Eletromagnetismo Ondas Eletromagnéticas

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1 Eletromagnetismo Ondas Eletromagnéticas

2 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 1 Óptica entendida a partir do Eletromagnetismo Até o ano de 1864 acreditava-se que os fenômenos associados à luz e aqueles associados ao eletromagnetismo seriam inteiramente distintos. Nesse sentido, poder-se-ia dizer que a óptica e o eletromagnetismo eram considerados até então ciências distintas. Nesse ano, Maxwell sugeriu que se pode encontrar a descrição de todos os fenômenos eletromagnéticos a partir das soluções de um conjunto de 4 equações a derivadas parciais de primeira ordem no tempo e no espaço. Essas equações são hoje conhecidas como as Equações de Maxwell. Elas são equações que preveem relações simples entre taxas de variação dos campos elétricos e magnéticos e as distribuições das cargas elétricas e das correntes que lhes dão origem. Maxwell foi um pouco mais além da fenomenologia do eletromagnetismo conhecido àquela época, e acrescentou um novo termo a uma das equações, termo esse conhecido como corrente de deslocamento. Esse novo termo - a corrente de deslocamento - prevê, por outro lado, o surgimento de um campo magnético pelo mero fato de o campo elétrico variar com o tempo. Ou seja, um campo elétrico variável tem o mesmo papel que uma corrente elétrica. É importante observar que a adição da corrente de deslocamento foi justificada, acertadamente, por Maxwell como uma necessidade imposta pelo princípio da conservação da carga elétrica. A conservação da carga elétrica, respeitada agora pela adição de um novo termo a uma das equações bem conhecidas, tem consequências mui importantes, entre as quais a existência de ondas eletromagnéticas constituídas por campos elétricos e magnéticos que se propagam como ondas. São as ondas conhecidas hoje como ondas eletromagnéticas. Maxwell identificou algumas dessas ondas como associadas à luz. A análise de Máxwell lhe permitiu concluir que: The agreement of the results seems to show that light and magnetism are affections of the same substance, and that light is an electromagnetic disturbance propagated through the field according to electromagnetic laws. Dessa forma, Maxwell percebeu que a descrição dos fenômenos associados à luz pode ser entendida a partir do eletromagnetismo. Deu-se assim o que denominamos hoje unificação do eletromagnetismo com a óptica. Ao unificar a ciência do eletromagnetismo com a óptica, James Clerk Maxwell deu uma das mais significativas contribuições à ciência. A rigor, Maxwell demonstrou

3 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas que todos os fenômenos associados à luz, e mais ainda às ondas eletromagnéticas, podem ser entendidos a partir da sua teoria para o eletromagnetismo. Pouco mais de uma década depois das descobertas de Maxwell, as ondas eletromagnéticas foram produzidas e detectadas por Hertz. A previsão teórica dessas ondas deve ser creditada à percepção de Maxwell de que as leis de conservação devem ser encaradas como um guia seguro na formulação das leis físicas. Equações de Maxwell e as Ondas Eletromagnéticas Maxwell e Hertz. Os fenômenos eletromagnéticos decorrentes da existência de cargas em repouso ou em movimento, descritos pelas distribuições (ρ e J ), eram bem descritos, até a época de Maxwell, em termos dos campos elétricos (D e E ) e dos campos magnéticos (H e B ), por meio de quatro leis, que podem ser escritas formalmente como: D = ρ B E = t B = H = J A primeira lei é equivalente à Lei de Coulomb. A segunda é uma forma de expressar a Lei da indução de Faraday. A terceira implica que monopolos magnéticos não existem. A última é uma versão da lei de Ampère. Essa última, quando escrita na forma (), leva a um problema como a conservação da carga elétrica, pois se tomarmos o divergente dessa equação concluiremos que; ( 1 ) J = ( ) A conservação da carga elétrica, por outro lado, requer que a seguinte relação seja válida: ρ J = t ( 3 )

4 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 3 De forma a respeitar tal relação, Maxwell acrescentou o termo D t (a corrente de deslocamento) ao último termo de (). As equações de Maxwell se escrevem como: D =ρ B E = t ( 4 ) B = D H = J + t Num meio dielétrico livre de cargas e correntes, as equações de Maxwell são: D = B E = t B = D H = t ( 5 ) Levando-se em conta a existência da corrente de deslocamento, veremos a seguir que, utilizando-se de manipulações não muito complexas, as equações de Maxwell no espaço podem ser escritas sob a forma da equação de ondas. Tomamos primeiramente o rotacional das equações [() e ()]. Obtemos: ( E ) = t D ( H ) = t ( B) Lembrando a identidade vetorial, válida para qualquer vetor: = + ( E ) E ( E ) ( 6 ) ( 7 )

5 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 4 E lembrando as relações válidas para meios materiais lineares e isotrópicos: B = µ H D = εe onde as constantes (ε) e (μ) são denominadas, respectivamente, permissividade elétrica e permitividade magnética do material (μ). Elas são características do meio material no qual a onda se propaga. Lembrando ainda que os divergentes dos campos são nulos, concluímos que tanto o campo elétrico quanto o campo magnético satisfazem a equação de ondas, a saber: E E = εµ t B B = εµ t Explicitamente, escrevemos: E xyzt,,, E xyzt,,, E xyzt,,, E xyzt,,, + + = µε x y z t ( ) ( ) ( ) ( ) H xyzt H xyzt H xyzt H xyzt + + = µε x y z t (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) E, portanto, os campos elétrico e magnético podem se propagar como ondas no espaço. Tais ondas recebem o nome de ondas eletromagnéticas. Os campos elétrico e magnético, nesse caso, são os componentes da onda. A razão para a sua propagação mesmo no vácuo tem relação com o fenômeno conhecido como indução eletromagnética. Ou seja, um campo elétrico que varia com o tempo induz um campo magnético que varia com o tempo e este último, ao variar com o tempo, induz um campo elétrico que varia com o tempo, e assim sucessivamente. De acordo com a teoria de Maxwell, a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas depende das propriedades elétricas e magnéticas do material no qual a onda eletromagnética se propaga. Sua relação com a permissividade elétrica (ε) e a permitividade magnética do material (μ) é: ( 8 ) ( 9 ) ( 1 ) ( 11 ) 1 v = εµ ( 1 )

6 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 5 As ondas eletromagnéticas têm, portanto, uma velocidade de propagação que depende das propriedades eletromagnéticas do meio. É importante observar que o vácuo deve ser encarado como um meio em que as ondas podem se propagar. Isso não veio a ser entendido de pronto, nem mesmo por Maxwell, o qual advogava a existência de um meio dotado de um caráter absoluto denominado Éter. A velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo, representada pela letra c, é dada por: 1 c = εµ ( 13 ) onde agora adotamos os valores da permissividade elétrica (ε ) e a permitividade magnética do vácuo (μ ). O valor da velocidade da luz no vácuo, adotado hoje como uma constante fundamental da natureza é: c = 99,79,458 metros por segundo. ( 14 ) De acordo com a Teoria da relatividade de Einstein, a velocidade da luz seria a velocidade limite de propagação e, ademais, tem um caráter absoluto. Ou seja, o seu valor é o mesmo, independentemente do referencial adotado para medi-la. Ondas planas Uma onda plana é aquela cuja dependência em relação à posição pode ser escrita como: V r t (, ) = V ( r s, t) ( 15 ) onde s é um versor que indica uma dada direção no espaço. Por definição, ela assume valores que dependem apenas do tempo, ao longo de um plano, definido pela condição: rs = a ( 16 ) onde a é uma constante.

7 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 6 Tendo em vista que V(r s, t) satisfaz a equação de ondas 1 V V = υ t se definirmos a variável ζ = r s, então, as seguintes propriedades são válidas: x ζ z ζ y ζ = s x, = s, z = s y ( 17 ) ( 18 ) Donde se infere que a V = s + s + s = ( x y z ) ζ V ζ ( 19 ) E, portanto, a solução da equação de ondas se reduz à solução da equação: V 1 V = ζ υ t ( ) cuja solução pode ser escrita de forma geral: ( ) ( ) V= V rs υ t + V rs+υt 1 ( 1 ) As funções V 1 e V descrevem ondas que se propagam em sentidos opostos. Sua determinação pode ser feita considerando-se as condições iniciais.

8 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 7 Ondas Eletromagnéticas Harmônicas planas Consideremos o caso de onda eletromagnética harmônica plana e monocromática, isto é, uma onda plana, harmônica e com uma frequência bem definida. Tal onda é descrita por campos cuja forma geral é: ( ) E rt, E( ke ) ikr = ωt ( ) ( ) ( ) Brt, B( ke ) ikr = ωt ( ) ( 3 ) onde ω é a frequência angular da onda eletromagnética e k é o seu vetor de onda. E e B são as amplitudes dos campos elétrico e magnético, respectivamente. O vetor de onda é indicado pelo símbolo k. As soluções acima são tais que a fase da onda eletromagnética é constante ao longo de planos caracterizados pela condição: kr= constante ( 4 ) Pode-se constatar que o vetor de onda é perpendicular a tais planos (veja figura). Ou seja, o vetor de onda estabelece a direção e sentido de propagação das ondas eletromagnéticas. As ondas harmônicas são ondas periódicas de período T, dado pela condição: ωt = π ( 5 ) A frequência ( f ) de uma onda é definida como o inverso do período. Temos, assim: 1 f = ω T = π ( 6 ) O comprimento de onda de uma onda harmônica é um intervalo de distância. Ele é tal que quando a onda é analisada a partir do final desse intervalo, ela se torna indistinguível em relação à onda analisada no início do intervalo.

9 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 8 Substituindo-se as soluções propostas acima nas equações () e (), obtemos a relação usual entre o vetor de onda e a frequência angular: k = v ω = v (πf ) ( 7 ) De () vemos que o vetor k, conhecido como vetor de onda, é tal que o seu módulo se relaciona com o comprimento de onda da seguinte forma: kλ = π ( 8 ) e, portanto, para as ondas eletromagnéticas monocromáticas planas vale a relação comum a todas as ondas harmônicas: v = λf ( 9 ) Transversalidade das Ondas Eletromagnéticas Podemos classificar as ondas em duas grandes categorias quanto à direção de propagação em relação à direção na qual a onda oscila: Ondas Longitudinais e Ondas Transversais. Nas ondas longitudinais, elas oscilam na mesma direção de propagação da onda. As ondas transversais são aquelas para as quais as oscilações ocorrem numa direção que é ortogonal à direção de propagação da onda. Ondas que se propagam numa corda são exemplos de ondas transversais. Vamos demonstrar que as ondas eletromagnéticas são ondas transversais, isto é, enquanto as onda se propagam, por exemplo, ao longo do eixo x, os campos elétricos e magnéticos oscilam ao longo do plano y-z, que é um plano perpendicular a essa direção. Veja figura (). Para demonstramos isso, substituiremos as soluções () em (). Obtemos então: E k =, B k = ( 3 )

10 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 9 Assim, um aspecto importante a respeito das ondas eletromagnéticas harmônicas é a oscilação do campo elétrico numa direção que é ortogonal à direção em que oscila o campo magnético. k E B = ( 31 ) ω conclui-se, portanto, que: E B =, E k =, B k = ( 3 ) ou seja, os campos são perpendiculares entre si e perpendiculares à direção de propagação da onda. Ondas Esféricas Tratando-se de dependência das coordenadas espaciais, uma onda esférica é aquela que depende apenas da coordenada esférica r definida por: r = r = x + y + z ( 33 ) ou seja, uma onda esférica depende da coordenada r e do tempo. Escrevemos: V = V(r, t) ( 34 )

11 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 1 Utilizando a regra de derivação para uma função que depende de outra função da variável x, escrevemos, para a derivada primeira e segunda com respeito a essa variável: V V r Vx = = x r x r r V Vx V 1 x = + x r r r r r 3 Efetuando a soma sobre as 3 variáveis, obtemos: ( 35 ) ( ) V V 1 rv V = + = r r r r r ( 36 ) E, portanto, a equação de onda se escreve sob a forma: r 1 = υ t ( rv ) ( rv ) ( 37 ) cuja solução mais geral possível é: ( υ ) ( +υ ) V1 r t V r t V(,) rt = + r r ( 38 ) onde V 1 e V são funções que dependem da forma da onda quando do início da sua propagação. A primeira solução descreve uma onda que se propaga afastando-se da origem (o ponto de coordenadas r = ). A segunda solução é uma onda que converge para a origem, ou seja, que termina nesse ponto. De particular interesse no estudo da difração são as ondas harmônicas esféricas. A expressão geral dessas ondas é, para onda saindo da origem, A A V r t = e kr t r = ω r + i( kr ωt) (, ) Re cos( ) ( 39 ) enquanto, para ondas que se dirigem para a origem, escrevemos: A A V r t = e kr t r = ω r i( kr ωt) (, ) Re cos( ) ( 4 )

12 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 11 Uma onda monocromática mais geral pode ser escrita como: V ( rt, ) = Re{ U( r) e ω i t } ( 41 ) onde a função U(r) satisfaz a equação: + = U nku ( 4 ) A expressão mais geral para a função U(r) é: ( ) = ( ) U r a r e ig( r) ( 43 ) Superposição de Ondas Eletromagnéticas Levando-se em conta a equação de ondas, é fácil verificar que, se (E 1, B 1 ) e (E, B ) satisfizerem a equação de ondas, então, a soma dessas duas ondas também satisfará tal equação. Essa é a base do princípio da superposição. Assim, a superposição de duas ondas gera uma nova onda. A superposição de duas ondas monocromáticas não é uma onda monocromática. Para a superposição de n ondas harmônicas planas e monocromáticas escrevemos: n E rt = E ki e ω ikr ( i it) (, ) ( ) Para a superposição de um número muito grande de ondas que se aproxime de um contínuo, substituímos a soma por uma integral sobre as frequências, isto é: i= 1 n B rt = B ki e ω ikr ( i it) (, ) ( ) i= 1 ik ( ( ω) r ωt) 3 E( rt, ) = E ( ke ) dk ik ( ( ω) r ωt) 3 E( rt, ) = E ( ke ) dk ( 44 ) ( 45 ) ( 46 ) ( 47 )

13 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 1 Quando recorremos ao limite do contínuo, tratando-se da superposição de ondas harmônicas planas, estamos falando de um pacote de ondas. Nesse caso, a onda resultante se espalha por todo o espaço, formando um pacote concentrado de energia eletromagnética. Tais pacotes exibem uma largura. Aqui podemos incluir casos como sinais elétricos ou pulsos, que se propagam num determinado meio. Consideremos, a título de ilustração, a propagação de um sinal. Por sinal, entendemos um pacote de energia concentrado numa região do espaço e tendo uma duração Δt ( 48 ) Sinais podem ser tanto tensões quanto campos elétricos que variam com o tempo de tal forma que permita a propagação de informações. Seja esse sinal descrito por uma componente apenas do campo elétrico, e que esse sinal se propague na direção do eixo x. Tal sinal é uma superposição de ondas harmônicas dada, de acordo com (), pela superposição de ondas monocromáticas: ( ω ) E E e d ( ) i t kx = ω ω ( 49 ) Seja a região na qual ele está concentrado caracterizada por um comprimento Δx ( 5 ) Δx é, portanto, o tamanho do pacote. Admitiremos também que tal pacote é caracterizado não só pela dependência das amplitudes das ondas eletromagnéticas com a frequência (E (ω)) como também por uma relação entre os comprimentos de onda e a frequência: k = k(ω) ( 51 ) No caso em que essa dependência é linear, da forma: 1 k = ω v ( 5 )

14 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 13 o sinal se propaga sem dispersão. No caso geral, isso não ocorre. O pacote altera sua forma, ou seja, ele se dispersa. Consideremos o caso em que tal pacote tenha frequências dentro do intervalo: ω ω ω ω + ω ω+ ω/ i( ω t kx) E( xt, ) E( ) e d ω ω/ = ω ω ( 53 ) ( 54 ) Admitindo que E (ω) tenha um pico acentuado para o valor da frequência ω, ela passa a ser a mais relevante. Assim, podemos fazer uma expansão da função k(ω) em torno desse valor. Desprezando os termos de ordem superior ao termo linear, escrevemos: dk k( ) ( ) ( ) ω = k ω + ω ω dω ω=ω ( 55 ) E, portanto, o sinal pode ser aproximado de acordo com a seguinte expressão: ω ω+ dk i( ω ω ) t x i( t kx ) d ω=ω ω ω ω ω E= Ee e dω / dk ω iξ t x i( ωt kx ) d i( ωt kx ) ω/ ω ω=ω ( ) = ( ω ) ξ= ( ω ) E t E e e d E e dk sen t x d. ω dk t x d ω ω=ω ω=ω ω ( 56 ) ( 57 ) a qual pode ser escrita como: i( ωt kx ) dk E = E( ω) e ωf t x d ω ω=ω ω ( 58 )

15 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 14 onde a função F é dada por: ( ) F y sen y = y ( 59 ) O gráfico da função F é mostrado na figura. Nota-se que ela se anula para valores do argumento tais que: y = π, π, 3π,... ( 6 ) E que se torna significativa apenas no intervalo dado por: Δy π ( 61 ) Note-se que o sinal exibe duas velocidades de propagação. A primeira velocidade é conhecida como velocidade fase. Tal velocidade, como se vê em (), não tem um significado físico relevante, pois a fase não é uma grandeza física mensurável. A velocidade fase é dada por: V f ω k = = ω k ( 6 ) A outra velocidade fisicamente relevante é a velocidade com que o pacote se propaga. Ou seja, a velocidade com que a informação pode ser levada pode ser inferida a partir da expressão da velocidade de propagação do máximo da função F(y). Esse máximo ocorre para o valor y =. sen y lim F( y) = lim = 1 y y y ( 63 ) A condição acima é satisfeita para dω x = dk ω=ω t ( 64 )

16 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 15 Definimos, assim, velocidade de grupo como a taxa de variação: V G dω = dk ( 65 ) A condição (), quando aplicada para intervalos de tempo, nos leva à seguinte relação entre a duração do sinal e a dispersão, em termos de frequências, do pacote: ω y = t π ( 66 ) Donde inferimos uma relação simples entre duração e dispersão de um pacote unidimensional: ω t π ( 67 ) Tal expressão se aplica, igualmente, no caso geral. Vejamos agora a condição (), quando consideramos o tempo fixo, mas levamos em conta a distribuição espacial do pacote. De (), concluímos que: ω dk k x y = x = π dω ( 68 )

17 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 16 E, consequentemente, obtemos uma relação entre o tamanho espacial do pacote e a dispersão, considerando agora os vetores de onda, análoga à expressão (). Ou seja: k x π ( 69 ) Pode-se mostrar que um pacote tridimensional concentrado numa região caracterizada pelo volume de dimensões espaciais Δx, Δy, Δz é tal que as componentes do vetor de onda se relacionam com essas grandezas da seguinte forma: k x π x k y π y k z π z π k = n λ ( 7 ) ( 71 )

18 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 17 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9. ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

19 Eletromagnetismo» Ondas Eletromagnéticas 18 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.