ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E TRATAMENTO DE DADOS

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1 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E TRATAMENTO DE DADOS 1.0 Objetivos Utilizar algarismos significativos. Distinguir o significado de precisão e exatidão. 2.0 Introdução Muitas observações na química são de natureza quantitativa, isto é, a grandeza de alguma propriedade é medida e expressa com um número. Nas ciências físicas as propriedades fundamentais mais utilizadas e medidas diretamente são: comprimento, tempo, massa e temperatura. Outras propriedades da matéria como volume, densidade ou velocidades são quocientes ou produtos destas propriedades fundamentais. Um processo de medida envolve, geralmente, a leitura de um número em algum instrumento; em consequência tem-se quase sempre alguma limitação no número de dígitos que expressam um determinado valor experimental. Os dígitos obtidos como resultado de uma medida chama-se algarismos significativos. Ao se escrever um número considera-se que somente o último algarismo da direita é impreciso. A importância dos algarismos significativos é que eles indicam a precisão das medições. As quantidades medidas encontram-se normalmente associadas às palavras. PRECISÃO e EXATIDÃO. O termo precisão refere-se a quão próximas duas medidas de uma mesma quantidade estão uma da outra. O termo exatidão refere-se a quão próximas uma observação experimental está do valor verdadeiro. As medidas nunca são feitas com precisão absoluta. As grandezas físicas obtidas pela observação experimental sempre apresentam certa incerteza. A precisão de uma distância medida com uma régua comum normalmente é realizada apenas até o milímetro mais próximo, enquanto um micrômetro pode medir distâncias até 0,01mm ou mesmo menores. A precisão de um número é freqüentemente indicada com o

2 símbolo ± seguindo o número em um segundo número indicando o erro máximo que é possível esperar. Se o diâmetro de uma barra de aço é dado como 56,47 ± 0,02 mm, isto significa que o valor verdadeiro é muito pouco provavelmente menor do que 56,45mm ou do 56,49mm. O termo provável pode ser definido em termos estatísticos. A precisão também pode ser expressa em termos do máximo erro fracional ou percentual provável. A resistência de um resistor classificado como 47 ohms, 10% provavelmente difere de 47ohms por não mais de 10% de 47ohms, aproximadamente 5ohms,isto é, o verdadeiro valor está compreendido entre 42 e 52ohms. Na barra de aço do primeiro exemplo, a incerteza fracional é de (0,02mm)/(56,47mm) ou aproximadamente 0,00035; o erro percentual é de (0,00035)x(100%), aproximadamente 0,035%. Passamos para um outro exemplo, uma substância contém 49,10 g ± 0,02% de um constituinte A. Esta substância foi submetida a uma série de pesagens por dois químicos que obtiveram os seguintes resultados em gramas:

3 Concluímos que os valores obtidos pelo Analista 1 são exatos, pois estão muito próximos do valor correto, mas a precisão é inferior a obtida pelo Analista 2. Um outro exemplo, vamos supor que o comprimento de um lápis seja de 22 centímetros. O comprimento do lápis foi medido com um dispositivo que permite aproximações de 0,01 cm. Seis medidas foram realizadas separadamente e o valor médio foi calculado. Nas medidas realizadas foram obtidos os seguintes resultados: 20, 14 cm; 20,17 cm; 20,12 cm; 20,16 cm; 20,15 cm e 20,12 cm. O Valor Médio das Medidas = Soma dos valores das medidas / número de medidas Embora estes números oscilem em torno da média, nenhuma das medidas está próxima do verdadeiro valor do comprimento do lápis que é 22 cm. Como a reprodutibilidade do comprimento é boa, pois nenhuma medida difere mais do que 0,03 cm do valor medido, a PRECISÃO destas medições é alta. Como as medidas individuais e o valor médio das medidas não estão próximos do verdadeiro (22 cm), os resultados obtidos são considerados de baixa EXATIDÃO. O ideal é que as medidas sejam exatas e precisas. Medidas podem ser precisas e não serem exatas devido a algum erro sistemático que é incrementado a cada medida. A média de várias determinações é geralmente considerada o valor melhor para uma medida do que uma única determinação. 2.1 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Um número de pessoas numa sala de aula e uma dúzia de ovos são números exatos. Não há dúvidas quanto ao número de pessoas numa sala de aula. E uma dúzia de ovos são exatamente doze ovos. Por outro lado, os números obtidos numa medida não são exatos. De acordo com a medida da temperatura indicada no termômetro da figura 3a, você poderia escrever 25,6 ou 25,7 o C.

4 Na tentativa de medir a temperatura com precisão até uma casa depois da vírgula é necessário fazer-se uma estimativa do último algarismo. Existe a certeza de que a temperatura é maior do que 25 o C e menor do que 26 o C, mas o último algarismo é duvidoso. O valor da temperatura medida com esse termômetro possui 3 algarismos significativos. E é incorreto acrescentar um quarto algarismo, como em 25,63; pois se o algarismo 6 já é duvidoso, não faz sentido o acréscimo do algarismo 3. Com um termômetro mais preciso, uma medida com maior número de algarismos pode ser obtida. O termômetro 3b possui divisões de 0,1 o C. Assim você poderá obter o valor da temperatura com 4 algarismos significativos 25,78 o C ou 25,79 o C, sendo o último algarismo duvidoso. Na leitura de do volume de água em um aparato como uma proveta ou uma bureta, você notará que a superfície da água não é plana e forma um fenômeno chamado menisco. Leiasempre o ponto mais baixo do menisco. Os valores das medidas da figura 1C são 20,46ml e 14,60ml. Observe que o algarismo zera da medida 14,60 deve ser escrito.se você escreve somente 14,6ml, você esta dizendo que o valor da medida está em 14,5 e14,7 ml. Por outro lado, 14,60 significa um valor entre 14,59 e 14,61 ou entre 14,58 e 14,62, dependendo do desvio médio. Note também, que escrever as unidades é tão importante quanto anotar um número.

5 O melhor valor para representar uma medida é a média aritmética dos valores medidos, por exemplo: 20,46 ml; 20,42 ml; 20,45 ml; 20,48 ml e 20,48 ml. O desvio de cada medida será: 20,46 20,46 = 0,00 20,42 20,46 = 0,04 20,45 20,46 = 0,01 20,48 20,46 = 0,02 20,48 20,46 = 0,02 Portanto o desvio médio é 0,02 ml e o valor da medida é 20,46 ± 0,02 ml. Quando se usam números com incertezas ou erros para calcular outros números, estes também serão imprecisos. É particularmente importante compreender isto quando se deseja comparar um número obtido através de medidas com um valor obtido por uma previsão teórica. Suponha que um estudante queira verificar o valor de π (pi), a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. O valor correto, com dez algarismos, é de 3, Ele desenha um círculo e mede o diâmetro e a circunferência com precisão de um milímetro, obtendo valores 135mm e 424mm, respectivamente. Na sua calculadora de bolso, obtém o quociente dos dois números, 3, Há ou não concordância com o valor teórico? Para responder a esta questão, é preciso antes reconhecer que, no mínimo, os últimos seis algarismos do resultado encontrado pelo estudante não têm significado, porque eles implicam admitir uma precisão maior no resultado do que nas medidas. De um modo geral, nenhum resultado numérico pode ter mais algarismos significativos do que os números que forem usados para calculá-lo. Assim, o valor de π que o estudante encontrou tem apenas três algarismos significativos e deve ser escrito simplesmente 3,14 ou no máximo, 3,141 (arredondando a 4 algarismos). Dentro do limite de três algarismos significativos, o valor do estudante concorda com o valor real de π.

6 O estudante normalmente fará os cálculos aritméticos com uma calculadora de bolso, com um mostrador de cinco a dez algarismos. Escrever um resultado com dez algarismos significativos a partir de números com três algarismos significativos é não somente desnecessário: é um erro real, pois distorce a precisão dos resultados. Tais resultados devem ser sempre arredondados para guardar apenas o número de algarismos significativos correto ou, nos casos duvidosos, no máximo, um algarismo a mais. Em cálculos com números muito grandes ou muito pequenos, as considerações sobre algarismos significativos são muito simplificadas pelo uso da notação científica. A distância da Terra ao Sol é aproximadamente igual a m, mas escrever o número desta forma não dá nenhuma indicação a respeito do número de algarismos significativos. Certamente a totalidade deles não é significativa! Em vez de escrevê-lo assim, move-se a virgula decimal onze casas à esquerda e multiplica-se por 10 11, isto é, m = 1,49 x m Desta maneira, é claro que o número de algarismos significativos são três. Considerações semelhantes são aplicáveis quando números muito grandes ou muito pequenos têm de ser multiplicados ou divididos. Por exemplo, a energia E correspondente à massa m de um elétron é dada pela equação: E = m.c 2 Em que c é a velocidade da luz. Os números apropriados são m = 9,11 x Kg e c = 3,00 x 10 8 m.s -1 E = (9,11 x ) (3,00 x10 8 ) 2 E = (9,11)(3,00) (10-31 )(10 8 ) 2 E = (82,0)( (2x8)) Kg.m 2.s -2 Muitas calculadoras de bolso usam a notação científica e, portanto, nos poupam o incômodo trabalho de adicionar expoentes, mas o estudante deve ser capaz de fazer estes cálculos a mão, quando necessário. A propósito, deve-se notar que o valor da c tem três algarismos significativos mesmo que dois deles sejam zero. Com maior precisão, c = 2, x 10 8 m.s -1 ; portanto seria um erro escrever c = 3,000x10 8 m.s -1. Mais alguns exemplos: 34 cm + 23,4cm = 57cm 34 cm tem dois algarismos significativos e 23,4cm tem três algarismos significativos. O resultado da soma é 57,4cm. Este resultado (com três algarismos significativos) é incorreto quanto ao número de algarismos significativos, pois é mais exata do que uma das medidas que tem apenas dois algarismos significativos. O

7 resultado dever ser expresso pelo número 57cm, que possui dois algarismos significativos. 2,34 ohm / 1,455 ohm = 1,60 ohm 2,34 ohm tem três algarismos significativos e 1,455 ohm tem quatro algarismos significativos. O resultado, portanto, não pode ter mais de três algarismos significativos. A divisão terá como resultado 1, ohm, mas pegue apenas três algarismos significativos: 1,60 ohm 6,02X10 23 moléculas x 1,1 = 6,6x ,02x10 23 tem três algarismos significativos. 1,1 possui apenas dois. A multiplicação dará como resultado 6,622x10 23 o que é incorreto, pois há quatro algarismos significativos. O resultado correto deverá ter dois algarismos significativos no máximo, logo: 6,6x O Sistema Internacional de Unidades (SI) que é o antigo sistema métrico expandido é um sistema decimal, possuindo sete unidade básicas: Tabela 1 Relação de unidades básicas do SI Além disso, são utilizados os prefixos que indicam frações e múltiplos de dez. São dezesseis prefixos do SI. Tabela 2 Relação de prefixos do SI

8 3.0 Exercícios 1. Quantos algarismos significativos existem em cada uma das medidas: a) 23,9 cm e) 5 x átomos b) km f) 4,11 x moléculas c) 0,029 g g) 17,0 ml d) 2,014 x 10-3 mm 2. Arredonde os seguintes números de forma que fiquem com dois algarismos significativos: a) 81,42 d) 14,2 b) 0,517 e) 135 c) 2,31 x 10-5 f) 0, Escreva os números abaixo em potência de 10 (notação científica): a) 2.150,1 e) 0,05499 b) f) c) 0,0141 g) 0, d) 0, Faça os cálculos abaixo e escreva a resposta com o número correto de algarismos significativos: a) 8421 x 25 d) x 0,000023

9 b) (5,63 x 10 5 ) x (7,2 x 10 3 ) e) 14, , ,7593 c) 398/22,0 f) 42,7 + 0,259/28, A massa de 6,000 g de uma peça de ferro é medida três vezes em duas balanças diferentes, com os seguintes resultados: a) Calcule o desvio médio para cada conjunto de medidas em cada balança. b) Qual balança é mais precisa? Explique. c) Qual balança é mais exata? Explique. 6. Complete as seguintes conversões: a) 12 g = kg b) 160 m = mm c) mg = g d) 36 ml = litros e) 21 g = mg f) 37,6 dm 3 = cm 3 g) 18 ml = cm 3 h) 5,19 m = cm. 7. A nave espacial Voyager I em vôo até Saturno revelou que a temperatura na superfície de Titan (uma das luas de Saturno) é 93 K. Qual a temperatura em graus Celsius? 8. A distância entre os centros de dois átomos de oxigênio numa molécula, O 2, é 1,21 Å (1Å = m). Qual é a distância em cm?