Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Instituto de Física & Química IFQ. Universidade Aberta do Brasil UAB Curso de Licenciatura em Física EaD

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1 Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Instituto de Física & Química IFQ UNIFEI, uma instituição centenária. Universidade Aberta do Brasil UAB Curso de Licenciatura em Física EaD Textos Auxiliares para as disciplinas: Física Experimental Metodologia Científica Prof. Gabriel Rodrigues Hickel Baseado em material didático criado por Prof. Agenor Pina da Silva & Profa. Mariza Grassi Ano 2018 Todos os direitos reservados à UNIFEI e UAB. O uso deste material para fins didáticos, não lucrativos, é permitido, desde que mantidos os créditos. 15

2 Conteúdo deste texto: VI Medidas Diretas e Instrumentos de Medição VII Ponto Zero, Fundo de Escala, Precisão, Faixa Dinâmica e Acurácia VIII Erros em Medidas Diretas com Escalas Analógicas IX Medidas Indiretas e Algarismos Significativos X Erros em Medidas Indiretas Referências Bibliográficas recomendadas para este texto Livros: 1 - Vuolo, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros. Editora Edgard Blücher LTDA, 2 a Edição, São Paulo, SP, Endereços eletrônicos: 1 FEB-UNESP; Características Estáticas em Instrumentos de Medida (acesso em 10/Março/2018) 2 PUC-RJ; Metrologia, Instrumentos de medição e Fundamentos da Avaliação da Conformidade (acesso em 10/Março/2018) 3 UALG; Análise de Erros (acesso em 10/Março/2018) 4 UALG; Incerteza em uma Medida Experimental (acesso em 10/Março/2018) 16

3 VI Medidas Diretas e Instrumentos de Medição Já sabemos do primeiro módulo do curso que sempre teremos um erro inerente ao processo de medida de uma grandeza física qualquer. Já sabemos também que as medidas podem ser diretas (obtidas diretamente com instrumentos de medidas) ou indiretas (obtidas a partir de funções matemáticas quaisquer, decorrentes de um modelo físico e que envolve uma ou mais medidas diretas). Mas como efetuamos a leitura de uma medida direta e seu erro em um instrumento de medição? Como regra geral, o resultado da leitura deve incluir todos os dígitos (A.S.) que podem ser lidos diretamente do instrumento mais um dígito que deve ser estimado pelo observador (o dígito de interpolação ou duvidoso). Vejamos alguns exemplos: a) A Figura B-1 mostra a realização da medida do comprimento de uma determinada peça (marrom) utilizando-se uma régua graduada apenas em centímetros (azul). Dizemos que a menor graduação ou precisão desse instrumento é 1 cm. Figura B-1: Medida do comprimento com a utilização de uma régua graduada em centímetros. Podemos ver na Figura B-1 que o comprimento da peça com toda a certeza está entre 27 e 28 cm. Além disso, verificamos que temos mais um pedaço, além da marca de 27 cm, que precisa ser estimado. Suponha que três pessoas diferentes apresentem como resultado desta medida os seguintes valores: 27,3 cm; 27,4 cm e 27,5 cm. Verificamos que há concordância com relação aos algarismos 2 e 7 e portanto um consenso de que eles são "exatos", enquanto que os algarismos 3, 4, e 5; estimados por cada pessoa, são duvidosos. Os algarismos exatos de uma medida bem como o algarismo duvidoso, são denominados algarismos significativos (A.S.). No exemplo acima, os dois algarismos (2 e 7) de cada medição são significativos exatos, 17

4 mas os últimos algarismos de cada uma das medições (3, 4 e 5) são significativos duvidosos. Não teria sentido algum tentar avaliar o algarismo que viria depois do duvidoso. Se ele já é duvidoso, qual o sentido de se acrescentar mais um algarismo duvidoso? Desta forma, toda medida direta feita em uma escala que é lida pelo observador (chamamos a este tipo de escala analógica) terá apenas um algarismo significativo duvidoso. A estimativa deste número é feita por interpolação. Esta interpolação é mental e depende essencialmente da capacidade do observador em extrapolar o que está vendo. Tudo o que a régua indica é que a medida está entre 27 e 28 cm. O decimal deve ser avaliado pela pessoa que efetua a medição e por isto é o algarismo significativo duvidoso. b) Na Figura B-2 também temos uma régua com unidade de cm, só que agora graduada em milímetros, como as réguas escolares comuns; medindo o comprimento de uma peça cinza. A menor graduação ou precisão é de 1 mm. Isto significa que a primeira casa decimal desta vez é lida diretamente na régua, cabendo ao observador estimar a segunda casa decimal (centésimo). Observadores diferentes poderiam estimar o comprimento da peça cinza em 5,27 cm ou 5,28 cm ou 5,29 cm, mas sempre concordando com o 5,2 cm que é diretamente lido na graduação da régua (algarismos significativos exatos). Desta forma, o algarismo significativo duvidoso cai na segunda casa decimal ou centésimo de centímetro. Note que não faria o menor sentido estimar a leitura do comprimento da peça cinza em 5,275 cm, por exemplo. Por que? Porque o algarismo 7 já é duvidoso! Assim, podemos estimar um e apenas um algarismo significativo duvidoso. Figura B-2: Medida realizada com uma régua graduada em milímetros. Então, recapitulando o valor da medida: 5, 2 8 A.S.s exatos A.S. duvidoso (estimado) 18

5 c) Na Figura B-3, régua milimetrada (menor graduação = 1 mm), medindo nos pontos A, B, C e D: Figura B-3: Medidas com régua milimetrada. Medidas corretas: A = 12,0 mm B = 24,7 mm C = 31,5 mm D = 40,4 mm d) Na Figura B-4, temos a escala linear de uma balança, com graduações diferentes ao longo da escala, medindo as massas A e B: Figura B-4: Medidas com uma balança com precisão variável ao longo da escala. Medidas corretas: A = 7,8 kg B = 20,2 kg Neste último exemplo a escala é complicada e tem precisões diferentes ao longo dela. Até 15kg, a menor graduação é 0,5kg. A partir de 15kg, a graduação é de 1kg. Em ambas as situações, podemos efetuar a leitura até o décimo de kg (o algarismo significativo duvidoso estará na primeira casa decimal). Entretanto, você não acha que deveríamos ter uma melhor estimativa na medida A do que na medida B? Afinal, a graduação no primeiro caso é metade do segundo caso. Na verdade, a qualidade da medida estará relacionada à precisão da escala. É o que veremos nos próximos tópicos. 19

6 VII Ponto Zero, Fundo de Escala, Precisão, Faixa Dinâmica e Acurácia Medidas diretas sempre são efetuadas por instrumentos de medidas, que devem ser bem caracterizados, uma vez que estas medidas dependem bastante da capacidade e qualidade do instrumento utilizado. Em uma caracterização técnica, é importante não só especificar marca e modelo, mas também as características relacionadas à faixa útil de medida e discernimento de valores da grandeza, bem como a confiabilidade da medida. Mas que características são estas? Iniciemos com uma rápida análise dos valores mínimo e máximo da escala de medida. Estes são os chamados Ponto Zero e Fundo de Escala. O Ponto Zero de uma escala é o valor numérico onde ela tem início. Na maioria dos instrumentos de medição, o Ponto Zero coincide com o valor numérico zero (0) da grandeza a ser medida, como por exemplo, em uma régua comum, em uma balança comum, em um velocímetro de veículo, dentre muitos outros. Mas em outros instrumentos, o Ponto Zero pode assumir valores quaisquer. Em termômetros isto é muito comum. No caso do termômetro corporal da Figura B-5, o Ponto Zero é 34,1 o C. Mesmo termômetros de temperatura ambiente não começam geralmente no zero, mas em alguma temperatura negativa. Menos conhecidos, os barômetros que medem a pressão atmosférica também têm o ponto zero de suas escalas com valores diferentes de zero. Figura B-5: termômetro analógico para medição corporal humana. O Fundo de Escala é o valor numérico onde a escala tem fim. Literalmente, pode assumir qualquer valor. Você mesmo já deve ter visto réguas escolares comuns com fundo de escala de 10, 15, 20 e 30 cm. De modo geral, tanto o Ponto Zero quanto o Fundo de Escala podem ser facilmente visualizados em instrumentos analógicos. 20

7 Quando efetuamos uma medida direta, independente do tipo de instrumento utilizado, existirá uma determinada capacidade de distinguir valores diferentes da grandeza a ser medida. A esta capacidade instrumental damos o nome de precisão do instrumento. A precisão do instrumento já é determinada na sua construção e não pode ser alterada em uma medida direta 1. Assim, é importante que antes de se efetuar uma medida, se conheça a precisão do instrumento para ver se esta precisão é compatível com a necessidade do usuário em conhecer aquela medida. Por exemplo: é impossível medir a espessura de um fio de cabelo com uma régua simples. A precisão da régua não permite que façamos uma medida confiável. Neste caso, é necessário utilizar um outro instrumento, mais apropriado para este fim. A precisão de um instrumento analógico é lida diretamente na escala, próximo ao ponto da escala onde a leitura da medida é efetuada. A precisão de um instrumento analógico é igual ao menor intervalo (menor graduação) que se pode ler diretamente na escala deste instrumento. Por exemplo, na Figura B-1, a precisão instrumental seria de 1 cm, sendo este o menor intervalo ou graduação da régua em questão. Já nas Figuras B-2 e B-3, a menor graduação é 1 mm, sendo esta a precisão instrumental para ambas as réguas. Na Figura B-4, a escala possui graduação distinta ao longo da escala de medida. Desta forma, para massas medidas até 15 Kg, a precisão instrumental é 0,5 kg. Para massas medidas acima deste valor, a precisão instrumental é 1 kg. Já na Figura B-5, a menor graduação da escala do termômetro é 0,1 o C, sendo esta a precisão instrumental. Via de regra, para uma única medida analógica direta, a precisão da medida é igual à precisão indicada pela escala do instrumento utilizado. Medidas efetuadas estatisticamente e medidas indiretas; bem como medidas digitais, têm suas precisões determinadas de outras maneiras, como veremos nos módulos futuros desta disciplina. Além da precisão instrumental adequada para a medida, outro fator importante a se observar é a faixa dinâmica do instrumento. Mas o que é isto? A Faixa Dinâmica de um instrumento de medição é o intervalo numérico compreendido entre a precisão e a distensão máxima da escala de medida, que indica a faixa de operação útil deste instrumento. 1 Existem alguns instrumentos que possuem multi-escalas de medida, cada qual com a sua precisão. Nestes instrumentos pode-se escolher a precisão, mas dentro de opções já estabelecidas por construção. 21

8 Numericamente, podemos escrever a faixa dinâmica como: Faixa dinâmica = {Precisão.. (Fundo de Escala Ponto Zero)} Por exemplo, vamos supor uma régua comum (com marcações em cm e menor graduação ou precisão de 1 mm), com Ponto Zero = 0 e Fundo de Escala = 30 cm; conforme mostra a Figura B-6. Figura B-6: Régua escolar comum, de 30 cm. Estaríamos tentados a dizer que a menor medida possível é 0 cm e a maior, 30 cm. Entretanto, dizer que algo mede 0 cm é o mesmo que dizer que ele não existe para aquele instrumento (régua), conforme já estudamos no módulo 1 desta disciplina. Portanto, a medida deste algo deve estar fora da faixa dinâmica. A menor distância que podemos de fato ler em uma régua comum é 1 mm, justamente sua precisão. Já a maior distância que podemos medir com esta régua é exatamente o valor extremo ou Fundo de Escala de medida da régua, 30 cm. Assim, neste caso, a Faixa Dinâmica é determinada como: Faixa Dinâmica da régua = { } mm = {0,1.. 30,0} cm. Isto significa que com esta régua podemos ler qualquer comprimento entre 1 e 300 mm, com precisão de 1 mm. A Faixa Dinâmica pode ser indicada em qualquer unidade, mas todo o intervalo indicado deve preferencialmente estar na mesma unidade de medida. Não é incorreto, por exemplo, dizer que a Faixa Dinâmica da régua da Figura B-6 vai de 1 mm a 30 cm; mas isto pode levar a confusão e deve ser evitado. Importante: um instrumento de medida só pode ser utilizado para medição de valores que estejam dentro de sua faixa dinâmica. Note que é preciso ter cuidado na leitura do Fundo de Escala e do Ponto Zero. Imagine que a mesma régua que utilizamos no exemplo acima tivesse quebrado por volta do centímetro 11. Teríamos duas pequenas réguas: uma com faixa de 1mm até 11 cm e outra com faixa de 1mm até (30-11) = 19 cm. Um exemplo mais prático disto é o termômetro da Figura B-5. 22

9 Neste termômetro, como já vimos, a precisão é de 0,1 o C, o Ponto Zero é 34,1 o C e o Fundo de Escala é 42,0 o C. Assim, a distensão máxima da escala é determinada como: (42,0 o C 34,1 o C) = 7,9 o C. Logo, Faixa dinâmica do termômetro corporal = {0,1 o C.. 7,9 o C }. Então, aparece uma aparente contradição: se a faixa dinâmica é a que indicamos acima, como pode o termômetro medir, por exemplo, 37,56 o C se a faixa dinâmica dele só vai até 7,9 o C? A questão é respondida, observando os valores do Ponto Zero e Fundo de Escala. Eles também são importantes na determinação da utilidade do instrumento. Não confunda a Faixa Dinâmica com a faixa nominal, que é simplesmente o intervalo do Ponto Zero ao Fundo de Escala. Um último conceito importante envolvendo uma medida diz respeito a sua acurácia. A acurácia de uma medida quantifica quão próxima do valor real da grandeza a ser conhecida, a medida está. Este conceito é um pouco abstrato, pois esta quantificação nem sempre pode ser estabelecida. E não raras vezes ela é dada em termos percentuais ou na forma de intervalos de confiança. Para entender o problema da acurácia, voltemos à Figura B-1 do início do texto. Naquela oportunidade, vimos que o valor do comprimento da peça marrom estava certamente entre 27 e 28 cm. Entretanto, com a régua utilizada não conseguimos estabelecer o valor exato deste comprimento. E mesmo que utilizássemos uma régua mais precisa, alguma incerteza a respeito do comprimento total ainda continuaria a persistir, pois toda medida tem uma precisão limite. A priori, determinar a acurácia de uma medida é um processo bastante complexo, que vai desde a calibração e validação do instrumento de medida, até o controle de qualidade de todo o método de medida. É preciso distinguir entre a acurácia do instrumento de medição e da medida. Todo instrumento de medida é calibrado por um padrão e construído conforme um controle de qualidade. Por melhor que seja esta calibração e este controle, existirão imperfeições no instrumento. Logo, o instrumento terá uma acurácia instrumental fixada e associada ao seu processo de construção. Entretanto, alguns fatores podem degradar esta acurácia ao se efetuar uma medida. Este fatores podem ser variados e de difícil mensuração: má utilização do instrumento ou postura incorreta de quem efetua a medida, condições ambientais adversas na hora de efetuar a medida, dentre outros. Voltaremos a falar nisto no módulo de erros sistemáticos e estatísticos. 23

10 Por hora, de uma forma bastante superficial, podemos quantificar a acurácia percentual de uma medida, da seguinte maneira simples: Acurácia Percentual Logo, no exemplo da Figura B-1: - precisão valor da medida - ponto zero Acurácia percentual = 100 {1-[precisão/(medida - ponto zero)]} = 100 {1 [1 cm/(27,4 cm - 0,0 cm)]} = 96,4% Isto significa que teríamos 96,4% de certeza que o valor real do comprimento da peça marrom está entre 27 e 28 cm. E por mais que diminuíssemos o valor numérico da precisão, utilizando uma régua mais precisa, apenas aumentaríamos a nossa acurácia. Porém, é impossível chegar a 100%, pois isto significaria que o valor numérico da precisão seria infinitamente pequeno. Outro exemplo, no caso do termômetro da Figura B-6, supondo que ele indique uma temperatura de 39,62 o C: Acurácia percentual = 100 {1-[precisão/(medida - ponto zero)]} = 100 {1 [0,1 o C /(39,62 o C - 34,1 o C)]} = 98,7% Isto significa que teríamos 98,7% de certeza que o valor real da temperatura corporal está entre 39,6 e 39,7 o C. Resumindo: Ponto Zero Instrumental: é o valor numérico inicial diretamente lido na escala do instrumento. Fundo de Escala Instrumental: é o valor numérico final, diretamente lido na escala do instrumento. Precisão Instrumental: é a capacidade que um instrumento de medida tem em distinguir valores numéricos adjacentes da grandeza física a ser medida. Ela pode variar ao longo da faixa dinâmica do instrumento. Para instrumentos analógicos, a precisão instrumental é a menor graduação lida na escala, no ponto de leitura. 24

11 Precisão da Medida: depende do tipo de medida e do processo (metodologia) para obtê-la. Para uma única medida direta, adotaremos que a precisão da medida é igual à precisão instrumental. Faixa Dinâmica Instrumental: faixa de variação numérica compreendida entre o menor intervalo de leitura (precisão instrumental) e o maior intervalo de leitura possível na escala do instrumento (Fundo de Escala Ponto Zero). Acurácia Instrumental: é a quantificação de quão próximo da realidade o valor indicado na escala do instrumento está. Ela depende do processo de construção, calibração e validação do instrumento. Acurácia da Medida: é a quantificação de quão próxima da realidade o valor da medida está. Depende do instrumento, da metodologia de medida, da pessoa que efetua a medida e das condições ambientais. VIII Erros em Medidas Diretas com Escalas Analógicas. O erro é inerente ao próprio processo de medida. Ele nunca poderá ser completamente eliminado, apenas minimizado. Vamos agora estudar como podemos avaliar a incerteza associada à medida de uma grandeza física. Temos duas situações distintas na hora de calcular a incerteza: a primeira trata de medidas diretas e a segunda de medidas indiretas. Veremos neste módulo, o erro de medidas diretas analógicas. Já os erros das medidas indiretas, veremos em detalhes, juntamente com a propagação de erros, nos próximos módulos. Os erros de medidas estatísticas e os erros das medidas digitais serão tratados à parte em módulos futuros. Erros em medidas analógicas diretas A medida direta de uma grandeza G, com seu erro estimado, pode ser feita de duas formas distintas: a) Medindo-se apenas uma vez a grandeza G: neste caso, a estimativa de erro G da medida é feita a partir do instrumento de medição utilizado. A medida é expressa corretamente como: G = (valor da medida erro da medida) 10 n unidade, 25

12 sendo o valor da medida lido diretamente na escala, com todos os A.S. possíveis (incluindo o duvidoso) e o erro da medida ( G), considerado como a metade da menor graduação do instrumento. Portanto, quando apenas uma medida analógica direta da grandeza G é realizada, a incerteza associada (ou erro) da medida é dada pela metade da precisão do instrumento. IMPORTANTE!!!: a incerteza ou erro G de uma medida direta analógica só pode ser escrita com 1 A.S.!!!! Caso necessário, empregam-se os critérios de arredondamento que aprendemos no módulo 1. Exemplos: 1) Régua da Figura B-7: A menor graduação da escala ou precisão deste instrumento é 1 cm. Assim, teremos que G = 1 cm/2 = 0,5 cm e a medida G abaixo pode ser expressa como: G = (34,6 0,5) cm Figura B-7: Régua graduada em centímetros. O valor 34 é diretamente lido na escala e o 0,6 é estimado (estimativas entre 34,3 e 34,7 seriam igualmente aceitáveis). 2) Termômetro climático da Figura B-8: Neste instrumento, temos duas escalas. A da esquerda, em graus Celsius ( C) e a da direita, em graus Fahrenheit ( F). Note que em ambas a menor graduação de escala ou precisão vale 2. Assim, para ambas, G = 2 o /2 = 1. Desta forma, a medida de temperatura abaixo pode ser expressa como: T = (30 1) C ou T = (86 1) F. Logicamente, fica mais fácil extrapolar valores (para o algarismo significativo duvidoso) na escala de graus Celsius do que na escala de graus Fahrenheit. Figura B-8, à direita: Termômetro Climático, com escalas em o C e o F. 3) Voltemos ao problema da escala da balança que tem suas marcações graduadas variando ao longo da escala (Figura B-4). Vimos que até 15kg, a menor graduação da escala ou precisão é 0,5kg. A partir de 15kg, a precisão é 26

13 de 1kg. Se a precisão da escala deste instrumento é variável, então o erro de medida também a segue, dependendo do ponto onde a leitura ocorre na escala: * para leituras entre 0 < M(kg) 15 G = 0,5 kg/2 = 0,25 kg Porém, só podemos escrever o erro de uma medida direta única com apenas 1 A.S., o que nos força a efetuar o arredondamento (e suas regras): G = 0,2kg (arredondamento para 1 A.S.) * para m(kg) > 15 G = 1 kg/2 = 0,5 kg Logo, as medidas das massas A e B seriam escritas como: A = (7,8 0,2) kg B = (20,2 0,5) kg Assim, apesar de ser o mesmo instrumento (mesma balança), existem precisões e erros de medidas diferentes conforme a escala graduada analógica deste instrumento, o que deve ser levado em conta. ii) Medindo-se N vezes a mesma grandeza G: Nesta situação tornase necessário um tratamento estatístico para a obtenção da medida final e de seu erro. Este tratamento será analisado em detalhes na disciplina, em módulos futuros. IX Medidas Indiretas e Algarismos Significativos Suponha que você queira saber a área de um terreno em m 2. De posse de uma trena centimetrada, com precisão de 0,5 cm, você mede a largura, vamos supor, (20,314 ± 0,002) m e depois o comprimento, digamos, (45,885 ± 0,002) m. Todos sabemos que a área deste terreno retangular será dada pela multiplicação do comprimento pela largura. Note que esta área não é medida diretamente, mas de forma indireta. Não foi utilizado um instrumento onde você tenha lido em uma escala o valor da área. 27

14 Nestas situações, como podemos representar a medida indireta? Como podemos calcular o erro desta medida? Para responder a estas duas perguntas precisamos saber dois assuntos que serão vistos nos módulos seguintes: operações com algarismos significativos e propagação de erros. Mas podemos já pensar o seguinte aspecto: de alguma forma, precisamos levar em conta a precisão e o número de algarismos significativos obtidos nas medidas diretas. Por exemplo, no caso da área do terreno, se simplesmente efetuássemos algebricamente o produto da largura pelo comprimento, obteríamos: 20,314m 45,885m = 932,10789m 2. Note que enquanto as medidas diretas de largura e comprimento são representadas com 5 A.S., a medida da área teria 8 A.S.. Será que isto seria correto? Será que uma medida secundária teria melhor qualidade que as primárias? X Erros em Medidas Indiretas Observamos que uma medida indireta é sempre obtida a partir de uma ou mais medidas diretas. Como toda medida direta tem um erro, medidas indiretas obtidas também terão erros associados. Para sabermos o erro de uma medida indireta é preciso utilizar um modelo (teoria de erros) e efetuar a propagação de erros. Entretanto, não veremos isto neste momento, pois é um assunto complexo, para alguns módulos futuros. No momento apenas devemos ter em mente que os erros de medidas diretas são propagados de alguma forma para as medidas indiretas. Como existe estreita relação entre a representação de medidas diretas com a precisão e algarismos significativos, podemos esperar que as medidas indiretas refletirão estes aspectos na sua representação, o que inclui também os seus erros. Veremos futuramente que uma medida indireta terá sua representatividade limitada tanto pelo número de algarismos significativos das medidas diretas, quanto pela propagação de erros. Isto provoca algumas situações peculiares. Por exemplo, pode ocorrer de o erro ser menor do que a representação de algarismos significativos da medida indireta e nestes casos, o erro final é artificialmente aumentado para acompanhar esta representação. Por outro lado, existem situações contrárias em que a representação da medida indireta é limitada pelo erro propagado. Estas situações serão abordadas nos próximos dois módulos de nosso curso. 28