Eletromagnetismo. A Lei de Ampère

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1 Eletromagnetismo A Lei de Ampère

2 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 1 O Campo Magnético O conceito de campo desempenha um papel central no eletromagnetismo bem como em relação às demais interações. Isso porque não há como fazer uma descrição dos fenômenos elétricos e magnéticos sem fazer uso de tal conceito. Numa linguagem científica mais precisa, dizemos que os atributos dos constituintes geram campos. Assim, uma partícula como o elétron gera, com sua mera presença, campos ditos eletromagnéticos. A interação com os demais objetos dotados do mesmo atributo ocorre por meio deles. Essa é a base da descrição das interações eletromagnéticas. Assim, objetos dotados de atributos como a carga elétrica produzem campos que ocupam o espaço físico. Os demais objetos dotados do mesmo atributo interagem com os primeiros por meio desse campo. Assim, não há como falar dos fenômenos eletromagnéticos sem introduzir o conceito de campo. Em particular, as leis do eletromagnetismo são expressas em termos de taxas de variação pontual ou taxas de variação instantânea de campos. A ideia de descrever as interações utilizando campos parte do pressuposto de que um objeto (uma partícula, um átomo, uma maçã etc.) altera, com a sua mera presença, as propriedades do espaço. A descrição dessa alteração nas propriedades do espaço se dá através do campo, que ocupa todo o espaço. O campo abriga o conteúdo de informações, do ponto de vista das interações, que se pode extrair a respeito de objetos existentes numa determinada região do espaço. Isso se torna verdadeiro na medida em que os objetos interagem entre si através dos campos gerados por eles. Nesse sentido,a interação com o campo é equivalente à interação com aquilo que o produziu. É importante ressaltar que o campo existe independentemente da existência de outros objetos que interajam com ele. Além do campo elétrico, outro campo desempenha um papel fundamental no eletromagnetismo: o campo magnético representado por B. Para indicar sua dependência em relação aos pontos do espaço, escrevemos: B B r = ( ) ( 1 ) A unidade de medida do campo magnético, no sistema SI, é o Tesla. Para determinarmos se existe um campo magnético numa determinada região do espaço, basta utilizar uma bússola ou um ímã. Fios percorridos por correntes também geram campos magnéticos.

3 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 2 Ímãs produzem campos magnéticos relativamente intensos. A terra faz o mesmo. Uma forma de determinar o campo magnético num determinado ponto é por meio da medida da força experimentada por uma partícula. De fato, no caso do campo magnético, a relação entre a força magnética e o campo magnético é: F ( r ) = qv B ( r ) (2) As linhas de força do campo magnético indicam sua direção e sentido em cada ponto. Cargas Elétricas em Movimento: A Densidade de Corrente Cargas elétricas em movimento dão origem a campos magnéticos. Para caracterizar o fluxo de partículas lançamos mão do conceito de densidade de corrente. Essa grandeza ocupa um papel central na teoria do eletromagnetismo. Consideremos a situação na qual cargas elétricas estão em movimento. Para caracterização de cargas em movimento utilizamos o conceito de densidade de corrente.

4 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 3 Imaginemos que a cada instante de tempo a distribuição volumétrica de cargas em movimento seja dada pela função ρ = ρ( rt, ) ( 3 ) E que, a cada instante de tempo, a velocidade de cada uma das cargas infinitesimais seja conhecida: V V rt, = ( ) ( 4 ) Definimos o vetor densidade de carga como o dado pelo produto: J r, t ρ r, tv rt, ( )= ( ) ( ) ( 5 ) A densidade de corrente, em geral, é muito importante porque ela dá a taxapela qual uma grandeza física flui através de uma superfície. Mais especificamente, o fluxo da densidade de corrente através de uma superfície dá a taxa por unidade de tempo pela qual uma grandeza flui através dessa superfície. No caso da densidade de corrente elétrica, essa grandeza é a carga elétrica. O que produz Campos Magnéticos? Neste capítulo, apresentaremos duas leis do eletromagnetismo. A primeira delas estipula que os campos magnéticos não resultam da existência de cargas magnéticas (que seriam, se existissem, um atributo análogo à carga elétrica). Ela expressa o fato de que as partículas que constituem a matéria não são dotadas do atributo cargas magnéticas. Não existem, portanto, monopolos magnéticos. Não existindo tal atributo, cabe a pergunta: Como são gerados os campos magnéticos? A segunda lei aqui apresentada foi formulada por Maxwell e ela responde a essa questão. Essa lei estabelece uma relação entre a taxa de variação de um campo magnético e os dois campos que podem dar-lhe origem: um campo elétrico variando com o tempo, a uma dada taxa instantânea,

5 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 4 e o campo densidade de corrente. O fato é que dois fenômenos distintos dão origem a campos magnéticos: Cargas em movimento (fenômeno já discutido no capítulo anterior) e campos elétricos variando com o tempo. Temos, assim, duas formas de gerar campos magnéticos. Nenhuma delas faz referência ao conceito de monopolos magnéticos. Neste capítulo, abordaremos as leis que descrevem os dois fenômenos acima, e que dão origem ao campo magnético. Trata-se de duas leis que, como bem entendeu Maxwell, podem ser condensadas em uma só. Inicialmente, procuraremos apresentar uma formulação mais geral da lei de Biot-Savart para estabelecer uma relação entre as causas (cargas em movimento) e os efeitos (geração do campo magnético). Nesse caso, procura-se estabelecer uma relação entre taxas de variação do campo magnético e a densidade de corrente. A essa lei damos o nome de Lei de Ampère. Ela estabelece que cargas em movimento geram um campo magnético, cujas taxas de variação se relacionam de uma forma simples (linear) com a densidade de corrente. Campos elétricos variando com o tempo, por outro lado, podem dar origem a um campo magnético. Essa foi a maior contribuição de Maxwell para o eletromagnetismo, pois ela levou à previsão das ondas eletromagnéticas e propiciou, numa segunda etapa, tratar a Óptica como um ramo da ciência do eletromagnetismo. Campos Magnéticos são produzidos por meio de partículas dotadas de cargas elétricas em movimento e/ou pelos spins dessas partículas. Podem ser gerados também quando campos elétricos variam com o tempo. A Lei de Ampère Grosso modo, esta lei estabelece que a existência de uma densidade de corrente dá origem a um campo magnético. Existem duas formas de enunciar essa lei. Começaremos pela formulação que faz uso do conceito de circulação de um vetor. Trata-se de uma formulação que trata de aspectos globais do campo (em detrimento do campo analisado ponto a ponto). A partir de uma sólida formação matemática, Ampère elaborou, utilizando um formalismo matemático que hoje denominamos cálculo avançado, a lei que rege os fenômenos observados por Oersted e

6 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 5 por ele mesmo. Com isso, estabeleceu os fundamentos para uma formulação da teoria do eletromagnetismo, isto é, que trata os fenômenos elétricos e magnéticos como fenômenos interligados. Tal lei tem, contudo, uma limitação. Ela é válida para correntes estacionárias, algo que será interpretado a seguir como correntes que não variam com o tempo. O caso geral será tratado ao final deste capítulo. Conceito A ideia básica é a de que a passagem de uma corrente leva à criação de um campo magnético. A relação entre a corrente elétrica num fio e o campo magnético gerado por ele não é tão simples, pois envolve o conceito de circulação do campo B ao longo do fio. A lei da Ampère estabelece uma relação linear entre a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado e a corrente elétrica que passa por uma superfície imaginária que contenha esse caminho, ou seja, circulação do campo magnético = µ 0 I ( 6 ) onde µ 0 é uma constante denominada permeabilidade do vácuo e cujo valor é: µ = 4π Henry/metro A formulação matemática mais precisa da lei de Ampère é: B dl = µ I 0 Γ ( 7 ) ( 8 ) Assim, a lei de Ampère (00) estabelece uma relação não local entre o campo magnético e a corrente elétrica que o gera. Estabelece assim uma relação entre um fenômeno elétrico (cargas elétricas em movimento) e o elemento essencial dos fenômenos magnéticos (o campo magnético). Estabelece, ademais, que a origem dos fenômenos magnéticos tem relação com fenômenos elétricos, ou seja, cargas elétricas em movimento.

7 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 6 Cerca de quarenta anos depois, Maxwell formulou a mesma lei (a lei de Ampère) em termos de uma relação entre taxas de variação do campo magnético e a densidade de corrente. Na formulação da lei de Ampère proposta por Maxwell, temos uma formulação mais geral do que aquela que envolve uma corrente passando num fio. Nessa formulação Maxwell estabelece uma relação linear entre uma densidade de corrente e a taxa de variação do campo que ela gera. Para densidades de corrente que não dependem do tempo, escrevemos: B( r)= J( r) onde J( r) é o vetor densidade de corrente. O vetor densidade de corrente, de acordo com a expressão (000), atua como uma fonte do campo magnético. Observe que agora temos uma relação entre campos calculados no mesmo ponto do espaço. Note que, nessa formulação, uma grandeza típica dos fenômenos elétricos (a corrente) tem relação direta com uma grandeza que dá origem aos fenômenos magnéticos. Esse é o aspecto essencial em relação à unificação da eletricidade com o magnetismo. Consideremos agora o fluxo dos campos da expressão (000) numa superfície arbitrária, porém aberta, cujo contorno é uma curva aqui designada por Γ. Obtemos, portanto, a relação entre fluxos: A De acordo com o teorema de Stokes, o fluxo do rotacional de um vetor é igual à circulação do mesmo ao longo da curva fechada que estabelece o seu contorno, ou seja: Lembrando a relação entre o fluxo da densidade de corrente e a corrente elétrica, µ 0 Assim, constatamos que podemos deduzir a lei (000) a partir da lei expressa em termos dos campos locais - a expressão (000). B r i ds J r i ds ( ) = ( ) A µ 0 A B r i ds B r i dl ( ) = ( ) A Γ J r i ds I ( ) = ( 9 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) Figura 5: Visão em corte(seção transversal) de um fio com fluxo da densidade de uma corrente de área A e o caminho sobre o qual se calcula a circulação do campo B. Figura: Atenção especial deve ser dada à regra da mão direita. Se o polegar indica o sentido da corrente, os dedos indicam o sentido do campo magnético.

8 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 7 O uso de Simetrias na Lei de Ampère Na magnetostática, temos duas alternativas para determinar o campo magnético, uma vez conhecidas as correntes. A primeira envolve efetuar integrais como aquelas das expressões (000) ou, equivalentemente, (000). A segunda alternativa envolve o cálculo da circulação de vetores, fazendo uso da expressão (000). A lei de Ampère, quando expressa em termos da circulação do campo, não é muito útil, em geral, para se determinar o campo magnético. Isso ocorre porque o cálculo da circulação pressupõe o conhecimento do campo. No entanto, como no caso da lei de Gauss, podemos fazer uso de argumentos de simetria para a determinação do campo magnético produzido por uma corrente elétrica a partir da lei de Ampère quando escrita em termos da circulação do campo. Quando lançamos mão de tais argumentos, isso simplifica enormemente o cálculo do campo magnético. Os argumentos de simetria aludidos acima dizem respeito à simetria da distribuição de correntes e, a partir desses argumentos de simetria, podemos fazer inferência sobre a dependência dos campos bem como sobre a direção desses campos. Consideremos o caso de uma densidade de corrente que tenha uma simetria cilíndrica. Isso quer dizer que a densidade de corrente tem apenas a componente z e que ela depende apenas da coordenada ρ. Explicitamente, escrevemos: J ρ J ρ k ( )= ( ) z ( 13 ) Tomando uma superfície de raio r e perpendicular ao cilindro, podemos escrever para um elemento dessa superfície: ds = ρdρdϕk ( 14 ) ao passo que para o elemento de comprimento, para a superfície da figura (00), temos: dl re = ϕ ( 15 ) Figura 6: Direção e sentido do campo magnético produzido por um fio retilíneo.

9 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 8 Por argumentos de simetria espera-se que, no caso da densidade de corrente com as propriedades acima descritas, o campo magnético seja tal que B( ρ)= B( ρ) e ϕ ( 16 ) Atenção O argumento de simetria aludido acima não é nada trivial. Na realidade, ele advém da lei de Ampère na formulação local (9). Grosso modo, podemos sempre fazer uso da regra da mão direita. Por essa regra, que segue a lei de Ampère (000), podemos especificar a direção do campo magnético utilizando os dedos da mão direita. Por essa regra, se utilizarmos o polegar para indicar a direção da corrente, os demais dedos darão a direção do campo magnético em cada ponto. Figura 7: Regra da mão direita. Campo produzido por um fio grosso e infinito Consideremos, a título de ilustração, o caso de um fio infinito percorrido por uma corrente de intensidade total I. Admitamos que o fio seja grosso, ou seja, ele é caracterizado por um raio R. Por argumentos de simetria, admitiremos agora as expressões gerais já consideradas. No caso de um fio infinito obtemos, a partirdo caminho circular de raio r em torno do fio e utilizando as expressões acima, que a circulação do campo B ao longo desse caminho será dada por: Figura 8: Direção e sentido do campo magnético produzido por um fio retilíneo. Γ B dl 2π B rrd ϕ 2π rb r = ( ) = ( ) 0 A integral da densidade de corrente sobre a superfície plana contendo o círculo de raio r e para o caminho escolhido (Figura 00) nos leva ao resultado: ( 17 ) 2π I r d ϕ d ρρ J ρ r ( )= ( ) 0 o ( 18 ) Figura 9: Caminho circular em torno do fio.

10 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 9 onde I(r) é a corrente no interior da superfície de raio r. Consequentemente, a lei de Ampère nos permite prever, para a componente azimutal do campo elétrico, a seguinte expressão: µ 0I r B( r)= 2π r Apesar da escolha da superfície plana contendo o círculo, o resultado acima vale para qualquer superfície que o contenha. Para os pontos externos ao fio, isto é, para pontos tais que: ( ) ( 19 ) r > R ( 20 ) o campo magnético é dado por: B ( I r )= µ 0 2 π r ( 21 ) onde, agora, a corrente I é a corrente total fluindo através do fio. A expressão (000) nos dá o módulo da corrente. Para obtermos a informação completa sobre o campo magnético (inclusive a direção e o sentido), devemos recorrer à expressão vetorial. Utilizando (000) e (000) escrevemos: I B( ρ )= e µπρ 0 2 ϕ ( 22 ) Consideremos agora o caso dos pontos no interior do fio grosso considerando-se o caso de uma densidade de corrente uniforme. Para esse caso escrevemos: J( ρ ) = J 0 k ( 23 ) E, portanto, I( r)= J ds = J π r ( 24 )

11 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 10 Tendo em vista a corrente total, I é dada por: 2 I = J 0 π R ( 25 ) Obtemos, a partir da expressão acima, que I r J r I r 2 ( )= 0π = R 2 ( 26 ) Donde inferimos, utilizando (000) e (000), que Campo produzido por um solenoide infinito O solenoide é um arranjo de espiras circulares dispostas uma ao lado da outra, ou superpostas, pelas quais passa uma corrente i. As espiras são dispostas paralelamente umas às outras e com a máxima aproximação possível. Isso gera um campo magnético com as características descritas a seguir. O solenoide é um dispositivo bastante útil. Por exemplo, podemos criar campos magnéticos de grande intensidade e bastante uniformes. Um dos maiores solenoides do mundo está instalado num dos maiores laboratórios do mundo (o CERN) (vide foto). A utilização da regra da mão direita pode convencer-nos de que, para um solenoide infinito, o campo magnético nos pontos externos ao solenoide se anula; B fora = 0 ( 27 ) Figura 10: Solenoide do ATLAS. enquanto, para os pontos internos ao solenoide, o campo magnético é uniforme e é dado pela expressão vetorial: B B k dentro = 0 ( 28 ) onde k é um versor na direção do eixo do solenoide (Figura 00). A demonstração desses resultados, em geral, não é muito simples, pois envolve cancelamentos de campos produzidos por espiras alinhadas numa determinada direção. Figura 11: Direção do campo magnético interior do solenoide.

12 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 11 A razão para as expressões acima é o fato de que a superposição do campo magnético das várias espiras terá um efeito destrutivo fora do arranjo de espiras e terá um efeito de superposição construtiva para os pontos no interior das espiras. No caso de um solenoide finito, as expressões acima valem apenas como uma boa aproximação (vide figura). Quanto maior o tamanho do solenoide tanto melhor é a aproximação no que tange à validade das expressões (000) e (000)). Considerando um caminho fechado como o da figura (000), concluiremos que a circulação será igual à integral de caminho ao longo de 4 caminhos distintos. Nos caminhos 2, 3 e 4, a circulação é nula. No caminho 3, ela se anula porque o campo magnético é igual a zero fora do solenoide. Nos caminhos 2 e 4, a circulação se anula porque o campo magnético é perpendicular à direção do caminho. A integral ao longo de um caminho de comprimento L é dada por: Figura 12: Direção do campo magnético nos extremos do solenoide. O lado direito da equação envolve a corrente total que passa no interior da superfície. Nesse caso, temos que, se ao longo do percurso de comprimento L tivermos n espiras, a corrente total I se escreve como: Figura 13: Percurso utilizado na determinação do campo magnético. L B dl = B dz = BL 0 Γ 0 0 ( 29 ) I ni ( 30 ) A lei de Ampère implica, portanto, que o campo magnético será dado pela expressão: BL= µ ni 0 0 ( 31 )

13 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 12 Donde se infere que o campo magnético no interior do solenoide será dado por: O campo magnético uniforme depende, assim, além da corrente que passa pelo fio, do número de espiras por unidade de comprimento (a grandeza n na equação acima). L O Toroide B n = µ i L 0 0 ( 32 ) Conceito O toroide é um outro arranjo de espiras. Neste caso, as espiras são enroladas, formando uma superfície de revolução, que pode ser pensada como a de um círculo que percorre uma circunferência de raio R (vide figura). Figura 14: Ilustração do toroide. Levando em conta as considerações de simetria já enunciadas, podemos prever que, como no solenoide infinito, o campo magnético nos pontos externos ao toroide se anula; B fora = 0 ( 33 )

14 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 13 enquanto, para os pontos internos ao toroide, o campo magnético tem a direção azimutal e seu módulo é constante. Na linguagem de vetores podemos escrever, para o campo magnético no interior do toroide: B dentro = B e 0 ϕ ( 34 ) onde e ϕ é um versor na direção azimutal. A validade das aproximações acima depende de duas hipóteses: primeira, que as espiras devem estar bem próximas umas das outras; segunda, que o raio do círculo r deve ser muito pequeno. Considerando o caminho indicado na figura (000), podemos escrever a circulação em termos da contribuição de quatro caminhos,ou seja: B dl = B dl + B dl + B dl + B dl Γ ( 35 ) Tendo em vista que ao longo do caminho 3 não temos campo magnético, escrevemos: 3 B dl = 0 ( 36 ) Ao longo dos caminhos 2 e 4, o campo magnético ou é nulo ou é perpendicular (nos pontos internos ao toroide) ao vetor infinitesimal de caminho B dl =0. Portanto, Ao longo do caminho 1 B dl = 0 = B dl 2 4 ( 37 ) dl = Rdϕe ϕ ( 38 ) Donde inferimos que: B dl = B dl = ϕ2 BR dϕ = B R ϕ ϕ Γ 1 ( ) 0 ϕ ( 39 )

15 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 14 Escrito em termos do comprimento de arco, temos: B dl = B R( )= B L 0 ϕ2 ϕ1 0 Γ Por outro lado, para a corrente, de acordo com a figura (000), encontramos ( 40 ) onde n é o número de espiras enfeixadas pelo caminho escolhido. Temos assim que Consequentemente, obtemos de (000) e (000): Γ I total = ni B dl = µ I = µ ni 0 total 0 ( 41 ) ( 42 ) B = µ I n L 0 0 ( 43 ) Resultado semelhante, no que diz respeito ao módulo, ao do solenoide. Considerando o solenoide como contendo N espiras (onde N, agora, é o número total de espiras), a corrente total I se escreve nesse caso como: I Ni ( 44 ) Assim, levando em conta todas as espiras, o comprimento do arco corresponde ao comprimento da circunferência de raio R. Assim, podemos expressar o valor de B 0 em termos do número total de espiras e o comprimento total da circunferência: Figura 15: Percurso utilizado na determinação de um campo magnético de um toroide. B N = µ i 2π R 0 0 A expressão acima tem uma forma bastante semelhante à do campo magnético de um solenoide. A diferença está no fato de que, no caso do toroide, o campo magnético não é uniforme. Nos dois casos, os módulos do vetor magnético serão constantes e determinados pelo número de espiras por unidade de comprimento do arranjo. ( 45 ) Figura 16: Corrente total levando-se em conta apenas n espiras percorridas por uma corrente i.

16 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 15 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

17 Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 16 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein. Fotografia: Jairo Gonçalves.