Prof. Dr. Ederio D. Bidoia Monitor: Lucas Balduino Departamento de Bioquímica e Microbiologia, IB

Transcrição

1 Aula 2 Prof. Dr. Ederio D. Bidoia Monitor: Lucas Balduino Departamento de Bioquímica e Microbiologia, IB Unesp campus de Rio Claro, SP

2 Erros

3 1. Algarismos Significativos: Na matemática 3 é igual a 3, Porém, nas ciências experimentais 3 não é necessariamente igual a 3,

4 Exemplo: Quando uma medida é expressa em 3 m quer dizer que ela pode variar de 2 m a 4 m, mas quando expressa como 3,00 m quer dizer que ela varia apenas de 2,99 m a 3,01 m, o que significa maior precisão na medida (o erro pode variar de acordo com o instrumento de medida). Esse tipo de representação é chamado de algarismo significativo.

5 Exemplo: Quantos algarismos significativos possuem: 8 1 8,0 2 0, , ,4 x 10² 1 0,45 x 10³² 2 Obs: Os zeros a esquerda não são contados, desde que não apareça um número inteiro antes.

6 Portanto, algarismos significativos são os algarismos necessários para expressar o resultado de um experimento com a mesma precisão com que foi medido.

7 Erros de medidas: Por mais exata que uma medida seja, ela não é, pelo fato de que todo instrumento de medida tem um erro associado e deve ser aferido. Por exemplo, as balanças semianalíticas já vem com um erro de ±0,001, enquanto as pipetas e outro instrumentos volumétricos podem não vir com o erro associado, e neste caso o erro será sempre a metade da menor divisão da graduação.

8 Assim, para qualquer instrumento de medida que não vem com erro determinado, por exemplo: para algumas pipetas a divisão indicada é 1/10, ou seja, dez divisões para cada intervalo de graduação, de forma que o menor intervalo é 0,1 e o erro será ±0,05.

9 Operações com algarismos significativos:

10 Operação de multiplicação e divisão: Regra geral com operações de multiplicação e divisão: certifique-se que o resultado fique com a mesma quantidade de números significativos que o de menor quantidade de algarismos significativos envolvidos na operação. Exemplo: 2,2 x 123,0 = 270,6 = 2,7 x 10² 50,02 m x 3,0 m = 15 x 10¹ m² Portanto o resultado, foi expresso com apenas 2 algarismos significativos assim como 3,0 e 2,2. O resultado pode ser arredondado caso o número mais a esquerda que será eliminado for igual ou maior 5.

11 Operação de adição e subtração: Na adição e na subtração a regra é um pouco diferente: o resultado deverá ter depois da vírgula a mesma quantidade de números que o de menor parcela depois da vírgula. Exemplo: + 15,295 5,1?? 20,395 Portanto o resultado é apenas 20,4 (após arredondamento) assim como o número de menor parcela de dígito depois da vírgula. As interrogações indicam os algarismos que não foram medidos pelo equipamento.

12 Arredondamento: Se o algarismo que será excluído for maior ou igual a 5 então é acrescida uma casa e se for menor que 5 então ele é simplesmente eliminado. O arredondamento vale para as quatro operações (subtração, soma, multiplicação e divisão). Números provenientes de contagem são exatos e não limitam os algarismos significativos, por exemplo: há cinco dedos em uma mão, logo é 5 exato.

13 2. Precisão e Exatidão

14 Precisão: É a maior quantidade de medidas mais próximas o possível uma da outra. Exemplo: Tomemos como exemplo tiros ao alvo. Instrumento preciso Instrumento não preciso

15 Exatidão É medir sempre o mesmo valor sem pequenos e grandes desvios. Exemplo : Tomemos novamente como exemplo o tiro ao alvo. Instrumento não exato Instrumento exato

16 Obs: uma medida pode ser precisa e não exata. Instrumento preciso mas não é exato. Instrumento não preciso e não exato. Instrumento exato e preciso. Instrumento não exato e não preciso

17 A menos que se tenha instrumentos precisos em relação aos quais se possa testar a medida realizada, nunca se saberá o valor verdadeiro da quantidade medida. Nesse caso só obteremos valores médios de todas as medidas efetuadas e os intervalos das mesmas. O intervalo de valores individuais de um valor médio é chamado de desvio, δ, sendo definido como a diferença entre o valor medido, xi, e a média aritmética, xmédio, de um número n de medidas. δ i = xi - xmédio

18 Exemplo: Medidas Xi (m) 1 1,02 2 1,05 3 1,01 4 1,06 5 1,07 6 1,03 Média Aritmética: 1,02 + 1,05 + 1,01 + 1,06 + 1,07 +1,03 6 Xmédio = 1,04 m Xmédio = Desvio: δ1 = 1,02 1,04 = - 0,02 m δ2 = 1,05 1,04 = 0,01 m δ3 = 1,01 1,04 = - 0,03 m δ4 = 1,06 1,04 = 0,02 m δ5 = 1,07 1,04 = 0,03 m δ6 = 1,03 1,04 = - 0,01 m desvios =

19 2.1 Erros Sistemáticos Os erros encontrados nas medidas experimentais podem ser classificados como aleatório (indeterminado) e sistemático (determinado). Um erro sistemático diminui a exatidão, mas, sem necessariamente a precisão. Por exemplo, uma régua que foi calibrada de forma errada irá causar um erro sistemático em medidas de comprimento.

20 2.2 Erros Aleatórios e Desvio Padrão Com relação aos erros aleatórios, os erros de pequena magnitude são os mais prováveis e os desvios negativos apresentam uma ocorrência igual aos desvios positivos. O intervalo dos resultados, ou dispersão, é expresso pelo desvio padrão, s, calculado pela seguinte expressão:

21 Deve-se observar que quando uma medida é repetida somente duas ou três vezes, não se está realizando uma medida suficientemente grande de medidas e a confiança que se pode ter no valor médio resultante é correspondentemente menor. No caso de serem realizadas duas ou três medidas, o desvio padrão pode ser aproximado pelo desvio médio dos valores absolutos dos desvios:

22 Procedimento para o cálculo do Desvio Padrão: i Medida Xi (cm) Δδ (cm) Xi - X Δδ² (cm²) 1 1,02-0,02 0, ,05 0,01 0, ,01-0,03 0, ,06 0,02 0, ,07 0,03 0, ,03-0,01 0,0001 Xi = 6,23 X = 1,04 Δδ= 0,1 Δδ²= 0,003 Primeiramente construa uma tabela de valores com: as medidas e a média aritmética X; o desvio médio (Δδ) e o desvio médio ao quadrado (Δδ²). X X médio O traço em cima da grandeza significa média aritmética.

23 Agora calcularemos S ou desvio padrão com os dados da tabela anterior: Combinando os dados obtidos podemos escrever a medida de maneira correta, de modo que fique apenas um valor para representar todos os valores experimentais com seus respectivos desvios. Desvio padrão S: 0,02 ml Média das medidas X: 1,04 ml S = 0,02 ml Medida e desvio padrão juntos, como o resultado deve escrito: 1,04 ± 0,02 ml

24 Alguns instrumentos e seus erros Instrumentos Balança analítica Proveta de 50 ml Proveta de 25 ml Bureta de 50 ml Pipeta de 25 ml Pipeta de 10 ml Balão Volumétrico Termômetro graduado a cada 2 C Incerteza ± 0,0001 g ± 0,1 ml ± 0,1 ml ± 0,05 ml ± 0,05 ml ± 0,03 ml ± 0,08 ml ±1 C

25 2.3 Propagação de Erro Em soma (Z) ou subtração (S) o erro do resultado é a soma dos erros absolutos: (Z ± Z) = (X ± ΔX)+(Y ± ΔY) = (X+Y) ± (ΔX+ΔY) (S ± ΔS) = (X ± ΔX)-(Y ± ΔY) = (X-Y) ± (ΔX+ΔY) Portanto para soma e subtração: ΔS = ΔZ = ΔX+ΔY

26 Exemplo de soma e subtração na propagação de erros: x = 12,03 ± 0,05 y = 8,07 ± 0,01 z = x + y s = x - y Resultado experimental. Resultado experimental. Z = (12,03 ± 0,05) + (8,07 ± 0,01) Z = (12,03 + 8,07) ± (0,05 + 0,01) Z = (20,10 ± 0,06) S = (12,03 ± 0,05) - (8,07 ± 0,01) S = (12,03-8,07) ± (0,05 + 0,01) S = (3,96 ± 0,06)

27 Em multiplicação e divisão são efetuadas a soma dos erros relativos para propagar o erro.

28 Exemplo de multiplicação e divisão na propagação de erros: x = 12,03 ± 0,05 y = 2,00 ± 0,01 Resultado experimental. Resultado experimental. M = x y D = x y M = (12,03 ± 0,05) x (2,00 ± 0,01) M = (12,03 x 2,00) ± (12,03 x 2,00) 0,05 + 0,01 12,03 2,00 M = (24,1 ± 0,2) D = (12,03 ± 0,05) ( 2,00 ± 0,01) D = 12,03 12,03 0,05 + 0,01 ± 2,00 2,00 12,03 2,00 D = (6,02 ± 0,05)

29 O erro relativo de uma medida experimental (6,02 ± 0,05) é definido como o resultado da divisão do erro absoluto (± 0,05) pelo valor medido (6,02). O erro relativo multiplicado por 100 é o erro percentual. Erro relativo (Δx/x): Medida = 6,02 ± 0,05 0,05 = 0,008 6,02 Erro percentual (Δx/x).100: Medida = 6,02 ± 0,05 0,05 x 100 = 0,8% 6,02

30 A propagação de erros pode ser aplicada em outras operações matemáticas também, tais como, potência, exponenciais e logarítmicas.

31 2.4 Erros Pessoais Esses tipos de erros são comuns em trabalhos experimentais, principalmente em se tratando de estudantes em fase de treinamento. Assim, se os números de uma escala não são lidos corretamente,ou são anotados indevidamente, ou se parte de uma solução é perdida ao se realizar uma titulação, o resultado obtido irá conter um erro.

32 2.5 Alguns Fatores de Conversão de Unidades Volume 1 L = 1000 ml = 0,001 m³ = 1 dm³ = 1000 cm³ Comprimento 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm Pressão 1 atm = 101,3 kpa = 1,013 bar = 760 mmhg = 760 Torr Massa 1 kg = 1000 g = 1 x 10 6 mg = 1 x 10 9 µg Mol 1 mol = 6,02 x 10²³ moléculas, partículas, átomos ou íons