INTERFERÊNCIA. S 1 r 1 P S 2 r 2 E 1

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1 INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO DISCIPLINA : FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV-E (FIS 4) INTERFERÊNCIA Sejam duas fontes puntiformes de luz S e S e um ponto P situado a uma distância r de S e r de S. Ao atingir P, as ondas originadas pelas duas fontes se superpõem e, em determinadas circunstâncias, podem provocar o fenômeno de interferência. Como vimos em estudos anteriores, a luz comporta-se como onda eletromagnética e, como tal, pode ser caracterizada por um vetor campo magnético e pelo campo elétrico ( E r ). Mas, para simplificar nosso formalismo, podemos representar esta onda apenas pelo campo elétrico e pela direção de propagação, já que o campo magnético pode ser determinado a partir destes dados. S r P S r E E Vamos supor que as fontes emitam apenas ondas harmônicas monocromáticas. Dessa forma, o feixe de luz produzido por S i ( i =,) no ponto P, no instante t, será dado por : E r = E m (i) cos ( k i r i - ω i t + φ i ) ê i onde E m (i) é a amplitude da onda produzida pela fonte S i, ω i é a freqüência dessa onda, e ê i é o vetor unitário perpendicular ao segmento de reta S i P. Podemos simplificar a notação fazendo δ i (t) = k i r i - ω i t + φ i ( i =,) r de sorte que os campos elétricos poderão ser escritos como E = E cosδ ( t). ê Note que estamos admitindo que as fontes podem ter amplitude, freqüência, comprimentos de onda e fases diferentes. Podemos definir ainda um vetor complexo E r i = Em(i) e j δi(t) ê i e j = () m E r i, tal que Note que a amplitude E m (i) é dada por: E m (i) = E r i = ( E r i. i E r i ) / i Na realidade, o vetor complexo E r i é apenas uma ferramenta auxiliar. O que tem realidade física é apenas sua parte real, ou seja, E r = Re{ E r i } Do estudo das ondas eletromagnéticas, vimos que a intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude. Se o meio é o vácuo, então I = E escrever I = β E m m μ c. Para um meio qualquer, podemos, onde β é uma constante que depende das propriedades desse meio. Assim, a intensidade da luz em P produzida pela fonte Si será : o

2 I i = β Em (i) = β E r i. E r i () Vamos calcular agora a intensidade total, resultante da superposição da duas ondas. O Campo elétrico total em P será E r = E r + E r e a intensidade será: I = β E. E* = β ( E r + E r ). ( E r + E *) =β ( E r. E r + E r. E r + E r. E r + E r. E r ) I = β E m () + β Em () + β ( E r. E r + E r. E r ) = I + I + FI Onde introduzimos o fator de interferência FI, dado por FI = β ( E r. E r + E r. E r ) FI = β ( E m () Desenvolvendo esta expressão, vamos obter : e j δ δ ê. E m () ê + E m () ê. Em() e ê) e j ( δ δ ) e j e j ( δ δ ) FI = β E m () E m () { + } ê. ê e j δ Chamando Δ(t) = δ - δ e lembrando que cos θ = ( e + e )/ FI = β E m () E m () cos Δ(t) ê. ê jθ jθ De acordo com a expressão (), I = β E (i) de modo que a intensidade em P será : i m jδ I = I + I + { I I cos Δ(t) } ê. ê Em nosso estudo, só nos preocuparemos com a interferência no infinito ou seja, com a interferência em um ponto P localizado a uma distância muito maior que a distância entre as fontes S e S. Nestas circunstâncias ê // ê, de modo que ê. ê =. Desta forma, teremos: I = I + I + I I cos Δ(t) Δ(t) = (k r - k r ) - ( ω - ω )t +(ϕ - ϕ ) (3). Coerência Suponha que iluminemos uma tela com luz proveniente de duas fontes de cores diferentes, com freqüências ω e ω respectivamente. De acordo com a expressão (3) a intensidade da luz resultante será uma superposição de ambas as cores, adicionado ao fator de interferência, que é um termo oscilante de intensidade variável com o tempo. Em outras palavras deveríamos ver a luz piscando na tela. Contudo, na prática, não observamos este termo oscilante, mas apenas a superposição das cores. A razão disto repousa no fato de nossos olhos não ter capacidade de perceber oscilações de alta freqüência, mas apenas seu valor médio. A freqüência da luz visível é da ordem de 0 4 Hz, de modo que o valor médio do termo de interferência é nulo (pois, como vimos em capítulos anteriores, o valor médio de cos[ f ( t) ] é nulo). Desta forma, para podermos observar o termo de interferência é necessário que este termo seja independente do tempo. Isto só é possível se de mesma cor. Assim, a expressão da intensidade será: I = I + I + ω = ω, ou seja se ambas as fontes emitirem luz I I cos[(k r - k r ) +(ϕ - ϕ )] (4)

3 A expressão acima nos diz que, ao iluminarmos uma tela com duas fontes de luz de mesma cor, devemos encontar um padrão de interferência, isto é, regiões com interferência construtiva e outras com interferência destrutiva, uma vez que a diferença de caminho varia de ponto a ponto. Entretanto, na grande maioria dos casos não conseguimos observar este padrão de interferência, a menos que utilizemos fontes de luz ou arranjos especiais. Isto se deve ao fato destas fontes serem incoerentes, o que significa que a diferença de fase [ϕ - ϕ ] varia aleatóriamente no tempo, com uma taxa de repetição bastante elevada. Desta forma o valor médio do termo de interferência também será nulo e iremos observar na tela apenas a superposição de ambos os feixes de luz. Podemos ter uma idéia de como a relação de fase não permanece constante, utilizando um modelo simplificado de emissão de luz. Suponha que a fonte de luz seja puntiforme (macroscopicamente) e ao observarmos a emissão notaremos que a luz, ao invés de ser uma onda contínua e infinita, é, ao contrário, constituída por trens de onda de comprimento finito. Além disto, esses trens são emitidos em intervalos de tempo completamente aleatórios. Assim, se a diferença de fase entre os trens de fontes distintas assume um certo valor em um certo instante, essa diferença de fase não assume o mesmo valor para os trens seguintes. A figura abaixo ilustra melhor esta afirmação. Fonte Fonte Em um certo instante as fontes emitem dois trens de onda. Na ilustração ao lado, as ondas estão em fase e a diferença de fase entre elas é nula. Fonte Fonte No instante seguinte as fontes emitem outros trens de onda e a diferença de fase entre eles assume um outro valor (ou mesmo a emissão não é simultânea). Na ilustração, as ondas não estão mais em fase. Se, por um lado, as lâmpadas comuns são fontes incoerentes, o laser é uma fonte coerente de modo que podemos obter um padrão de interferência usando laser como fontes. Contudo, o primeiro laser só surgiu em 96 e desde o século 9 as figuras de interferência já eram obtidas usando fontes de luz ordinárias. Como isto era obtido? A idéia central é dividir em dois o mesmo feixe de luz, fazendo-os percorrer caminhos diferentes e em seguida recombiná-los em uma tela de observação. Em outros termos dividimos um mesmo trem de onda e a diferença de fase que surge entre os trens subdivididos será devido única e exclusivamente à diferença de caminho e não ao tempo de emissão. Esses trens serão, portanto coerentes, pois a diferença de fase permanecerá constante no tempo, possibilitando o aparecimento do padrão de inteferência. Um experimento que usa esta configuração é o dos espelhos de Lloyd. Veja no roteiro de laboratório de Física IV (experimento ) uma descrição detalhada deste experimento. Um outro experimento que emprega o mesmo procedimento é o da fenda dupla de Young, que veremos no próximo item. Vamos supor que exista uma relação entre as amplitudes das fontes e que essa relação permaneça constante no tempo. Assim E m () = α E m (), onde α é uma constante positiva. Chamando I = I o, teremos I = α I o e a expressão (4) para a intensidade total será: 3

4 I = α I o + I o + α I o cos Δ(t) Lembrando que cos θ = cos θ -, então: I = I o { α - α + + 4α cos (Δ(t)/) I = I o { (α - ) + 4α cos (Δ(t)/) } RESUMO: INTERFERÊNCIA NO INFINITO I = I + I + I I cos Δ(t) E m () = α E m (), α 0 e I = I o I = I o { (α - ) + 4α cos (Δ(t)/) } Δ(t) = (k r - k r ) - ( ω - ω )t +(ϕ - ϕ ) (5). O experimento de fenda dupla de Young Fendas Luz monocromática Tela de observação A figura acima mostra um feixe de luz monocromática, de comprimento de onda, iluminando um par de fendas separadas por uma distância d. As fendas são muito finas, e neste capítulo iremos considerálas com largura menor que o comprimento de onda da luz. A razão desta consideração será melhor vista no estudo da difração. O padrão de interferência é observado em uma tela de observação, situada a uma distância D >> d, de modo que podemos considerar como sendo padrão de interferência no infinito. r Tela de observação d S θ r S 4

5 Por simplicidade, iremos considerar que a fonte de luz está posicionada na mediana entre as fendas, de modo que, como se vê da figura, uma mesma frente de onda*, atinge simultaneamente ambas as fendas. De acordo com o princípio de Huygens, todo ponto de uma frente de onda é uma fonte de ondas esféricas secundárias. Desta forma, cada fenda pode ser considerada como fonte puntiforme de luz S e S e a intensidade na tela de observação obedecerá as relações (5). Se as fendas tiverem a mesma largura, podemos considerar α =. Além disso, como ambas ondas são originárias da mesma frente de onda teremos (ϕ - ϕ )= 0. Por fim, como ambas ondas originarias das fendas percorrem o mesmo meio até atingir a tela, então A expressão da intensidade em um ponto P na tela será então: Δ I = 4I o cos (6) π onde Δ = ( r r ) = k = π k. θ d θ r-r = dsenθ Como podemos ver da figura ao lado que a diferença de caminho entre as ondas é ( r r ) = senθ modo que π = d sen θ Δ (7). d Podemos analisar agora a expressão (6) para encontrarmos as condições de máximos e mínimos. Observe que se Δ = m = 0,,,3K máxima. Da expressão (7), obtemos Δ mπ, então cos = cos ( mπ ) = π Δ = d senθ = mπ, o que resulta em d sen θ = m, de e a intensidade será. Em outras palavras, esta condição nos diz que se a diferença de caminho entre as ondas for um número inteiro de comprimentos de onda, então a interferência será construtiva Por outro lado, se Δ = ( m + ) π m = 0,,,3K, então a intensidade será nula. Da expressão (7) obtemos d senθ = (m + ), o que equivale a dizer que se a diferença de caminho entre as ondas for um número impar de meios comprimentos de onda, então a interferência será destrutiva. Resumindo: Máximos Δ Diferença de caminho Intensidade Δ = mπ d sen θ = m I = 4Io Mínimos Δ = ( m + )π d senθ = (m + ) I = 0 * Se a fonte não estiver alinhada com as fendas, estas não serão atingidas simultaneamente pela mesma frente de onda, mas sim por duas frentes diferentes. Contudo, a diferença de fase entre as ondas permanece constante no tempo, de modo que a condição de coerência será mantida 5

6 O gráfico abaixo mostra a variação da intensidade com a fase Δ. -6π -5π -4π -3π -π -π 0 π π 3π 4π 5π 6π 6