Eletromagnetismo I. Prof. Dr. R.M.O Galvão - 2 Semestre 2014 Preparo: Diego Oliveira. Aula 14

Transcrição

1 Eletromagnetismo I Prof. Dr. R.M.O Galvão - Semestre 014 Preparo: Diego Oliveira Aula 14 Campo Magnético de uma Espira de Corrente Um exemplo de cálculo do campo magnético é o de uma espira de corrente, porque têm muitas aplicações práticas. Consideremos uma espira circular, de raio a, transportando um corrente I. Queremos calcular o campo produzido pela corrente circulando na espira em qualquer ponto do espaço, xado pelas coordenadas cilíndricas (r, θ, ϕ). Em primeiro lugar, notamos que estamos supondo que a seção transversal do o da espira tenha área δs sucientemente pequena para que possamos considerar O raio vetor em que está um elemento de corrente da espira é dado por j( r )dτ = j( r) δsdl = j( r )δsd l = I l (1) r = aê r = cosϕ ê x + asenϕ ê y () por O raio do ponto de observação é dado r = rcosϕê x + asenϕê y + zê z (3) 1

2 Portanto r r = [ (rcosϕ acosϕ ) + (rsenϕ asenϕ) + z ] 1/ (4) r r = [ r + a + z ar(cosϕcosϕ + senϕsenϕ ) ] 1/ (5) ou onde r r = [r + a + z arcosα] 1/ (6) cosα = cos(ϕ ϕ ) = cosϕcosϕ + senϕsenϕ = cos(ϕ ϕ ) (7) Finalmente, notamos que o elemento de comprimento d l, paralelo à densidade de corrente j, é dado por d l = adϕ ê ϕ Substituindo estas expressões para o potencial vetor, obtemos A( r) = µ 0Ia 4π π 0 (8) ê ϕ dϕ [r + a + z arcosα] 1/ (9) Para fazer a integral, temos que decompor ê ϕ em direções que permaneçam xas durante a integração. É mais útil escolher as direções que dão a posição do ponto de observação onde A deve ser determinado; nos referindo à gura, temos que (dα = dϕ ) ê ϕ = cosαê ϕ senαê r (10) A( r) = µ 0Ia 4π π π cosαê ϕ senαê r [a + r + z arcosα] 1/ (11) No intervalo de integração a função cosα é par e senα é ímpar. Então a integral do

3 termo envolvendo senα se anual e A( r) = µ π 0Ia cosαdα π êϕ (1) 0 [a + r + z arcosα] 1/ Esta integral não pode ser expressa em termos de funções elementares; mas pode se expressas em funções das chamadas integrais elípticas, K(k) = E(k) = π/ 0 π/ 0 dθ ; integral elíptica de primeira espécie (13) 1 k senθ 1 k sen θdθ; integral elíptica de segunda ordem. (14) onde 0 k < 1. [Arfken & Weber; Mathematical Methods for Physicists (8 ed)]. No entanto, para escrever a integral em termos dessas funções, são necessárias fazer algumas transformações não óbvias; vamos detalha-las a seguir. 1. Transformação β = π α; cosα = cosβ; dα = dβ A( r) = µ 0 0Ia cosβdβ π êϕ π a + r + z + arcosβ (15). Transformação cosβ = 1 sen β/ = 1 sen θ; θ = β/; dβ = dθ A( r) = µ 0 0Ia (1 cos θ)dθ π êϕ π/ a + z + r + ar 4arsen θ = µ 0Ia π ê π/ ϕ (a + r) + z ) (sen θ 1)dθ 1 k senθ (16) onde denimos k = 4ar (a + r) + z (17) 3. Finalmente, para tentar escrever a integral como uma combinação de integrais elípticas, fazemos sen θ 1 1 k sen θ = c 1 1 k sen θ + c 1 1 k sen θ = c 1 + c c k sen θ 1 k sen θ (18) 3

4 c 1 + c = 1 c k = ; c 1 = 1 + k ; c = k (19) Então A( r) = µ 0Ia π êϕ 1 (a + r) + z k ) ] [(1 k K(k) E(k) (0) Por outro lado, (a + r) + z = ar ; então k A( r) = µ 0I π a/r k ) ] [(1 k E(k) ê ϕ (1) ar k = () (a + r) + z Campo Magnético B = A = [ 1 A z r ϕ A ϕ z Como A só tem componente ϕ, obtemos ] [ Ar ê r + r A ] [ z 1 ê ϕ + r r r (ra ϕ) 1 r ] A r ê z (3) ϕ B r = A z ; B z = 1 r r (ra) = A r + A r (4) Para calcular as derivadas, usamos as relações dk dk = K k + E k(1 k ) ; de dk = K k + E k (5) dk dr = k r (a + r) + z (a + r)r (a + r) + z ; dk dz = k a r + z (6) r (a + r) + z Com estas relações obtemos as expressões para B z e B r, com um pouco de álgebra. Não vamos fazer todas as derivações em aula, deixando-as para a quarta série de exercícios. 4

5 O resultado nal é B r = µ 0I π B z = µ 0I π ] 1 [ K(k) + a + r + z r[(a + r) + z ] 1/ (a r) + z E(k) ] 1 [K(k) + a r z r[(a + r) + z ] 1/ (a r) + z E(k) (7) Estas expressões são obviamente complexas, mas fáceis de serem utilizadas em cálculos numéricos. Primeiro é importante notar que, quando k 0, K(0) = E(0) = π/. Quando k 1, K(k 1) divergente, mas E(k = 1) = 1. Então o comportamento das duas funções é monotônico em função de k, como mostra a gura. Para implementação em cálculos numéricos, normalmente se utilizam as aproximações polinomiais para K(k) e E(k) disponíveis em M. Abramovitz & I.Stegun; Handbook of Mathematical Functions, Section 17.3 [disponível em people.math.sfu.ca/ cbm/aadns]. Uma calculadora online para estas funções pode ser encontrada em: keisan.casio.com/exec/system/

6 Comportamentos assintóticos do campo produzido pela espira circular É interessante vericar o comportamento do campo produzido pela espira de corrente para duas situações de interesse prático; próximo do eixo da espira e a uma distância R a da espira. Comportamento próximo do eixo Consideremos situações em que r a. Se si,simplesmente zermos r = 0, obtemos k = ar/(a + z ) = 0. expressões das componentes dos campo B r = 0 e Mas, neste limite, K(0) = E(0) = π/ e obtemos das B z = µ 0I a (a + z ) 3/ (8) que é o resultado para o campo ao longo do eixo da espira obtido pela Lei de Biot-Savart no curso de Física III. Mas, na realidade, queremos determinar o comportamento de B r e B z para r a, mas não nulo. Para obter este resultado, notamos que no limite k = 4ar a + z 1 (9) podemos desenvolver os integrandos de K(k) e E(k) em série de Taylor, ou seja, [1 k sen θ] ±1 = 1 ± 1 k sen θ (k sen θ) +... (30) e fazer as integrais termo a termo. Fazendo isto (que está feito na série de exercícios) obtemos de forma que [ K(k) π 1 + [ E(k) π ) (1 k K(k) E(k) π 1 ( ) 1 k + ( ) 1 k ( ) 1 3 k 4...] 4 ( ) ] 1 3 k ) ) [(1 (1 k + k k (1 k (31) (3) 3 )] 6 k (33) 6

7 ou ( ) 1 k K(k) E(k) π 5 k4 (34) Portanto a expressão para o potencial vetor próximo ao eixo da espira ca A( r) µ 0I a 5 r k3 ê ϕ = µ 0I a r 4 (a + z ) 3/ êϕ (35) As componentes do campo magnético próximo ao eixo da espira cam B r = A ϕ r = 3µ 0I 4 a r (a + z ) 5/ (36) B z = 1 r r (ra ϕ) = µ 0I a (37) (a + z ) 3/ Esta última expressão é igual à obtida pelo cálculo de B z no eixo usando a Lei de Biot-Savart. Por outro lado, a componente B r, só existe fora do eixo e, quando z a, B r se comporta com B r 3µ 0I 4 Portanto a componente B r, próxima ao eixo, cresce com r. a r z 4 (38) Campo Longe da Espira Neste caso, temos que considerar tanto r como z muito maior que a. Para isso, é mais conveniente tomar coordenadas esféricas, (R, θ, ϕ), R = r + z, e tomar o limite R a. Nessas coordenadas, temos que r = Rcosθ; z = Rcosθ e k = = = 4ar (a + r) + z 4aRsenθ a + R sen θ + arsenθ + R cos θ 4 a R senθ 1 + a R senθ (39) 7

8 Portanto, no limite R a, temos k 4 a senθ 1 e, novamente, R A( R) µ 0I a 5 r k4 ê ϕ = µ 0I a asenθ 5 Rsenθ 3 R A( R) µ 0Ia 4 asenθ R êϕ (40) senθ R êϕ (41) As componentes do campo magnético podem ser calculadas diretamente em coordenadas esféricas B = A; A = A(R, θ)êϕ B R = 1 (Asenθ) rsenθ θ (4) B ϕ = 1 (ra) R R Fazendo as derivadas, obtemos B r = µ 0Ia cosθ R ; B 3 θ = µ 0Ia senθ (43) 4 R 3 Lembrando que, para um dipolo elétrico, as componentes do campo são dadas por E R = p = qd. p cosθ 4πɛ 0 R ; E 3 θ = p senθ 4πɛ 0 R 3 (44) Vemos que o campo de uma espira de corrente é exatamente o campo de um dipolo magnético, que pode ser escrito como onde B d.mag ( r) = µ 0m 4πR 3 [cosθê r + senθê θ ] (45) m πa I (46) é denominado o Momento de Dipólo Magnético Este resultado pode ser derivado de uma forma mais geral, como mostrado na Seção do livro texto. No entanto, não cobramos o conhecimento desta formulação geral. 8

9 9