Princípios de Modelagem Matemática Aula 08

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1 Princípios de Modelagem Matemática Aula 08 Prof. José Geraldo DFM CEFET/MG 06 de maio de 2014

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3 A validação de um modelo matemático não se resume apenas em verificar suas predições com o comportamento observado pelo objeto em estudo modelos devem ser verificados quanto a sua consistência "interna". Um modelo matemático deve ser consistente do ponto de vista dimensional, i.e., as dimensões das grandezas físicas envolvidas devem se ajustar de modo a preservar a homogeneidade dimensional; ser consistente com os princípios, hipóteses e suposições empregados para obtê-lo; reproduzir resultados conhecidos quando tomados os limites apropriados.

4 Exemplo 1: O movimento de um pêndulo na ausência de fricção é descrito pela EDO θ + g senθ = 0. l Esta descrição é consistente com o princípio de conservação da energia na ausência de forças dissipativas, espera-se que a energia total se conserve e isto pode ser verificado.

5 Exemplo 2: Se o comprimento de uma barra medido por um observador em repouso em relação à barra é l, o comprimento da mesma barra medido por um observador que se move em relação ao primeiro com velocidade constante v é ( v ) 2, l = l 1 c onde c é a velocidade da luz no vácuo. Esta expressão é dada pela teoria da relatividade restrita, e se reduz à expressão conhecida da mecânica clássica newtoniana no limite v c 0.

6 A adequação de um modelo matemático quanto ao fenômeno que ele procura descrever pode empregar os seguintes recursos: observação experimental; simulação computacional; cálculos analiticos. Naturalmente, não se espera que as predições de um modelo concordem exatamente com os resultados obtidos pelos procedimentos acima pois modelos matemáticos envolvem níveis de detalhe partes da realidade são negligenciadas; medições possuem limitada resolução; números têm representação limitada em computadores; cálculos analíticos envolvem aproximações

7 Nas situações citadas acima, erros estão sempre presentes e devem ser considerados na verificação de um modelo matemático. Erros determinam os limites esperados em que resultados experimentais/computacionais podem variar é desejável que as predições estejam dentro destas faixas.

8 Erro é a diferença entre o valor medido ou calculado e o valor verdadeiro ou esperado de uma grandeza. Erro sistemático: ocorre quando a diferença entre o valor medido/calculado difere do valor verdadeiro de modo consistente. Em medições, ocorre quando os instrumentos não estão adequadamente calibrados, por exemplo. Erros de paralaxe em medições usando instrumentos analógicos. Erro aleatório: ocorre devido a fatores incontroláveis presentes em um experimento varia em magnitude e em sinal.

9 Erro absoluto: módulo da diferença entre o valor medido ou calculado e o valor esperado ou verdadeiro. Seja X o valor esperado de uma grandeza A e x o valor medido desta grandeza. O erro absoluto envolvido nesta medida é A = X x. Erro relativo: razão entre o erro absoluto e o valor esperado. Se A é o erro absoluto cometido na medida da grandeza A, o erro relativo é δa = A/A. Em muitas situações, o erro relativo é expresso na forma de porcentagem erro percentual.

10 Na maior parte das vezes, o valor verdadeiro ou esperado de uma grandeza não é conhecido o cálculo do erro absoluto não é possível. Utiliza-se uma estimativa do limite superior para o erro absoluto. No caso de medições, este limite superior pode ser definido como a metade da menor graduação. Por exemplo, medidas de comprimento usando uma régua graduada em milímetros, o erro absoluto pode ser tomado como 0, 5 mm. No caso de cálculos computacionais, o erro absoluto pode ser tomado como o maior erro de truncamento/arredondamento cometido. Por exemplo, se se decide arrendondar os resultados de um cálculo até a casa dos milésimos, o erro de truncamento/arredondamento cometido é, no máximo, igual a

11 A expressão do valor de uma medição de uma grandeza é constituída por três partes: o valor medido, o erro envolvido e a unidade utilizada. O valor medido e o erro devem ser expressos com um determinado número de algarismos significativos. Por convenção, adota-se que o erro deve conter apenas um algarismo significativo. Também por convenção, o número de algarismos significativos presentes na expressão do valor medido é determinado pela casa decimal em que aparece o algarismo significativo do valor apurado para o erro a casa decimal do último dos algarismos significativos na expressão do valor medido, denominado algarismo duvidoso, deve coincidir com a casa decimal do algarismo significativo na expressão para o erro.

12 Por exemplo, se o valor apurado numa única medida de comprimento usando uma régua milimetrada foi 21 cm, a correta expressão da medida é (21, 00 ± 0, 05) cm (caso se decida usar a unidade centímetro). O valor medido possui quatro algarismos significativos, sendo o último (0, neste caso) o algarismo duvidoso. Segundo a convenção adotada, não é correto expressar a medida como (21 ± 0, 05) cm ou (21, 0 ± 0, 05) cm.

13 A qualidade de uma medição ou de um cálculo pode ser avaliada pelo conjunto acurácia/precisão. Acurácia: define o quão próximo do valor verdadeiro ou esperado está um conjunto de valores medidos ou calculados. Precisão: define o quão próximas estão as medidas ou cálculos individuais.

14 Figura: Ilustração do significado de precisão e acurácia. O centro do alvo representa o valor verdadeiro de uma grandeza e o pontos em azul resultados de medidas individuais. O gráfico à esquerda ilustra uma medição precisa, mas pouco acurada. O gráfico central ilustra uma medida acurada, mas pouco precisa. O gráfico à direita ilustra uma medida acurada e precisa.

15 Em muitas situações, grandezas são medidas indiretamente seus valores são calculados através de fórmulas que utilizam medidas diretas.

16 A ideia do cálculo do erro de uma medida indireta pode ser entendida da seguinte maneira: considere f uma grandeza que é expressa como função de outras grandezas medidas diretamente x 1, x 2,...,x m, cujos erros absolutos são x 1, x 2,..., x m. O erro absoluto cometido na medida indireta de f pode ser estimado como m f f (x 1,..., x m) f (x 1 + x 1,..., x m + x m) = (x 1,..., x m) x i x i. i=1

17 Mas, pela desigualdade triangular, m f m (x 1,..., x m ) x i x i f (x 1,..., x m ) x i x i. i=1 Deste modo, o termo à direita na desigualdade acima fornece um limite superior para o erro absoluto f cometido na medida indireta de f. Daí m f = f (x 1,..., x m ) x i x i. (1) i=1 i=1

18 Por exemplo, para se determinar o volume V de um cilindro circular reto a partir de medidas diretas da altura h e do raio r de sua base, utiliza-se a fórmula V = πr 2 h. h e r carregam erros absolutos associados, h e r, respectivamente. Os erros relativos são δh = h/h e δr = r/r. Qual é o erro na medida indireta do volume do cilindro? O erro relativo na medida de V é estimado tomando a aproximação linear de V, que deve ser considerado uma função de h e r.

19 Temos, então,

20 Temos, então, V = V r r + V h h

21 Temos, então, V = 2πrh r + πr 2 h

22 Temos, então, V = π ( 2rh r + r 2 h ). (2)

23 Ainda referente ao exemplo, o erro relativo na medida indireta de V é

24 Ainda referente ao exemplo, o erro relativo na medida indireta de V é δv = V V

25 Ainda referente ao exemplo, o erro relativo na medida indireta de V é δv = π ( 2rh r + r 2 h ) πr 2 h

26 Ainda referente ao exemplo, o erro relativo na medida indireta de V é δv = 2 r r + h h

27 Ainda referente ao exemplo, o erro relativo na medida indireta de V é δv = 2δr + δh. (3)

28 Exercícios 1 Determine a fórmula para o cálculo do erro relativo na medida indireta da densidade de massa de um cone circular reto maciço, cuja massa é m, altura h e raio da base r. Estas grandezas, medidas diretamente, possuem erro relativo δm, δh e δr, respectivamente. 2 Para o exemplo do cilindro circular reto, determine a fórmula do erro relativo na medida da área lateral do mesmo (a soma das áreas das seções circulares e da faixa retangular lateral) supondo, novamente, que são tomadas medidas diretas da altura altura h e do raio da base r, com erros relativos δh e δr.