1,5 Å=1, m); e = 1, C; ( 1, 41) BC = d = AB + AC = L + L = L L, tem-se: Par de cargas Q q d U par cargas = kqq/d U par (joules) Q q C e e L k(e)( e)/l = [k/l],e² 30, J Q q B e e L k(e)( e)/l = [k/l],e² 30, J q B q C e e (1,41)L k( e)( e)/(1,41)l = [k/l],(0,707)e² + 10, J Portanto: U U cargas = Ui = + = 1 Hélio = 19 50,58 10 J 30,7 10 J 30,7 10 J 10,86 10 J 50,58 10 J ( 65 ) Sabendo que 1 ev = 1, J, podemos expressar essa energia em eletrovolts. Assim, U Hélio 47,4 ev. b. Energia de dissociação do átomo A energia para dissociar o sistema é aquela que, introduzida no sistema, anula a sua energia potencial. Com isso podemos assegurar que o núcleo e cada um dos elétrons estarão livres, isto é, liberados para se mover para onde quiserem. Assim, a energia mínima para dissociar o sistema é U = + 47,4 ev. A energia para arrancar apenas um elétron de um átomo, no seu estado de menor energia, é a sua energia de ionização.

26 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 5 Exercício Resolvido: Diferenças de Potencial Exercício Uma esfera metálica de raio R = 5 cm tem excesso de carga Q e está presa a um suporte isolante. a. Determinar o potencial elétrico na superfície da esfera e nos pontos A (r 1 = 0 cm); B (r = 30 cm); C (r 3 = 40 cm) e para um ponto infinitamente distante (r = ), quando Q = + 50 μc C e Q = 50 μc (μ = 10 6 C). b. Determinar a diferença de potencial entre os pontos A e C quando Q = + 50 μc e quando Q = 50 μc. c. Qual a diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto infinitamente distante dela? Resolução: a. Potencial elétrico na superfície da esfera A expressão V = kq/r permite calcular o potencial elétrico para pontos r R = 5 cm. A tabela resume os cálculos: Uma esfera metálica carregada produz campos, nos pontos externos a ela, como se toda a carga elétrica nela contida estivesse no centro da própria esfera. Q Observações: Superfície r = R = 0,05 m A (r 1 = 0, m) B (r = 0,3 m) C (r 3 = 0,4 m) Infinito r = +50 μc V = kv V =.50 kv V = kv V = 1.15 kv V = 0 50 μc V = kv V =.50 kv V = kv V = 1.15 kv V = 0 I. 1 kv = 10³ volts. II. O sinal do potencial é o mesmo da carga elétrica. III. O módulo do potencial elétrico é inversamente proporcional a r tanto para Q > 0 quanto para < 0.

27 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 6 b. Diferenças de potencial Como o potencial elétrico é uma grandeza escalar, a diferença de potencial elétrico entre dois pontos se determina realizando a diferença entre os potenciais de cada ponto. Assim, a diferença de potencial entre A e C é ΔV AC = V C V A. Veja tabela a seguir: Para Q = + 50 μc Para Q = 50 μc ΔV AC = = kv ΔV AC = 1.15 ( 9.000) = kv c. Diferença de potencial quando um dos pontos está muito longe da esfera. A diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto no infinito (significa num ponto longínquo, adotado como se fosse o infinito) é: ΔV = V V superfície ( 66 ) De (000), nota-se que o potencial se anula no infinito, ou seja, ele tende a zero quando a distância tende para o infinito. Obtemos assim o resultado da tabela abaixo. Para Q = + 50 μc Para Q = 50 μc ΔV (superfície ) = = kv ΔV (superfície ) = 0 ( 9.000) = kv

28 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 7 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

29 Eletromagnetismo» Eletrostática: O Potencial Elétrico 8 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein. Fotografia: Jairo Gonçalves.