Eletrodinâmica Clássica II

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1 Eletrodinâmica Clássica II Introdução e Recapitulação Prof. Ricardo Luiz Viana Curso de Pós-Graduação em Física, Universidade Federal do Paraná Curitiba, Paraná, Brasil

2 Ementa Recapitulação - Equações de Maxwell Ondas eletromagnéticas planas Sistemas radiantes simples e difração Teoria especial da relatividade Cinemática e dinâmica de partículas relativísticas Radiação de cargas em movimento Colisões entre partículas carregadas, perda de energia e espalhamento

3 Bibliografia John David Jackson ( ), Classical Electrodynamics, Primeira edição (Wiley, 1962): todo CGS gaussiano Segunda edição (Wiley, 1975): todo CGS Gaussiano Terceira edição (Wiley, 1998): metade SI, metade CGS

4 Datas de provas 1a. prova - 27/09 2a. prova - 29/11 Prova substitutiva - 18/12

5 Recapitulação de Eletrodinâmica Clássica I As equações de Maxwell Sistemas de unidades eletromagnéticas Equações de Maxwell no vácuo Equações de Maxwell em meios materiais Condições de contorno

6 Sistemas de unidades eletromagnéticas Sistema internacional (SI), ou MKS: adoção preferencial na ciência e engenharia (livros de eletro da graduação): melhor para cálculos numéricos; Sistema gaussiano, ou CGS: adoção em áreas da física atômica, nuclear, astrofísica, etc. (livros de eletro da pós): sistema mais elegante porém inconveniente para cálculos numéricos; Sistema de Heaviside-Lorentz: CGS racionalizado, adoção em teoria quântica de campos (às vezes ainda se faz c = 1), equações enxutas ;

7 Lei de Coulomb: força elétrica entre cargas puntiformes No sistema CGS-gaussiano usamos k = 1 Unidade de carga: [q]: statcoulomb (ou e.s.u.). As dimensões de carga são M 1/2 L 3/2 T 1 se q 1 = q 2 = 1 statcoulomb e r = 1cm, então F E = 1dyn No sistema SI k = 1 4πǫ 0 = 8, N.m 2 /C 2 onde ε 0 = 8, C 2 /N.m 2 é a permissividade do vácuo

8 Constante eletrostática k Unidade de carga: [q]: coulomb. Não se pode expressar a unidade de carga unicamente em função de M, L e T (dimensões diferentes!) 1 coulomb equivale a 2, statcoulomb, mas este não é um fator de conversão! No SI precisamos definir uma grandeza fundamental adicional (corrente elétrica: SI = MKSA) No sistema Heaviside-Lorentz k = 1/4π Unidade de carga equivale a 1/ 4π do statcoulomb ou a 9, C Os sistemas SI e HL são racionalizados : expressões com simetria plana tem fator 1, ciĺındrica 2π e esférica 4π O sistema gaussiano não é racionalizado

9 Força magnética entre correntes elétricas paralelas (por unidade de comprimento dos fios) Por razões dimensionais k/ξ = c 2, onde c = 2, m/s é a velocidade da luz no vácuo No Gaussiano ξ = 1/c 2, e a unidade de corrente ([I]) é o statampére No SI ξ = µ 0 /4π = 10 7 T.m/A, logo 1 c = ε 0 µ 0 F M l = 2ξ I 1I 2 r

10 Força magnética entre correntes elétricas F M l = 2k I 1 I 2 c 2 r No SI a unidade de corrente é o ampère (A): para I 1 = I 2 = 1A e r = 1m temos F M /l = 2x10 7 N/m. Logo no SI µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 (valor exato) é a permeabilidade do vácuo Como i = dq/dt, desejamos que 1 coulomb = 1 ampère x 1 segundo 1 statampère corresponde a 3, A No Heaviside-Lorentz ξ = 1/4πc 2, e a unidade de corrente corresponde a (2, 821A)c

11 Constante eletromagnética g Força magnética sobre uma partícula carregada (Lorentz) No SI g = 1 F M = qgv B No gaussiano e no Heaviside-Lorentz g = 1 c

12 Resumo SI (MKS) CGS (Gaussiano) Heaviside-Lorentz 1 1 k 4πε 0 1 4π g 1 1 c 1 c

13 Equações de Maxwell na forma integral valem para uma região do espaço de volume V delimitada pela superfície fechada S. integral de superfície sobre S: da = ˆnda é um elemento de área vetorial, orientada pelo versor ˆn, que por convenção sempre aponta para fora da superfície S em cada ponto desta. valem para uma superfície aberta S, delimitada pelo caminho fechado C integral de linha sobre C: orientada pelo elemento de arco dl para a superfície aberta S, o elemento de área vetorial ˆnda é orientado segundo a regra da mão direita (dedos no sentido de percurso de C, polegar no sentido de ˆn).

14 Lei de Gauss elétrica Se E(r) é o campo elétrico, a integral do fluxo elétrico por uma superfície fechada S é proporcional à carga ĺıquida q envolvida por S Φ E = E ˆnda = 4πkq, S

15 Lei de Gauss magnética Se B(r) é o campo magnético, a integral do fluxo magnético Φ B sobre uma superfície fechada S é nula, pois não existem monopólos magnéticos isolados Φ B = B ˆnda = 0, S

16 Um fluxo magnético variável com o tempo induz uma força eletromotriz E igual à circulação de um campo elétrico E induzido ao longo de um caminho fechado C E = C E dl = g Φ B t onde Φ B = S B ˆnda é o fluxo magnético através de uma superfície S aberta e limitada pelo caminho C. O sinal negativo é devido à Lei de Lenz Lei de Faraday

17 A circulação do campo magnético B ao longo de um caminho fechado C é proporcional à corrente elétrica ĺıquida I envolvida por C bem como à corrente de deslocamento, que é proporcional à variação temporal do fluxo elétrico B dl = 4πk gc 2 I + 1 Φ E gc 2 t, C onde Φ E = S E ˆnda é o fluxo elétrico através de uma superfície S aberta e limitada por C. Lei de Ampère-Maxwell

18 Forma integral das Equações de Maxwell no sistema SI E ˆnda = q, S ε 0 B ˆnda = 0, S E dl = B ˆnda, C t S B dl = µ 0 I + 1 C c 2 E ˆnda t S F = q(e+v B)

19 Forma integral das Equações de Maxwell no sistema CGS-Gaussiano E ˆnda = 4πq, S B ˆnda = 0, S E dl = 1 B ˆnda, C c t S B dl = 4π C c I + 1 E ˆnda, c t S F = q (E+ 1c ) v B

20 Forma integral das Equações de Maxwell no sistema de Heaviside-Lorentz E ˆnda = q, S B ˆnda = 0, S E dl = 1 B ˆnda, C c t S B dl = 1 C c I + 1 E ˆnda, c t S F = q (E+ 1c ) v B

21 Equações de Maxwell na forma diferencial Lei de Gauss elétrica: usando o teorema do divergente transformamos a integral sobre a superfície fechada S numa integral de volume do divergente de E sobre a região V limitada por S. Com a densidade volumétrica de carga ρ(r) E ˆnda = EdV = 4πkq = 4πk ρdv, S V V ( E 4πkρ)dV = 0. V Se a integral acima é nula para um volume V arbitrário, então E = 4πkρ. Lei de Gauss magnética: aplicando o mesmo raciocínio obtemos B = 0,

22 Lei de Faraday Usando o Teorema de Stokes transformamos a integral da circulação do campo elétrico E ao longo de um caminho fechado C na integral de superfície do rotacional de E ao longo da superfície aberta S, limitada pelo caminho C. C E dl = ˆnda = g S( E) t S B ˆnda = g ( E+g B t S S B t ˆnda, ) ˆnda = 0. Se a integral acima é nula numa superfície S aberta arbitrária, o integrando deve ser identicamente nulo: E = g B t.

23 Lei de Ampère-Maxwell Usamos o Teorema de Stokes para transformar a integral de caminho numa integral de superfície. Além disso, escrevemos a corrente elétrica ĺıquida i atravessando a superfície S (limitada por C) como a integral de uma densidade superficial de corrente J(r). C B dl = ( B) ˆnda = 4πk S gc 2 S S J ˆnda+ 1 gc 2 ( B 4πk gc 2 J 1 E gc 2 t S E t ˆnda, ) ˆnda = 0. Se a integral acima é nula em S, assim também o integrando B = 4πk gc 2 J+ 1 gc 2 E t.

24 Forma diferencial das Equações de Maxwell no sistema SI E = ρ ε 0, B = 0, E = B t, B = µ 0 J+µ 0 ε 0 E t.

25 Forma diferencial das Equações de Maxwell no sistema CGS-Gaussiano E = 4πρ, B = 0, E = 1 c B t, B = 4π c J+ 1 c E t.

26 Forma diferencial das Equações de Maxwell no sistema de Heaviside-Lorentz E = ρ, B = 0, E = 1 c B t, B = 1 c J+ 1 c E t.

27 Campo elétrico no vácuo (SI) Lei de Gauss elétrica campo elétrico de uma carga puntiforme q situada na origem: E(r) = 1 4πε 0ˆr/r 2 = 1 4πε 0 qr/r 3 Se a carga estiver no ponto r, o campo será E(r) = 1 4πε 0 q(r r ) r r 3 Sistema de N cargas puntiformes (princípio de superposição): E(r) = 1 4πε 0 N a=1 q a (r r a ) r r a 3 Densidade singular de carga ρ(r) = a q aδ(r r a ) Distribuição contínua de cargas: dq = ρ(r )d 3 r E(r) = 1 4πε 0 V dv ρ(r )(r r ) r r 3

28 / t = 0 e B = 0. Eletrostática no vácuo (SI) Da lei de Faraday E = 0. Então E = φ, onde φ(r) é o potencial escalar Potencial de uma distribuição de carga ϕ(r) = 1 dv ρ(r ) 4πε 0 V r r Lei de Gauss elétrica (forma diferencial) equação de Poisson (inomogênea) E = 2 ϕ = 1 ε 0 ρ(r ) Se ρ = 0: equação de Laplace (homogênea) 2 ϕ = 0

29 Dipolo elétrico Momento de dipolo elétrico p = q a r a = a V dv r ρ(r ) Potencial de um dipolo elétrico (na origem) ϕ(r) = 1 p r 4πε 0 r 3 Se o dipolo estiver em r é só trocar r por r r Campo elétrico de um dipolo (a grandes distâncias) E = ϕ = 1 3r(p r) p 4πε 0 r 5

30 Polarização Moléculas polares: tem um momento de dipolo elétrico permanente. Ex. H 2 0 Moléculas apolares: podem ter um momento de dipolo elétrico induzido por um campo externo. Polarização: momento de dipolo elétrico total médio por unidade de volume P = a N a p a Polarização espacialmente inomogênea produz uma densidade volumétrica de cargas de polarização ( cargas ligadas ): ρ p = P

31 Lei de Gauss elétrica em meios materiais adicionamos a densidade de cargas de polarização à densidade de cargas livres E = 1 ε 0 (ρ+ρ p ) = 1 ε 0 (ρ P) Definindo o vetor deslocamento elétrico D = ε 0 E+P a lei de Gauss elétrica num meio material é escrita D = ρ

32 Dielétricos relação constitutiva: P = ε 0 χ e E χ e : susceptibilidade elétrica dielétricos isotrópicos e lineares: D = εe ε: permissividade elétrica K = ε/ε 0 = 1+χ e : constante dielétrica K = 1 (vácuo) e K > 1 em geral

33 Magnetostática no vácuo (SI) / t = 0 e E = 0. Lei circuital de Ampère: B = µ 0 J Na forma integral B dl = µ 0 J ˆnda C C }{{} =I = µ 0 I Campo magnético de um fio retiĺıneo infinito B(r) = µ 0I 2πr Lei de Gauss magnética: B = 0: podemos escrever B = A, onde A: potencial vetor. Lei de Ampère no gauge de Coulomb ( A = 0) B = ( A) = ( A }{{}) 2 A = µ 0 J =0

34 Magnetostática no vácuo Equação de Poisson vetorial 2 A(r) = µ 0 J(r) Por analogia com a equação de Poisson escalar da eletrostática, A(r) = µ 0 dv J(r) 4π V r r Campo magnético (Lei de Biot-Savart) B = A = µ 0 dv J(r) (r r ) 4π V r r 3

35 Magnetostática no vácuo Momento de dipolo magnético m = 1 dv r J(r ) 2 Para um circuito fechado de área A: m = IA. Potencial vetor gerado por um dipolo magnético V A(r) = µ 0 m r 4π r 3 Campo magnético gerado por um dipolo magnético B(r) = µ 0 3r(m r) m 4π r 5

36 Magnetização Momentos de dipolo magnético: orbital e intrínseco (spin) Magnetização: momento de dipolo magnético total médio por unidade de volume: M = a N a m a Uma magnetização espacialmente inomogênea gera uma densidade de corrente de magnetização J m = M Uma polarização dependente do tempo leva a uma densidade de corrente de polarização J p = (1/µ 0 ) P/ t

37 Lei de Ampère-Maxwell somamos a densidade de corrente livre com as densidades de corrente de magnetização e de polarização B E ( t = µ 0(J+J m +J p = µ 0 J+ M+ P ) t definimos o vetor intensidade magnética H = 1 µ 0 B M reescrevemos a lei de Ampère-Maxwell para meios materiais como H D t = J as leis de Gauss magnética e de Faraday não são modificadas pela presença de meios materiais

38 Meios magnéticos relações constitutivas para meios não-ferromagnéticos: M = χ m H χ m : susceptibilidade magnética meios paramagnéticos χ m 0 meios diamagnéticos χ m 0 B = µh µ = µ 0 (1+χ m ): permeabilidade magnética

39 Meios ferromagnéticos a relação B = B(H) não é linear e apresenta efeitos de memória: curva de histerese remanência: B(H = 0) coercividade: H(B = 0) localmente B = µh com µ 1 existência de domínios magnéticos

40 Meios condutores E = 0 em seu interior (no equiĺıbrio eletrostático) relação constitutiva linear (lei de Ohm) J = σe σ: condutividade elétrica

41 Forma diferencial das Equações de Maxwell para meios materiais D = ρ, B = 0, E = B t, H = J D t.

42 Condições de contorno caixa de pílulas Gaussiana D 1n D 2n = σ s σ s : densidade de carga na interface espira Amperiana B 2n B 1n = 0 E 2t E 1t = 0 K: densidade de corrente fluindo na interface H 2t H 1t = µ 0 K