Eletromagnetismo As leis da Magnetostática

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1 Eletromagnetismo As leis da Magnetostática

2 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 1 A Magnetostática e suas leis Cargas em movimento dão origem a campos magnéticos. Assim, rigorosamente, não podemos falar de estática no magnetismo. Usamos a palavra magnetostática para designar a parte do eletromagnetismo que estuda os campos produzidos por um tipo de fluxo de corrente. Trata-se do estudo e da previsão de campos resultantes de correntes estacionárias. Existem duas formas equivalentes de definir um circuito estacionário. Na primeira, estipulamos que um circuito é estacionário se: j = 0 ( 1 ) Equivalentemente, o fluxo do vetor densidade de corrente ao longo de uma superfície fechada se anula. φ j = j ds = 0 ou seja, as cargas não se acumulam em nenhuma região do espaço. Da conservação da carga elétrica resulta que admitir (00) é o mesmo que admitir que a densidade de carga elétrica não varia explicitamente com o tempo: ( ) ρ t = 0 ( 3 ) Admitimos, ademais, que a velocidade dos transportadores de cargas só depende dos pontos do espaço. Ou seja, escrevemos: J( r, t) = J( r ) ( 4 ) Em resumo, no regime estacionário não levamos em conta a posição de cada partícula como função do tempo. Dizemos apenas que existem cargas distribuídas com uma certa densidade

3 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática e que, em cada ponto, a velocidade delas pode ser caracterizada unicamente pelo ponto do espaço considerado: ρ( rt, ) = ρ( r ) V( r, t) = V( r ) ( 5 ) Na formulação de Maxwell, a magnetostática é regida por duas leis, a saber: Br ( ) = 0 Br ( ) = J( r) µ 0 ( 6 ) Da equação acima e de (00), fica evidente que ela é válida apenas para fenômenos tais em que a densidade de carga elétrica não varia com o tempo. É importante entender que, numa formulação mais completa e geral do eletromagnetismo, utilizamos, além dos campos elétricos e magnéticos, o de dois outros campos: o potencial eletrostático (ao qual nos referimos, de agora em diante, como potencial eletromagnético) e o potencial vetor. Como já discutido anteriormente, o potencial eletromagnético é um campo escalar. E ele está intimamente ligado ao conceito de energia eletrostática. Como veremos neste capítulo, a existência do potencial vetor é uma consequência do fato de que monopolos magnéticos não existem. O potencial vetor, como o nome bem indica, é um campo vetorial. Esse campo está relacionado ao campo magnético. O uso do potencial vetor introduz uma nova metodologia para a solução de problemas no eletromagnetismo. Além disso, ele faz com que a solução de problemas na eletrostática tenha certa semelhança com a solução de problemas na eletrostática. Não Existem Monopolos: O Potencial Vetor Durante muitos anos, especulou-se sobre a possível existência de partículas elementares dotadas de um atributo denominado carga magnética (carga magnética g). Dirac chegou até mesmo a postular uma relação entre os dois tipos de carga. Essas eventuais partículas podem ser classificadas em dois grupos.

4 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 3 No primeiro grupo, estariam as partículas dotadas do atributo carga magnética. Seriam, no entanto, destituídas do atributo carga elétrica. Tais partículas, sobre as quais se especula até hoje, recebem o nome de monopolos magnéticos. O outro conjunto de partículas seriam igualmente interessantes, pois, além de possuírem o atributo carga elétrica, elas teriam também o atributo carga magnética. Essas partículas recebem o nome de Dyons. Eles foram propostos pela primeira vez por Schwinger, em 1969, mas nunca observados. Ainda são objeto de especulação. Se tais partículas existissem, elas produziriam campos magnéticos semelhantes aos campos elétricos (veja figura) e, em movimento, produziriam campos elétricos, ou seja, elas seriam fontes de campos magnéticos e sorvedouros. Se a natureza exibisse tais partículas, poderíamos escrever uma equação para o campo magnético muito semelhante à expressão para o campo elétrico. Ou seja, Br ( ) = Cρ ( r) M ( 7 ) onde C seria outra constante da natureza e ρ M ( r ) seria a densidade de cargas magnéticas. Tendo em vista o fato de que os monopolos magnéticos não existem, e que isso pode ser traduzido em termos de campos, de acordo com a expressão (000), o campo magnético tem um divergente nulo: Brt (, ) = 0 ( 8 ) ou seja, o campo magnético não se origina da existência de monopolos magnéticos ou de dyons A equação (00) descreve um comportamento da natureza. Conquanto existam cargas elétricas, o mesmo não ocorre com cargas magnéticas. Diz-se que, por isso, as leis do eletromagnetismo são assimétricas. Elas refletem, assim, uma assimetria da natureza. Da propriedade (00) resulta que o campo magnético pode ser expresso como o rotacional de um campo vetorial. Esse campo vetorial é conhecido como o potencial vetor [e representado por Art (, )]. Escrevemos: Brt (, ) = A( rt,) ( 9 )

5 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 4 É importante frisar que o potencial vetor definido acima não é univocamente determinado. Ou seja, dados dois potenciais vetores Art (, ) e A ( r,) t que difiram pelo gradiente de um campo escalar, isto é: A ( r,) t = A( rt, ) + λ( rt,) ( 10 ) onde λ é uma função escalar qualquer, e lembrando que: ( λ( rt,)) = 0 ( 11 ) propriedade essa válida para qualquer função escalar, então, conclui-se que os dois potenciais vetores levam à mesma expressão para o campo magnético: Brt (, ) = A( rt,) = A ( r,) t ( 1 ) Assim, dois potenciais distintos (diferindo pelo gradiente de uma função escalar) são equivalentes e, portanto, o campo vetorial não é univocamente determinado. Como se requer que grandezas físicas sejam univocamente determinadas, chegamos à conclusão de que o potencial vetor definido acima é uma grandeza física não observável. À transformação Art (, ) A ( rt, ) ( 13 ) com A ( r,) t dado pela expressão (00), damos o nome de Transformação de Gauge. À invariança do campo magnético por uma transformação de Gauge damos o nome de invariança de Gauge.

6 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 5 Linhas de força do Campo Magnético Uma das conclusões a que podemos chegar, a partir da lei que descreve um mundo sem monopolos magnéticos, é a de que o fluxo do campo, ao longo de uma superfície fechada qualquer, é nulo. Ou seja: B ds =0 dai acarretando dois fatos: primeiro: não existem sorvedouros, nem fontes do campo magnético (como é o caso das cargas elétricas). Assim, elas nunca terminam num ponto ou começam num ponto. segundo fato notável, associado ao primeiro: as linhas de força do campo magnéticos se fecham sobre si mesmas, isto é, são sempre linhas fechadas. O melhor exemplo é o das linhas de força do campo magnético produzido por um fio infinito. ( 14 ) As linhas de força do campo magnético produzido por um fio infinito são superfícies cilíndricas concêntricas com o fio. Outros exemplos simples são os das linhas de força do campo magnético produzidas por um ímã e pelo nosso planeta.

7 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 6 Como outra consequência do fato de que não existem monopolos magnéticos, seccionando um ímã que contém dois polos, obteremos dois ímãs, cada um deles com dois polos. Os polos aparecem aos pares. Não podemos isolá-los. Equações para o potencial vetor Neste capítulo, introduziremos o potencial vetor. O uso do potencial vetor na magnetostática faz com que, ao utilizarmos tal grandeza nas equações fundamentais da magnetostática, elas resultam ser, em termos dessa variável, muito semelhantes às equações da eletrostática, o mesmo ocorrendo para as soluções das equações da magnetostática. Para entender isso, vamos escrever as equações da magnetostática para o vácuo. Essas equações são as duas equações de Maxwell: Brt (, ) = 0 Brt (, ) = J( rt,) µ 0 ( 15 )

8 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 7 A substituição de (00) em (00) nos leva à equação: ( Art (,)) = J( rt,) µ 0 ( 16 ) Lembrando a identidade entre operadores de campo: ( (,)) = ( (, )) ( ( Art A rt Art,)) ( 17 ) chegamos à seguinte equação para o potencial vetor: ( Art (,)) ( A( rt, )) = J( r, t) µ 0 ( 18 ) Lembrando, no entanto, a enorme liberdade que temos para escolher os campos vetoriais, fazemos uso dessa liberdade para escolher o potencial vetor de maneira que satisfaça a condição: Art (, ) = 0 ( 19 ) A condição acima tem o nome de condição da transversalidade. O porquê desse nome só ficará mais claro quando, depois, estudarmos as ondas eletromagnéticas. A condição (00) elimina a ambiguidade do potencial vetor, pois, agora, entre todas as infinitas possibilidades de escolha do potencial, ficamos com apenas um, que satisfaz a escolha. Ou seja, um potencial vetor que leve à mesma expressão para o campo magnético e que, ao mesmo tempo, satisfaça a condição da transversalidade é único. De fato, dois potenciais vetores que satisfaçam a condição da transversalidade A ( r,) t = 0 Art (, ) = 0 ( 0 ) podem agora diferir entre si apenas por uma função escalar tal que ( λ( rt, ))= λ( rt,) = 0 ( 1 )

9 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 8 Uma função escalar, que satisfaça a equação acima e a condição de ser nula no infinito tem de ser necessariamente nula, isto é: λ( rt, ) = 0 ( ) E, portanto, com a condição da transversalidade, o potencial fica inteiramente determinado. Adotando-se a condição da transversalidade, as equações básicas da magnetostática se reduzem à equação: Art (, ) = µ J( rt,) 0 ( 3 ) onde o operador é conhecido como operador laplaciano: = ( 4 ) Em coordenadas cartesianas, a equação (00) se escreve como: = + + Art (, ) Art (,) = µ 0J( rt, ) x x x Assim, do ponto de vista puramente matemático, o que conseguimos foi transformar um conjunto de duas equações de primeira ordem em uma equação de segunda ordem nas derivadas com respeito às coordenadas do espaço. ( 5 ) Solução de problemas da Magnetostática A equação acima é, na realidade, um conjunto de três equações, já que o campo é um campo vetorial e, portanto, temos uma equação para cada uma das componentes: A ( r, t) = µ J ( rt,), A ( r,) t = µ J ( rt, ), A ( r, t) = µ 0 J ( r,), t x 0 x y 0 y z z ( 6 )

10 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 9 Cada uma dessas equações é uma equação de Poisson, cuja solução, que se aplica a qualquer uma das componentes, tem a mesma forma. Para a coordenada x, por exemplo, a solução é: µ 0 Jx ( ) r A r r r dr 3 x ( ) = 4π ( 7 ) A solução para o potencial vetor pode, então ser, escrita sob a forma: Ar ( ) J( ) r r r dr 3 = µ 0 ( 8 ) Para uma região hipotética (mas pouco usual) delimitada por uma caixa de lados a, b, c, devemos utilizar as coordenadas cartesianas. Nesse caso, tomando a origem numa das quinas da caixa, escrevemos: Ar ( ) = J( ) r r r dx dy dz a dx b dy c dy J( x, y, z ) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) µ ( 9 ) Lembrando que na eletrostática a solução para o potencial eletrostático, dada a densidade de carga ρ, é da forma: V ( r r ) ( ) 1 ρ = r r dr 3 πε 4 0 pode-se agora notar um paralelismo entre os problemas da eletrostática e os da magnetostática. Em alguns casos, basta a simples substituição da solução de um problema da eletrostática fazendo agora a substituição: ( 30 ) ρ ε 0 µ J 0 ( 31 ) Isto será exemplificado através da solução de problemas concretos, posteriormente.

11 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 10 A Lei de Biot-Savart A partir da expressão para o potencial vetor, podemos determinar o campo magnético, uma vez dada a densidade de corrente. A partir da expressão (00), podemos ver que isso é possível. A expressão à qual chegaremos se constitui na lei de Biot-Savart. Tomando o rotacional de ambos os membros da equação (00), teremos: µ J( r) 0 3 Brt (, ) = A( rt,) = dr ( 3 ) 4π r r Considerando-se apenas a componente x, teremos explicitamente: = J( r) J r J r z ( ) y ( ) r r y r r z r r x 1 = Jz ( ) r y r r 1 Jy ( ) r z r r y y z z = J z ( ) r Jy ( ) r r r r r ( 33 ) onde (na expressão) utilizamos a definição: r r (( x x ) + ( y y ) + ( z z )) / 1 ( 34 ) Note que a expressão (000) pode ser escrita como: = J( ) r r r J( ) r r r r r 3 x x ( 35 )

12 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 11 Concluímos, depois de escrevermos expressões análogas para as componentes y e z, que o campo magnético pode ser expresso como a integral: r r 3 Brt (, ) = µ 0 J( r ) 3 dr ( 36 ) r r A equação acima é a lei de Biot-Savart. Ela representa uma expressão para o campo magnético, uma vez conhecida a densidade de corrente em cada ponto do espaço. Observe que, até este ponto, a lei de Biot-Savart não fora demonstrada. Ela foi apenas enunciada. Assim, demonstramos que essa lei segue das duas equações fundamentais da magnotastática. Ou seja, essa lei segue de duas leis fundamentais do eletromagnetismo. Campo e potencial para um fio fino No caso de um circuito, no qual a corrente flui ao longo de um fio muito fino, as expressões para o potencial vetor, assim como para o campo magnético, podem ser simplificadas e isso porque, se o fio tem uma secção transversal de área S, então, o elemento de volume para um comprimento dl do fio é dado por: dv=sdl ( 37 ) enquanto, para o produto da densidade de corrente vezes o volume, podemos escrever: Jd 3 r = JSdl = Idl ( 38 ) uma vez que a corrente tem a direção do fio (veja figura). Assim, a expressão para o potencial vetor quando tratamos de um fio muito fino é: Ar ( ) µ 0I 1 = r r dl 4π Γ ao passo que a expressão para o campo magnético é: µ 0I r r Brt (, ) = dl 4π Γ r r 3 ( 39 ) ( 40 )

13 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 1 onde a curva Γ é uma curva associada ao trecho do circuito percorrido pela corrente. Dipolo Magnético de uma distribuição de correntes Consideremos a expressão para o campo magnético quando analisado para distâncias tais que r r, ou seja, o campo magnético a grandes distâncias das correntes que lhe dão origem. Nessas circunstâncias, o potencial vetor pode ser escrito sob a forma: µ 0 3 Jr ( ) Ar ( ) = dr ( 41 ) 4πr r r r 1 + r r r Podemos agora fazer uma expansão de Taylor, utilizando como variável dessa expansão o quociente r / r, o qual, por hipótese, é pequeno. Consideraremos apenas o primeiro termo dessa expansão, obtendo: 1 1 / + 1 ( 4 ) + r r r r r r r r r

14 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 13 E, portanto, a expressão para o potencial vetor pode ser aproximada por: µ 0 3 µ 0 3 Ar ( ) = drjr ( ) + drj ( r ) r r πr 3 4 4πr ( ) ( 43 ) Tendo em vista que na magnetostática admitimos que as linhas de campo do vetor j são sempre fechadas (uma vez que j = 0, na magnetostática), o primeiro termo se anula. O segundo termo pode ser reescrito como: 1 r r J( r ) dv = r ( r J x ) dv ( ) Para verificar tal identidade, lembramos que o primeiro termo da expressão acima é tal que sua j-ésima componente é dada por: r J xj ( ) = l ε lik i k Levando-se em conta que um termo pode ser escrito em termos de uma parte simétrica e outra antissimétrica: ( 44 ) ( 45 ) x 1 ijk = x ijk + x kj i x ijk x kji + 1 ( 46 ) E levando-se em conta que: 1 1 x x i ijk + x kj i r J r = ( ) k ( 47 ) e considerando-se ainda a identidade: ( ) = ( ) + i j i j i j x x J J x x x x J ( 48 ) Para correntes localizadas numa região finita do espaço, e lembrando que j = ( i j) = = = i j + ( j i) J x x 3 d 0 dv x J x J 0, concluímos que: ( 49 )

15 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 14 Definindo o momento de dipolo magnético µ de uma distribuição de corrente como: µ r J( r ) dv ( 50 ) o potencial vetor (...) assume a forma: µ 0 µ r Ar ( )= 3 4π r ( 51 ) O campo magnético resultante é dado por: µ 0 1 Br ( )= r µ r µ r 5 3 4π r ( ( )+ ( )) ( 5 ) Assim, para grandes distâncias, uma distribuição de correntes será percebida como um dipolo magnético, cujo momento de dipolo é dado pela expressão (00). Para um fio percorrido por uma corrente I, o seu momento de dipolo é dado por: I µ= r dl Γ ( 53 ) Linhas de força de um dipolo magnético.

16 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 15 No caso de uma corrente elétrica I ao longo de um fio, a expressão para o momento de dipolo é: µ= 1 = 1 Ir dl r dl ( 54 ) Exercícios Resolvidos: A título de exemplo, consideremos o caso de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I. Adotando-se um sistema de coordenadas com origem coincidente com o centro da espira, podemos escrever em coordenadas polares: r = Reρ ( 55 ) E para o vetor deslocamento infinitesimal: dl = Rd e θ ϕ ( 56 ) Portanto: r dl = R dθ ( 57 ) Donde inferimos que: π 1 µ = Rdθk = lπr = I Área 0 ( 58 ) Consideremos agora o caso de uma espira retangular:

17 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 16 Nesse caso, podemos separar o circuito em quatro segmentos: Ao longo do segmento 1, caracterizado por y = b/ a x a, o vetor dl é tal que: ( ) ( ) No segmento, definido pelas condições x= a/ b/ y b /, temos dl dl 1 = = dxi dyj ( 59 ) ( 60 ) ( ) No segmento 3, y = b/ a x a, o vetor dl tem o sentido oposto ao do segmento 1. No segmento 4, ( x= a/ b/ y b / ), o vetor dl tem o sentido oposto ao do segmento. Lembrando que adotamos z = 0 como o plano que contém a espira, o vetor posição é dado por: r = xi + yj ( 61 )

18 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 17 Considerando-se os produtos vetoriais, obtemos: a µ= b a b a I dxk I dy + I dx + I E isso nos leva ao resultado: µ= Iabk = I(Área) k a + b b + a a + b b + dy ( 6 ) ( 63 )

19 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 18 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

20 Eletromagnetismo» As leis da Magnetostática 19 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.