Tópico 4 ELETROSTÁTICA

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1 1 CADERNO DE ATIVIDADES Tópico 4 ELETROSTÁTICA Estas atividades constituem-se no foco das atividades presenciais quando dúvidas serão dirimidas e os conceitos envolvidos, aprofundados. Por isso, sugerimos que leve o caderno de atividades impresso para a aula presencial. Após assistir ao vídeo-aula, estudar os textos, e as atividades propostas, espera-se de você as seguintes habilidades: Após assistir ao vídeo-aula, estudar os textos, e as atividades propostas, espera-se de você as seguintes habilidades: Determinar o potencial elétrico gerado por um sistema discreto de carga composto de duas ou mais cargas. Explicar a razão pela qual as cargas elétricas em excesso numa esfera condutora maciça se distribuem uniformemente pela superfície esférica. Determinar o campo elétrico e o potencial elétrico à distância r R do centro de uma esfera metálica de raio R quando com carga Q positiva e quando com carga Q negativa. Determinar o campo elétrico E a partir do potencial elétrico, para casos, em que o potencial é expresso em função de apenas uma coordenada. Determinar o campo elétrico entre duas placas paralelas sujeitas a uma diferença de potencial V. Aplicar a Lei da Conservação de Energia para o movimento de uma partícula carregada no campo entre duas placas paralelas.

2 2 Grupo de Atividades Exercícios para estudo com respostas comentadas Atividade 01 Considere a distribuição de cargas elétricas esquematizada. As cargas pontuais têm intensidade iguais a q = 20x10-3 C e estão fixas nos vértices de um prisma retangular. a) Determine o potencial elétrico resultante na origem 0. b) Qual a energia potencial elétrica de uma partícula com carga e = 1,6x10-19 C. c) Qual a carga que fixada em P anula o potencial elétrico em 0. Resposta comentada. O potencial elétrico em um ponto do espaço gerado por uma carga Q é determinado pela relação V = kq/r onde r = distância do ponto à carga Q. O potencial resultante num ponto devido a diversas cargas, é obtido pelo princípio da superposição aplicado a grandezas escalares, ou seja, ele será a soma algébrica dos potenciais que cada carga gera no ponto considerado. a) Determine o potencial elétrico resultante no ponto 0. Pelo princípio da sobreposição: V 0 = = kq 1 /d 1 + kq 2 /d 2 + kq 3 /d 3. Carga Distancia da carga ao ponto 0 V = kq/d Q 1 = q 0,25 m kq/0,25 = 4kq Q 2 = q 0,50 m kq/0,50 = 2kq Q 3 = q 0,50 m kq/0,50 = 2kq V o = 4kq + 2kq + 2kq = 8kq Sendo q = 20x10-3 C V o = 8x(9x10 9 )(20x10-3 ) =1.440 MV (MV = 10 6 V). b) Qual a energia potencial elétrica de uma partícula com carga e = 1,6x10-19 C.

3 A energia potencial elétrica de uma carga q num ponto de potencial elétrico V é: U = q.v. Logo, U = (1,6x10-19 C)(1.440x10 6 V) 2,3 x J Transformando-se J em ev (elétron-volt) [ 1 ev = 1,6x10-19 J] podemos expressar essa energia em ev, ou seja, U = 1,44 GeV ( GeV = giga eletron-volts ). O que é 1eV? É a energia potencial de uma partícula com carga e = 1,6x10-19 C num ponto de potencial elétrico 1V. Assim, 1eV = (1,6x10-19 C)(1V) = 1,6x10-19 J. ( J = V.C) c) Qual a carga que fixada em P anula o potencial do ponto 0. Trata-se de se determinar a 4ª carga Q 4 que colocada no ponto P (50 cm; 50 cm; 25 cm) torna nulo o potencial resultante no ponto 0. Assim, V 4 + V o = 0 V 4 = -V o = - 8kq. Como V 4 = kq 4 /d 4 e d 4 = x²+y²+z² = ² = 3175 = 75 cm.= 0,75 m, tem-se: kq 4 /(0,75) = -8kq Q 4 = -6q = 6(20x10-3 C) = -120 x 10-3 C. 3 Resumindo: uma carga Q 4 = -120x10-3 ponto 0. fixa no ponto P, torna nulo o potencial elétrico no Atividade 02 O diagrama esquematiza um sistema de três cargas Q, q B e q C, distribuídas nas posições A, B e C conforme esquema. Dados: L = 1,5 Å (1Å = m); e = 1,6x10-19 C. Determinar: a) A energia potencial elétrica do sistema. b) A energia mínima para dissociar o sistema. Resposta comentada. A energia potencial elétrica de uma carga q num ponto de potencial elétrico V gerado por outra carga Q é U = kqq/d. Esta é a energia potencial do par de cargas Q e q separadas por uma distancia d. Para se determinar a energia potencial elétrica de um sistema de cargas é necessário identificar os pares de cargas que formam o sistema. Por exemplo, para um sistema de

4 três carga (Q, Q 1 e Q 2 ) tem-se 3 pares: I. Q e Q 1 ; II. Q e Q 2 e III. Q 1 e Q 2. A energia potencial deste sistema será: U sistema = U 3cargas = = U 1 + U 2 + U 3. 4 a) A energia potencial elétrica do sistema. O sistema é formado por três cargas o que resulta em 3 pares distintos de cargas; logo, U 3cargas = = U 1 + U 2 + U 3. Dados: L = 1,5Å (1Å = m); e = 1,6x10-19 C e BC = d = AB + AC² = L²+L² = 2 L (1,41)L, tem-se: Par de cargas Q q d U par cargas = kqq/d Valor U do par de cargas Q - q C 2e -e L k(2e)(-e)/l = - [k/l],2e² - 30,72x10-19 J Q - q B 2e -e L k(2e)(-e)/l = - [k/l],2e² - 30,72x10-19 J q b - q C -e -e (1,41)L k(-e)(-e)/(1,41) L = [k/l],(0,707)e² + 10,86x10-19 J Portanto: U 3cargas = = [- 30,72x10-19 J - 30,72x10-19 J + 10,86x10-19 J] = - 50,58x10-19 J U 3cargas = - 50,58x10-19 J ou U 3cargas - 47,4 ev. OBSERVAÇÃO: U 3cargas negativo sistema ligado b) A energia mínima para dissociar o sistema. A energia para dissociar o sistema é aquela que, introduzida no sistema, anula a energia potencial do sistema. Assim, a energia mínima para dissociar o sistema é U = + 47,4 ev. Energia de ionização do átomo de hidrogênio Pela teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron orbita o núcleo a distância d = 0,529 Å. Nestas condições a energia potencial do sistema núcleo-elétron é U = k.qq/d = k (+e)(-e)/d = - ke²/d = 43,6x10-19 J ou U = - 27,2 ev. Isto significa que para dissociar o elétron do próton (núcleo do átomo de hidrogênio) seria necessário fornecer a energia mínima de 27,2 ev, se o elétron estivesse em repouso. Mas como a sua energia cinética é Ec = +13,6 ev, para ionizar o átomo (arrancar o elétron do campo de influência elétrica do próton ) de hidrogênio, são necessário apenas mais -13,6 ev.

5 5 Atividade 03 A figura esquematiza no plano do papel, o campo potencial elétrico de uma carga pontual Q = + 10x10-9 C. a) Qual o potencial elétrico nos pontos A, B e C. b) Descreva o movimento de uma partícula com carga positiva e outra, com carga negativa neste campo. Resposta comentada. O campo potencial ao redor de uma carga Q é determinado pela função V(r) = kq/r. No caso de Q = 10x10-9 C, o campo potencial é: V(r) = (9x10 9 N.m²/C²)(10x10-9 C)/r = 90/r (V; m) Pontos eqüidistantes da carga Q (pontos com valores iguais de r) têm mesmo potencial elétrico. Estes pontos pertencem a uma superfície esférica imaginária concêntrica com a carga pontual Q. Superfícies que contêm pontos de mesmo potencial elétrico são denominadas superfícies equipotenciais. A figura ilustra linhas equipotenciais que são as intersecções de superfícies equipotenciais esféricas com o plano do papel. Cada linha equipotencial tem um potencial elétrico; no caso do campo criado pela carga Q positiva, os potenciais são positivos e decrescem com o crescimento de r (que é medido a partir da carga Q). Para r, V 0. Se a carga Q fosse negativa, os potenciais seriam negativos, e, portanto, crescentes (menos negativo) com o crescimento de r. a) Qual o potencial elétrico nos pontos A, B e C. As superfícies às quais pertencem os pontos são equipotenciais. Logo, V A = V; V B = C; V C = +150 V b) Descreva o movimento de uma partícula com carga positiva e outra, com carga negativa neste campo. A energia potencial elétrica de uma partícula com carga q no campo potencial é determinada pela expressão: U = q.v. Logo, em cada ponto de uma superfície equipotencial, a carga q tem a mesma energia potencial elétrica.

6 O campo potencial elétrico tal como o gravitacional é conservativo. Isto significa que a partícula carregada, à custa de sua energia potencial, move-se para pontos nos quais ela tem energia potencial menor. Movimento da partícula com carga positiva. 6 No campo potencial de uma carga pontual positiva, os potencial tornam-se cada vez menos positivo com o crescimento de r. Neste campo, uma partícula carregada positivamente, sem interferência externa, move-se de um ponto onde ela tem energia potencial elétrica maior (por exemplo, U 1 = q.v 1 ) para outra onde tem energia potencial elétrica menor ( por exemplo, U 3 = q.v 3 ). Sentido do movimento da carga positiva: V 1 V 3 ou no sentido crescente de r. Movimento da partícula com carga negativa. No campo potencial de uma carga pontual NEGATIVA, os potencial tornam-se cada vez menos negativo com o crescimento de r ( no exemplo, de -450 V para -150 V). Neste campo, uma partícula carregada NEGATIVAMENTE, sem interferência externa, move-se no sentido decrescente de r ( oposto ao do movimento de uma carga positiva). Atividade 04 Uma esfera metálica, isolada, de raio R = 2 cm tem um excesso de carga Q = + 5,0x10-9 C. Determinar o potencial elétrico a) em qualquer ponto da superfície da esfera. b) em uma superfície esférica imaginária de raio r = 100 cm e concêntrica com a esfera Resposta comentada. Este é um caso em que se tem uma distribuição contínua de cargas numa esfera metálica.

7 1. Nos metais as cargas elétricas têm liberdade de movimento; por isso, as cargas em excesso se repelem para mais longe possível. Encontrando a superfície externa, aí se distribuem numa configuração de equilíbrio. Nos condutores, o excesso de carga em equilíbrio eletrostático, se distribui na superfície externa. 2. A Lei de Gauss do fluxo elétrico, confirma que o excesso de carga Q ( que se distribui uniformemente pela superfície) se comporta como se estivesse concentrada no centro da esfera. 7 O potencial elétrico gerado pelas cargas de uma esfera com excesso de cargas Q é determinado como uma carga pontual Q concentrada no centro da esfera. Assim, V = kq/r [ r R (raio da esfera) ] O campo elétrico, considerando a simetria esférica, pode ser determinado numa direção radial e expandido para todas as outras. E"# (r) = - $%& $& e"# r = - $[)* + ] e"# r = [kq/r²]e"# r $& a) O campo e o potencial elétrico em qualquer ponto da superfície da esfera. Campo elétrico Módulo: E = kq/r² = [9x10 9 (N.m²/C²)x5x10-9 C)]/[(2x10-2 m)² = E = 11,25x10 4 N/C. Em cada ponto da superfície a direção do campo elétrico é radial e o sentido do vetor E"# é divergente, ou seja, saindo da esfera. Potencial elétrico: V = kq/r =[9x10 9 N.m²/C²][5x10-9 C]/(0,02 m) = volts b) O campo e o potencial elétrico em uma superfície esférica imaginária de raio r = 100 cm e concêntrica com a esfera Para r = 100 cm = 1 m: Campo elétrico: E = kq/r² = [9x10 9 (N.m²/C²)(5x10-9 C)]/[(1m)² = 45 N/C Potencial elétrico: V = kq/r =[9x10 9 N.m²/C²][5x10-9 C]/(1 m) = 45 volts Exercício comentado 05

8 8 Uma esfera metálica maciça de raio R contém, em excesso, uma quantidade de carga elétrica Q. Como varia o campo elétrico e potencial elétrico em pontos do interior da esfera? Resposta comentada. 1 - As cargas elétricas em excesso na esfera se di stribuem uniformemente pela superfície. Um importante atributo dos metais é a sua alta condutibilidade elétrica; as cargas elétricas têm grande liberdade de movimento em metais e em materiais condutores elétricos. Se, por meio de um orifício, cargas elétricas de mesmo sinal forem colocadas no centro da esfera, devido à repulsão de Coulomb, elas se afastariam umas das outras até atingir a superfície externa da esfera onde entram em equilíbrio eletrostático. Num bom condutor elétrico, como os metais, as cargas em excesso se distribuem uniformemente pela sua superfície externa. No interior a carga em excesso é nula. 2 Campo elétrico no interior da esfera com excesso de carga Q. Se no interior da esfera a carga em excesso é nula, demonstra-se que mesmo com a existência de cargas na superficie E interior = 0. 3 Potencial elétrico no interior da esfera com exc esso de carga Q na superfície. A relação entre campo e potencial elétrico é dada pela derivada parcial E"# = =- $%& ı# $& considerando o campo em uma determinada direção radial no interior da esfera. Como, no interior E"# = 0 $%& = 0. Derivada nula indica que a variação infinitesimal do potencial $& elétrico dv = 0, ou seja, V 1 = V 2 para quaisquer dois pontos próximos 1 e 2. Se considerarmos o ponto 2 na superfície, temos que V 1 = V superfície = KQ/R. Como o ponto 1 é qualquer, conclui-se que: O campo potencial no interior da esfera é constante e igual ao potencial da superfície da esfera: V = kq/r IMPORTANTE: 1) Campo elétrico no interior da esfera é nulo; 2) O potencial elétrico no interior da esfera é igual ao potencial da superfície. Exercício comentado 06

9 9 Uma esfera metálica, isolada, tem potencial elétrico V = 600 KV (1 KV = 1000 volts) e raio R = 30 cm. Perguntas: a) Qual a carga em excesso na esfera? b) Qual o potencial elétrico distante 12 m do centro desta esfera? c) Qual a intensidade campo elétrico na superfície desta esfera? Respostas: a) O potencial elétrico da esfera é aquele de qualquer ponto na superfície da esfera. Assim, volts = [(9x10 9 Nm²/C²) x Q]/[0,3 m] Q =./01 2.4/6 (0,3 m) = 20x10-6 C. 78/ 0 9:;< = < > b) A distância é 40 vezes maior do que o raio da esfera; logo, o potencial a esta distância será 40 vezes menor, ou seja, V 12m = 600 KV/40 = 15 KV. c) E superfície = k.q/r² = [(9x10 9 x(20x10-9 )/[0,3²] = N/C Exercício comentado 07 Duas esferas metálicas A e B, de raios iguais a R = 10 cm, contêm excessos de cargas elétricas iguais a Q A = 20x10-3 C e Q B = + 20 x 10-3 C, respectivamente. Determinar os campos e os potenciais elétricos nos pontos P 1, P 2 e P 3 distantes, respectivamente, 10, 50 e 500 cm do centro das esferas. Respostas. Para o ponto P1 Esfera A: E = kq/r² = (9x10 9 )(-20x10-3 )/(0,1)² = x 10 6 N/C V = (9x10 9 )(-20x10-3 )/(0,1) = x 10 6 volts. Esfera B: E = kq/r² = (9x10 9 )(20x10-3 )/(0,1)² = x 10 6 N/C V = (9x10 9 )(20x10-3 )/(0,1) = 1800 x 10 6 volts. Para os outros pontos: Esfera A Esfera B E (10 6 N/C V (10 6 volts) E (10 6 N/C V (10 6 volts) P P P3-7,2-36 7,2 36 Exercício comentado 08

10 10 O potencial elétrico entre duas placas metálicas paralelas A e B, separadas por uma distância AB = 20 cm, cada uma com excesso de carga Q, porem de sinais opostos, é expresso pela função V = 25.x (kv;m) onde kv=10³ V. Determinar: a) o potencial elétrico da placa A e o do placa B. b) O campo elétrico E"# entre as placas. c) Represente algumas linhas de força do campo elétrico e algumas linhas equipotenciais do campo potencial entre as placas. Respostas: a) Como V = 25.x ( kv (10 3 volts) ;m) para x = 0 ( placa A) tem-se V A = 0; para x = 0,20 m (placa B) tem-se V B = 5 kv = V. b) E"# = - $%? $? $@? ı# = - ı# = -25ı# (kv/m). $? Unidade de - $%? volts/metro = V/m; no caso, V(x) é expresso em kv, portanto, a $? unidade de E será kv/m. Como interpretamos o sinal? O sinal indica que o sentido do campo é oposto ao do eixo 0x; assim, o sentido do campo é da placa B para A. Em resumo: entre as placas A e B o campo elétrico é E"# = -25ı# (kv/m). c) Represente algumas linhas de força do campo elétrico e algumas linhas equipotenciais do campo potencial entre as placas. As linhas de força do campo elétrico são perpendiculares às placas no sentido do potencial maior para o menor (placa B para A). As linhas equipotenciais são paralelas às placas, com potenciais crescentes no sentido oposto ao do campo elétrico. Exercício comentado 09

11 11 Os esquemas representam o campo elétrico e potencial entre uma esfera metálica e uma placa (fig. a) e entre duas placas metálicas paralelas ( fig. b). Pedem-se: a) Os sinais das cargas de cada elemento. b) Os potenciais em ordem crescente. c) Identifique as linhas equipotenciais em cada situação Respostas: a) As linhas de força do campo elétrico iniciam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. Assim, a esfera D tem cargas positivas e a placa G, negativas; da mesma forma, a placa A é positiva e B, negativa. b) Os potenciais próximos das cargas positivas são positivamente maiores. Assim, na figura (a) : V H >V J >V M ; na figura (b) : V 1 >V 2 >V 3 >V 4 c) As linhas equipotenciais, em ambas as situações, são as pontilhadas. Exercício comentado 10 Duas placas metálicas A e B, paralelas e separadas por 20 cm, estão contidas num tubo evacuado. O sistema é usado como acelerador de partícula. Um próton é capturado por um orifício da placa positiva e é acelerado em linha reta até sair por um orifício oposto na placa negativa. As placas são submetidas a uma diferença de potencial V = volts. Próton: carga e = 1,6x10-19 C; massa m = 1,67x10-27 kg. a) Qual a intensidade do campo elétrico entre as placas? b) Com que velocidade v o próton emerge do orifício da placa B? Resposta comentada. a) Qual a intensidade do campo elétrico entre as placas? Se V entre as placas for uniforme o campo elétrico E entre as placas também é uniforme. Então de E"# = - $%? $? ı# = - %? ı# tem-se (módulo) E = V/ x. Como V = ? V e x = 20 cm = 0,20 m E = V/20 cm = 800 V/cm ou E = 80 kv/m; b) Com que velocidade v o próton emerge do orifício da placa B?

12 12 A força elétrica, tal como a força gravitacional é conservativa, ou seja, a uma partícula com carga elétrica pode-se aplicar a Lei da conservação da Energia Mecânica: EC A + U A = EC B + U B Agrupando os termos: ( EC B EC A ) = (U A U B ) e invertendo as parcelas de (U A -U B ) tem-se (EC B EC A ) = -(U B -U A ) ou EC AB = - U AB donde pode-se escrevert: EC AB + U AB = 0 O que diz esta igualdade nula? Diz que quando a variação de energia cinética EC AB for positiva, a variação de energia potencial elétrica U AB será negativa, porém de mesmo módulo; e vice-versa. Em outras palavras, o ganho em energia cinética provém da perda de igual quantidade em energia potencial elétrica. Vamos fazer os cálculos: a) U AB = q. V AB = (1,6x10-19 C)( V) = -25,6 x J. C EC AB + U AB = 0 EC AB - 25,6x10-16 J = 0 EC AB = 25,6x10-16 J. Mas, EC AB = m(v B)² - m(v A)² ; como v A = 0 EC AB = m(v B)². Portanto: m(v B)² = 25,6x10-16 joules Substituindo-se m = 1,67x10-27 kg resulta: (v B )² = [2x25,6x10-16 ]/(1,67x10-27 ) = 306,6 x m²/s² v B = 306,6x10 0 (m/s) = 17,5 x 10 5 m/s Exercício comentado 11 Uma substância radioativa emite radiações que penetram as linhas de força do campo elétrico entre duas placas e, sob ação da força do campo elétrico, emergem do espaço entre as placas e atingem os pontos A, B e C conforme ilustra a figura. Qual o sinal da carga elétrica de cada radiação? Resposta: 1. A radiação que atinge A tem carga elétrica negativa ( F"# = q.e"#, quando q < 0, a força e o campo são opostos, ou seja, as cargas negativas são puxadas em sentido oposto ao do campo). 2. A radiação que atinge B não tem carga elétrica. 3. A radiação que chega em C tem carga positiva (F"# = q.e"#, quando q > 0, a força e o campo têm o mesmo sentido, ou seja, as cargas positivas são puxadas no sentido do campo elétrico)