Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Instituto de Física & Química IFQ. Universidade Aberta do Brasil UAB Curso de Licenciatura em Física EaD

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1 Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Instituto de Física & Química IFQ UNIFEI, uma instituição centenária. Universidade Aberta do Brasil UAB Curso de Licenciatura em Física EaD Textos Auxiliares para as disciplinas: Física Experimental Metodologia Científica Prof. Gabriel Rodrigues Hickel Baseado em material didático criado por Prof. Agenor Pina da Silva & Profa. Mariza Grassi Ano 018 Todos os direitos reservados à UNIFEI e UAB. O uso deste material para fins didáticos, não lucrativos, é permitido, desde que mantidos os créditos. 40

2 Conteúdo deste texto: XIII Propagação de Erros XIV Cuidados na representação de medidas indiretas Referências Bibliográficas recomendadas para este texto Livros: 1 Vuolo, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros. Editora Edgard Blücher LTDA, a Edição, São Paulo, SP, 000. Corradi, W.; Vieira, S.L.A.; Társia, R.D.; Balzuweit, K.; Fonseca, L.; Oliveira, W.S., Física Experimental. Editora da UFMG, Belo Horizonte, MG, 008. Endereços eletrônicos: 1 DFTMA-UFBA; Teoria de Erros Física I (acesso em 15/Março/018) UNIVAP; Apostila de Metodologia Científica/Física Experimental (acesso em 15/Março/018) 3 UFF; Apostila de Física Experimental 1 (acesso em 15/Março/018) 4 Lima Júnior, P. et al., IF - UFRGS; Medições indiretas e propagação da incerteza (acesso em 15/Março/018) 41

3 XIII Propagação de Erros Quando iniciamos a análise dos erros de medidas, abordamos apenas a estimativa do erro de medidas diretas analógicas (lidas diretamente em uma escala), efetuadas com uma única medida. Mas como será que devemos proceder quando a medida é indireta? Esta é uma pergunta bastante pertinente, uma vez que medidas indiretas são mais comuns do que pensamos. Por exemplo, ao medir a área de uma sala, não temos um instrumento de medida que avalie esta grandeza diretamente. Normalmente, medimos comprimento e largura separadamente e então efetuamos o cálculo da área posteriormente. Na maior parte dos casos, principalmente em laboratório, os resultados de uma experiência fornecem dados de duas ou mais grandezas físicas independentes, medidas diretamente. Posteriormente, estes dados são utilizados em um modelo físico-matemático que fornecerá uma (ou mais) medida(s) secundária(s). Em outras palavras, a medida de uma grandeza física indireta é obtida a partir da medida de uma ou mais grandezas físicas diretas e equações matemáticas de um modelo físico. Já vimos no módulo anterior como efetuar o cálculo do valor de uma medida indireta, baseado nas regras de operações de algarismos significativos (A.S.). O problema que este módulo abordará é como avaliar a incerteza de uma medida indireta a partir dos erros das medidas diretas e das operações matemáticas que estão envolvidas na determinação da grandeza indiretamente medida. A isto chamamos de propagação de incerteza ou de erros. NOTA: Para entender o cálculo da incerteza de uma medida indireta (propagação de erros) seriam necessários conhecimentos prévios de Estatística e Cálculo Diferencial que os alunos do primeiro semestre ainda não possuem. Como nossa disciplina é concomitante ao Cálculo Diferencial e Integral I, apresentaremos, por hora, apenas as fórmulas finais das operações algébricas mais simples. Aqueles que desejarem mais informações devem procurar pelo assunto Teoria de Erros. Ao final do semestre, os conhecimentos adquiridos na disciplina de Cálculo tornarão mais claro o modelo de propagação de erros e sua formulação genérica para medidas secundárias quaisquer. 4

4 Erros em medidas indiretas Se uma grandeza G g g grandezas medidas diretamente, A a a, B b b, C c c é calculada como função de outras,..., podendo ser representada por uma função matemática que envolva os valores destas grandezas; é razoável que o seu erro também seja função dos valores e dos erros das grandezas medidas diretamente, ou seja: g f a, b, c, a a, b b, c c G f ( A, B, C,...), g f, sendo a, b, c,...; valores experimentais obtidos diretamente e a, b, c,...; suas respectivas incertezas experimentais. Neste módulo, veremos a determinação da incerteza g de uma medida indireta, apenas para as quatro operações aritméticas simples e potenciação. Para qualquer tipo de função, sempre que uma determinação diferente das explicitadas neste módulo, for necessária, ela será fornecida pelo professor. Regras para cálculo do erro de medidas secundárias, para as seguintes operações com medidas primárias: Para todos os exemplos a seguir, estamos supondo uma grandeza g g, obtida de forma secundária, a partir das grandezas A a a B b b. G primárias e 1) Adição e Subtração (G = A + B ou G = A B) Independente do sinal, na adição e subtração, os desvios sempre se somam de forma quadrática: Adição: A ( a a) e B ( b b) G A B Então, teremos que a medida G = (g±g) será dada da seguinte maneira: g = a + b (g) = (a) + (b) De modo que uma medida indireta, obtida por adição, fica: 43

5 G g g a b a b Subtração: A ( a a) e B ( b b) G A B Então, teremos que a medida G = (g±g) será dada da seguinte maneira: g = a - b (g) = (a) + (b) De modo que uma medida indireta, obtida por subtração, fica: G g g a b a b. Note que o erro para uma medida indireta, obtida a partir da adição ou subtração de medidas diretas, é o mesmo: a raiz quadrada da soma quadrática dos erros das medidas diretas. De modo geral, erros de medidas indiretas sempre são somas quadráticas envolvendo os erros de medidas diretas (e outros termos). Por hora, vamos aplicar estas regras em alguns exemplos: Exemplo: Suponha que A = (4,4 0,4) m e B = (33,3 0,) m, então: Adição g G A B g 4,4 33,3 75,7 m 0,4 0, 0,44714 m G 75,7 0,4 m. 44

6 Nas operações com os valores das medidas (a e b), as regras de operações com A.S. continuam valendo. Assim, para obter o valor da medida secundária (g), é necessário observar as regras que aprendemos no módulo passado. Note também que o erro, mesmo propagado, só pode ser representado com um único A.S.. Logo, é necessário fazer o arredondamento do erro, com as regras que aprendemos. G Subtração G A B G 4,4 33,3 9,1 m 0,4 0, G 9,1 0,44714 m 0,4 m ) Produto A Seja o produto G = (A B), das grandezas medidas diretamente, a a B b b, neste caso, teremos a seguinte regra:, g = a b (g) = (b a) + (a b) O erro do produto envolve a soma quadrática dos termos cruzados entre medidas e erros. Desta forma, uma medida indireta fruto de um produto é dada por: G g g a b b a a b Exemplo: Suponha que A = (50,8 0,) m e B = (1, 0,1) m, então: 45

7 Multiplicação g G A B g 50,8 1, 619,76 m 1, 0, 50,8 0,1 5,635601m G 60 6 m Na multiplicação também é necessário utilizar as regras de operações com A.S. e de arredondamento. O resultado foi escrito com apenas 3 A.S., conforme a regra para o produto de A.S.. O erro também foi arredondado para apenas 1 A.S.. A 3) Divisão Seja o quociente G = (A/B), das grandezas medidas diretamente, a a B b b,neste caso, teremos a seguinte regra:, g = a/b (g) = (a/b) [(a/a) + (b/b) ] O erro da razão envolve a soma quadrática das razões entre erros e medidas, multiplicada pela razão quadrática entre as medidas. Desta forma, uma medida indireta fruto de uma divisão é dada por: G g g a b a b a a b b Exemplo: Se A = (8,456 0,005) cm e B = (,45 0,03) s então: 46

8 Divisão G A / B g 8,456,45 3,45149cm/s 8,456 g,45 0,005 8,456 0,03,45 0,0431cm/s G 3,45 0,04 cm/s Note que as regras de operações com A.S. foram observadas para o resultado da divisão. Ambos os valores de g e g necessitaram ser arredondados. 4) Potenciação É bastante comum obtermos medidas secundárias que envolvam potências de medidas primárias. Por exemplo, para calcular a área de um círculo cujo diâmetro "D" foi medido, teremos que elevar D ao quadrado. Para calcular a energia cinética de um corpo com massa "m" e velocidade "v", teremos que elevar v ao quadrado. Podemos tratar os erros de medidas indiretas obtidas a partir de potências inteiras de medidas diretas, generalizando o erro de um produto com n variáveis. Seja G uma grandeza obtida a partir do produto de n variáveis vi. Então, o valor da grandeza g o erro g serão: g = v 1 v v 3... (g) = (v v3... v1) + (v1 v3... v) +(v1 v... v3) +... Mas se ao invés de termos várias variáveis, existir apenas uma única variável v elevada a uma potência inteira, por exemplo G = v n, então, a regra do produto explicitada acima ficará: g = v v v... = v n (g) = (v v... v) + (v v... v) +(v v... v) +... (g) = [v (n-1) n v] Esta formulação é válida para qualquer n, inteiro ou não. 47

9 Exemplo: Se medimos X = (15,3 0,05) m e T = (3,6 0,) s, podemos calcular a aceleração de um corpo em movimento uniformemente acelerado (X = ½ a T ): A aceleração é determinada por a = X/T, o que significa que teremos que fazer três operações: elevar o tempo ao quadrado, multiplicar a distância por e finalmente fazer a divisão. Em cada operação desta será necessário levar em conta A.S., propagar o erro e arredondar os valores: T = T T = 3,6 3,6 = 1,96 s 13 s T = T T= 3,6 0, = 1,44 s 1 s medida de T = (13 1) s X = 15,3 = 30,46 m X = X = 0,05 = 0,1 m medida de X = (30,5 0,1) m a = X/T = 30,5 m/13 s =, m/s a = (X/T ) [( X/ X) +(T / T ) ] 1/ a = (30,5/13) [( 0,1/30,5) +(1/13) ] 1/ = 0,181 m/s Assim, a medida secundária da aceleração do corpo será (após os devidos arredondamentos): a = (,3 0,) m/s. Importante notar que no exemplo acima utilizamos não só o conceito de potenciação, mas também o da divisão de variáveis. Outro conceito utilizado foi o da multiplicação de um número por uma medida (no caso, X). Nestas situações, tanto a medida quanto o erro são multiplicados pelo mesmo número. Por exemplo: G = (0,678 ± 0,004) cm, então, 3G = (,034 ± 0,01) cm, que deverá ser representado como 3G = (,03 ± 0,01) cm, devido às regras de representação de erros e arredondamento. Em muitas expressões matemáticas encontramos números irracionais como o, por exemplo. Nestes casos devemos tomar cuidado quando for necessário arredondar esses números na realização dos cálculos. O ideal é utilizá-los com o máximo de casas decimais possíveis. A seguir veremos um exemplo prático disto, calculando o volume de uma esfera através do diâmetro medido: 48

10 Seja uma esfera de diâmetro D = (0,00 0,01) cm. Seu volume é calculado através da expressão: V 1 D 6 3 D 3 = D D D = 0,00 cm 0,00 cm 0,00 cm = 8000 cm 3 D 3 = D 3 D= 0,00 0,00 3 0,01 = 1,00 cm cm 3 V = (1/6) D 3 = 4188,790 cm cm 3 V = (1/6) D 3 = 5,4 cm 3 5 cm 3 Assim, a medida indireta do volume da esfera será (após os devidos arredondamentos e representação em notação científica): V = (4,189 0,005) 10 3 cm 3 Assim, sempre que um número irracional for utilizado em uma equação matemática envolvendo medidas, ele deverá ser representado no cálculo com pelo menos dois algarismos a mais do que a medida mais rica em A.S., de forma a garantir que a sua representação não afete o valor da medida indireta. Note que no exemplo do cálculo do volume da esfera, o diâmetro (medida direta) tinha 4 A.S.. Se tivéssemos representado o como 3,14, isto alteraria o resultado final (verifique!). XIV Cuidados na representação de medidas indiretas Você já deve ter percebido que ao calcular e representar medidas indiretas, temos que estar atentos a dois aspectos: 1) O erro só pode ser representado com 1 A.S., o que limita o número de casas decimais que a medida pode ser representada; ) As regras de operações com algarismos significativos (que aprendemos no módulo passado) também devem ser respeitadas, podendo limitar a medida e o erro. Mas qual dos dois aspectos é mais importante? Os dois têm a mesma importância na representação de medidas indiretas e elas podem ser limitadas por um ou outro aspecto. 49

11 Existem medidas secundárias limitadas pela propagação de erros, ou seja, o valor da medida é representado até a casa decimal onde o erro aparece. Mas também existem medidas secundárias limitadas pelas regras de operações com A.S., ou seja, o valor do erro precisa ser artificialmente aumentado para ser representado na última casa decimal do valor da medida. Vamos entender melhor estes aspectos com alguns exemplos. a) Medidas indiretas limitadas por operações com A.S.: Suponha que queiramos medir o volume de água em um cano longo. Um cano pode ser aproximado por um cilindro. Então, o volume de água dentro de um cano será dado pela expressão do volume de um cilindro: V áreadabase altura D 4 i h onde Di é o diâmetro interno e h, a altura. Suponha que meçamos diretamente Di = (5,94 ± 0,001) cm, com um paquímetro e h = (671,7±0,1) cm, com uma trena. Note que as duas medidas diretas foram representadas com 4 A.S. e como o volume é obtido através de uma multiplicação; a priori, a medida final poderia ser representada com no máximo 4 A.S.. Procedendo o cálculo do volume V e seu erro V: V ,94 671,7 1866,4686 1, cm V 4 h D D h h D D D h i i 4 i i i V ,7 5,94 0,001 5,94 0,1 6,86 cm 0, cm A medida termina na terceira casa decimal, pois só podemos representar V com 4 A.S.. O que fazer com o erro que só aparece na quarta casa decimal??? Nestas situações, somos forçados a reescrever o erro e aumentá-lo artificialmente, uma vez que o erro deve aparecer justamente na última casa decimal do valor da medida. Desta forma, a medida do volume deve ser escrita como: V = (1,863 ± 0,001) 10 4 cm 3. 50

12 Note que o erro teve de ser artificialmente elevado de 0, para 0, para auxiliar na representação da medida com 4 A.S.. Nestes casos, é dito que o valor da medida é limitado pelas regras de operações com A.S. b) Medidas indiretas limitadas pela propagação de erros: Suponha que queiramos medir a aceleração da gravidade através do uso de um pêndulo simples, sob ângulo pequeno. Como sabemos, o período T do pêndulo estará relacionado ao comprimento L do pêndulo e à aceleração da gravidade g, pela relação: T L g g 4 L T Suponha também que meçamos diretamente o comprimento L = (,03 ± 0,005) m, com uma trena e T = (,855 ± 0,003) s, com um cronômetro. Note que as duas medidas diretas foram obtidas com 4 A.S. e como a gravidade é obtida através de uma divisão; a priori, a medida final poderia ser representada com no máximo 4 A.S.. Procedendo o cálculo da aceleração da gravidade g e do seu erro g: T,855 8, ,151s g 4,03 9, ,798 8,151 m/s g 4 L T L L T T 4 L T L L T T T g 4,03 8,151 0,005,03 0,003,855 0, ,03 m/s onde o erro da aceleração da gravidade foi arredondado para ser representado com apenas 1 A.S. 51

13 Note que neste exemplo o erro aparece na segunda casa decimal. Mas a medida pode ser representada até a terceira casa decimal. Como proceder? Nestes casos a medida deve ser representada somente até a casa decimal onde o erro aparece. No exemplo, a medida indireta da aceleração da gravidade ficaria: g = (9,80 ± 0,03) m/s Note que o valor da medida precisou ser arredondado, perdendo uma casa decimal (e 1 A.S.), artificialmente. Nestes casos, é dito que o valor da medida é limitado pela propagação de erros. c) Medidas indiretas com concordância de representação: Suponha que queiramos medir a densidade de uma substância pura, sabendo a massa m do corpo de prova e o volume V do memo. Podemos relacionar a densidade, a massa m e o volume V do corpo de prova, como segue: m V Suponha também que meçamos diretamente a massa m = (0,1 ± 0,05) g, com uma balança e o volume V = (,8 ± 0,0) cm 3, mergulhando o corpo de prova em uma pipeta cheia de água (princípio de Arquimedes). Note que a medida direta com menor número de A.S. possui 3 deles e como a densidade é obtida através de uma divisão; a priori, a medida final poderia ser representada com no máximo 3 A.S.. Procedendo o cálculo da densidade do corpo de prova e do seu erro : m 0,1 8, ,8 g/cm 3 V,8 m V m m V V 0,1,8 0,05 0,1 0,0,8 0, ,08 g/cm 3 Note que neste exemplo, tanto a representação da medida termina na segunda casa decimal, quanto o erro aparece nesta mesma casa. Não temos qualquer problema em representar a medida indireta. 5

14 Nestes casos, basta escrever a medida indireta. No exemplo da densidade do corpo de prova, ficaria: = (8,8 ± 0,08) g/cm 3. Nestes casos, é dito que o valor da medida tem concordância com a propagação de erros. A Tabela 4.1 (página seguinte) fornece um quadro resumo das regras de operações com algarismos significativos e propagação de erros para as operações algébricas mais simples. Como vimos, as medidas podem ser limitadas por um ou outro caso (ou também concordar) e deve-se ficar atento aos valores de representação e à coerência ao escrever a medida secundária (indireta) final. Esta Tabela 4.1 pode e deve ser consultada sempre, como fonte de referência para as operações com A.S. e propagação de erros. 53

15 Tabela 4.1 Regras para obtenção de Medidas Indiretas (Operações com A.S. e Propagação de Erros) Sejam A a a e B b b, medidas primárias. Então: Operação Adição A + B Subtração A B Multiplicação A B Divisão A / B Potenciação A n Regra de representação com Algarismos Significativos a + b deve ser escrito com o mesmo número de casas decimais da parcela (a ou b) com o menor número de casas decimais a b deve ser escrito com o mesmo número de casas decimais da parcela (a ou b) com o menor número de casas decimais a b deve ser escrito com o mesmo número de A.S. da parcela (a ou b) com o menor número de A.S. a / b deve ser escrito com o mesmo número de A.S. da parcela (a ou b) com o menor número de A.S. a n deve ser escrito com o mesmo número de A.S. de a Regra de Propagação de Erros a b deve ser escrito com 1 A.S. apenas a b deve ser escrito com 1 A.S. apenas a b b a deve ser escrito com 1 A.S. apenas a a b b a b deve ser escrito com 1 A.S. apenas a n 1 na deve ser escrito com 1 A.S. apenas Obs: estas regras não precisam ser decoradas. Esta tabela poderá ser consultada nas avaliações presenciais. O importante é saber utilizá-las! 54