Fundamentos do Eletromagnetismo - Aula IX

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1 Fundamentos do Eletromagnetismo - Aula IX Prof. Dr. Vicente Barros Conteúdo 11 - Energia eletrostática e capacitância. Conteúdo 12- Capacitores.

2 Antes uma revisão Existe o famoso triângulo das equações da eletrostática. Vamos utilizá-lo, mas o construiremos a partir destas figura abaixo. ρ V E= V V = E d l E

3 Conteúdo 11 - Energia eletrostática e capacitância. Dielétricos e capacitores Para entendermos a energia dentro do contexto da eletrostática primeiro devemos ficar atentos sobre os elementos que fazem parte dos circuitos elétricos e materiais elétricos. Primeiro iremos para as definições. O que é um dielétrico. De maneira geral um dielétrico pode ser entendido como um isolante, um material que faz oposição à passagem da corrente elétrica. Os elementos da natureza normalmente utilizados como dielétricos são aqueles que não possuem elétrons livres em sua estrutura molecular. Como já citamos, qualquer elemento pode ser eletrizado dependendo da intensidade do campo elétrico no qual ele foi submetido.

4 O elemento elétrico com a configuração acima é denominado de capacitor de placas paralelas com meio dielétrico. Dielétricos e capacitores Assim, podemos pensar que um dielétrico é um isolante que pode ser polarizado por um campo elétrico aplicado. O termo polarizado pode ser entendido como a orientação da distribuição de cargas elétricas dentro do elemento sem permitir que o mesmo deixe de ser neutro. A figura abaixo ilustra esta ideia.

5 Estudo de capacitores de placas paralelas Podem existir diversos capacitores com diferentes geometrias, mas iniciaremos o nosso estudo com os mais simples. A função prática do capacitor é a de armazenar carga elétrica em seu interior. Usando a lei de Gauss S E d S= q 0 Onde: ε0 é a permissividade elétrica do vácuo. Podemos pensar agora em outro tipo de permissividade elétrica, a permissividade do meio dielétrico ε.

6 Estudo de capacitores de placas paralelas = 0 A letra grega κ (capa) é a constante dielétrica (adimensional). Fazendo a superfície gaussiana entre a placa e o meio dielétrico. Superfície gaussiana É fácil ver que: E= q 0 A Alguns poucos valores de κ. Material κ Ar 1 Água 80 Nylon 3,5 vidro 5 a 10

7 Capacitância Podemos definir a capacitância como a grandeza que mede a capacidade de armazenamento de energia na forma de carga elétrica. A expressão da mesma é dada por: C= Q V Onde: V é a tensão ou diferença de potencial a qual é aplicada no capacitor e Q é a carga elétrica. A unidade no sistema internacional é o Farad F. Para o caso de capacitor de placas paralelas, tem-se que: V =Ed logo: C= A d

8 Lembrando que a variação da energia potencial está relacionada ao trabalho, termos o seguinte valor de energia no fim de um processo. Energia armazenada num capacitor Agora, temos condições de pensar no trabalho mecânico realizado pela força gerada pelas configurações eletrostáticas. Assim, para deslocar uma carga de um ponto A para um ponto B o trabalho realizado será: Usando o infinitésimo: W AB =q V AB W =qv dw =V dq Pois quem varia no processo de carregamento é a carga elétrica. Usando a definição de capacitância W = i f q C = [ 1 C q 2 f 2 ]i

9 Os vetores deslocamento elétrico e polarização elétrica O que acontece com um átomo neutro na presença de um campo elétrico? Então pensaremos em um dipolo a exemplo do que discutimos anteriormente, ou seja, proporcional ao campo elétrico. p= E A constante α é chamada de polarizibilidade atômica. Até o momento falamos apenas em termos do campo elétrico no vácuo. Mas, desde a época de Faraday se notava uma queda na diferença de potencial de um capacitor se fosse inserido um isolante entre suas placas. V 0 V 0 κ Não definimos ainda campo elétrico dentro do isolante então não podemos falar nada sobre isso.mas, percebemos uma descontinuidade do mesmo no capacitor.

10 Os vetores deslocamento elétrico e polarização elétrica ds E E n 1 2 n E 2 E 1 ds= dq p 0 Assim, teremos: n E 2 E 1 =E 0 E=E Usando a lei de Gauss = p ds 0 Agora teremos um densidade de carga superficial σp, com p = 0 1 E Onde E é o campo no interior do meio. O efeito parece com a indução eletrostática, mas a mesma só existe se possuirmos cargas livres em um condutor, mas no dielétrico temos um isolante

11 Os vetores deslocamento elétrico e polarização elétrica Assim, teremos uma polarização (criação de momentos de dipolo) A aplicação do campo produz um deslocamento das cargas positivas na direção do mesmo e das negativas no sentido contrário criando o dipolo. Um elemento de superfície dentro do dielétrico é atravessado por uma carga total dq. Essa carga varia com a orientação do versor. Assim: n dq= P d S = P n ds Onde P é o campo de polarização. Após alguma análise vetorial e atenção redobrada para a produção de momentos de dipolos atómicos você chegará em uma expressão semelhante a lei de Hooke. d P n'

12 Os vetores deslocamento elétrico e polarização elétrica P= 0 E No momento, não podemos pensar muito especificamente na formação do dipolo atômico pois precisamos de Mecânica Quântica. Vamos assumir o que temos acima. Onde a constante χ é a suscetibilidade elétrica do meio. Ambos os campos possuem a unidade de N/C ou C/m 2.Você sabe o porquê? Agora, se a polarização varia de ponto a ponto dentro do dielétrico, surgem cargas e polarização além da superfície, ou seja, no volume. As cargas migram de dentro do volume para a superfície e podemos, pensando na equação da continuidade, escrever a seguinte equação. S P n ds= V P dv Pela conservação, teremos a expressão para a variação da carga. q= V P dv

13 Os vetores deslocamento elétrico e polarização elétrica Podemos pensar em uma densidade de carga volumétrica de polarização e chegamos em: Se, além do dielétrico, existirem cargas livres, a densidade total de carga que gera o campo elétrico é ρ+ρp. Então ficaremos com: Mas, Como: P = p E= p Vamos reescrever os divergentes. 0 E= P P= 0 E [ 1 E ]= 0 = E = D

14 Os vetores deslocamento elétrico e polarização elétrica Assim, o campo D é dado por: D= E A constante κ é chamada de constante dielétrica do isolante. A constante κ é dada por: =1 = 0 1

15 Os vetores deslocamento elétrico e polarização elétrica Para ilustrar espacialmente teremos: A relação que associa os três vetores é: D= 0 E P

16 Algumas observações Não iremos nos aplicar no comportamento coletivo de capacitores como associação de capacitores e associação de capacitores com resistores pois este tema foi explorado em circuitos elétricos. Podemos fazer alguns exercícios para testar nossos conhecimentos adquiridos até o momento.

17 Exercícios Informações 0 =8, F /m 1-) Um capacitor plano de capacitância 5 μf recebe uma carga elétrica de 20 μc. Determine: a. a ddp entre as armaduras do capacitor; b. a energia potencial elétrica armazenada no capacitor. 2-) Calcule a carga elétrica adquirida por um capacitor de 100 μf, quando conectado a uma fonte de tensão de 120 V. 3-) Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares preenchidas com ar com um raio de 4,10cm, separadas por uma distância de 1,00mm. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual é a carga das placas se uma diferença de potencial de 110V é aplicada ao capacitor? (c ) Há alguma diferença pelo fato das placas serem circulares? Explique. 4-) Demonstre que o campo de polarização gerado por uma carga q é dada por: P= 1 q 4 r 3 r