Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 23 de maio de 2013

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1 OSCILAÇÕES FORÇADAS Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 23 de maio de 2013

2 Roteiro 1 Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas

3 Roteiro Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas 1 Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas

transversais numa corda Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Consideremos uma perturbação que se propaga ao longo do eixo x, no sentido positivo.

4 transversais numa corda Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Consideremos uma perturbação que se propaga ao longo do eixo x, no sentido positivo. Num certo t (fixado), y(x, t) terá o aspecto de uma certa função f(x). Num outro instante t, o aspecto será o mesmo de f(x), porém deslocado para a direita, de modo que podemos afirmar que: y(x, t ) = f(x v(t t))

5 transversais numa corda De forma geral, podemos dizer que: Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas y(x, 0) = f(x) y(x, t) = f(x vt) Esta é uma onda progressiva para a direita, que se propaga com velocidade v. No caso de uma onda progressiva que se propaga para a esquerda com velocidade v, temos, analogamente: y(x, t) = g(x + vt) Numa corda, é possível que coexistam tanto ondas progressivas para a direita como para a esquerda, de modo que a solução geral é: y(x, t) = f(x vt) + g(x + vt)

6 Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Equação de Unidimensionais Dada a semelhança entre as ondas e o MHS, esperamos que a equação de onda seja de 2 a ordem, mas agora se trata de uma EDP, já que y depende de x e t. Num primeiro momento, faremos uma dedução intuitiva desta EDP (depois ela será obtida a partir das leis da Mecânica) y(x, t) = f(x vt) + g(x + vt) 2 y 2 x = f (x vt) + g (x + vt) 2 y [ ] 2 t = v2 f (x vt) + g (x + vt) 2 y 2 x = 1 2 y v 2 2 t

7 Harmônicas Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Um caso particular de solução da equação de ondas é quando a função f(x) tem a forma cossenoidal ( ) 2πx f(x) = A cos λ + δ = A cos(kx + δ) Nesse caso: y(x, t) = A cos(kx kvt + δ) = A cos(kx ωt + δ)

8 Harmônicas Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas y(x, t) = A cos(kx kvt + δ) = A cos(kx ωt + δ) Este tipo de solução é conhecido como onda harmônica (onda monocromática uma única frequência) que se propaga para a direita. Também é possível ter uma onda harmônica se propagando para a esquerda: y(x, t) = A cos(kx + ωt + δ) A grandeza k = 2π é conhecida como número de onda, e λ ω é a frequência angular.

9 Harmônicas Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Há uma relação entre ω e k: ω = kv ou ainda 2πf = 2π λ v v = λf O argumento do cosseno ϕ(x, t) = kx ωt + δ é conhecido como fase da onda, ao passo que δ é chamada de constante de fase. A função y(x, t) também pode ser escrita na forma complexa como: y(x, t) = Re [Ae i(kx wt+δ)]

10 numa corda Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Aplicando a 2 a lei de Newton para este elemento e tomando a direção y: T sin θ(x + x) T sin θ(x) = ( m)a ( y a y = 2 y t 2 x + x ) 2, t

11 numa corda Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Considerando θ pequeno (ligeiro deslocamento): sin θ(x) = tan θ(x) = y (x, t) x sin θ(x + x) = tan θ(x + x) = y (x + x, t) x Sendo µ a densidade linear [ y T x y (x + x, t) (x, t) x No limite em que x 0: ] 2 y x 2 (x, t) = µ T = (µ x) 2 y x (x + t2 2, t) 2 y (x, t) t2 Onda unidimensional com v = T/µ

12 Solução geral Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Consideremos a mudança: { r = x vt 2 y t 2 = ( v) Analogamente: y t = y r s = x + vt r t + y s s ( 2 y r 2 r t + 2 y r s t = y y ( v) + r s (+v) ) + (v) s t 2 y x 2 = 2 y r y r s + 2 y s 2 ( 2 y r r s t + 2 y s s 2 t )

13 Solução geral Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Substituindo: 2 y r s = 0 y r s = 0 y s = G(s) y = G(s)ds + f(r) = g(s) + f(r) y(x, t) = f(x vt) + g(x + vt) como já tínhamos visto antes de forma intuitiva. A solução geral pode ser particularizada sob as condições iniciais: y(x, 0) = y 0 (x) y t (x, 0) = y 1(x) Estas condições iniciais especificam f(x) e g(x) a menos, possivelmente, de uma constante aditiva.

14 Exemplo Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Suponha que a corda sofra um deslocamento inicial y 0 (x) e seja solta do repouso. f(x) + g(x) = y 0 (x) f (x) + g (x) = 0 g(x) = f(x) + C 2f(x)+C = y 0 (x) f(x) = y 0(x) 2 C 2 g(x) = y 0(x) 2 +C 2 y(x, t) = 1 2 [y 0(x vt) + y 0 (x + vt)]

15 Intensidade Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Uma onda transporta energia. Mas a que taxa? Consideremos que um agente externo esteja transferindo energia a corda através da movimentação de um elemento de massa na posição x. Para ondas progressivas, a potência transferida é: y y y P = F y = T t x t

16 Intensidade Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas No caso de uma onda harmônica P = ωkt A 2 sin 2 (kx ωt + δ) = µvw 2 A 2 sin 2 (kx ωt + δ) Em geral, mais importante que o valor instantâneo de P, é mais importante saber o valor médio, que é chamado de intensidade I da onda (unidimensional). I = P = 1 T t +T t I = µvω2 A 2 2 P (x, t)dt

17 no mesmo sentido Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Como a equação de ondas é linear, qualquer superposição de ondas (que são solução da EDP) também é uma solução válida. A superposição de ondas é um fenômeno conhecido como interferência. Vamos estudar esse fenômeno para o caso de ondas progressivas harmônicas. Consideremos duas ondas progressivas se propagando para a direita: [ ] y 1 = A 1 cos(kx wt + δ 1 ) = Re A 1 e ikx e iwt e iδ 1 [ ] y 2 = A 2 cos(kx wt + δ 2 ) = Re A 2 e ikx e iwt e iδ 2

18 no mesmo sentido Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas A superposição destas duas ondas resulta em: [ ] y = Re e i(kx wt) (A 1 e iδ 1 + A 2 e iδ 2 ) A 1 e iδ 1 + A 2 e iδ2 como Ae iδ é um número complexo que podemos escrever Assim: A 2 = (A 1 e iδ 1 + A 2 e iδ 2 )(A 1 e iδ 1 + A 2 e iδ 2 ) A 2 = A A A 1 A 2 cos(δ 1 δ 2 ) [ y(x, t) = Re Ae i(kx wt+δ)] = A cos(kx wt + δ)

19 no mesmo sentido Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Intensidade da onda resultante I = I 1 + I I 1 I 2 cos(δ 1 δ 2 ) Nem sempre a intensidade de duas ondas em processo de interferência é igual a soma das intensidades individuais. A intensidade é máxima quando: δ 1 δ 2 = 2mπ m = 0, ±1, ±2,... I max = ( I 1 + I 2 ) 2 Nesse caso, a interferência é construtiva. Do contrário, a intensidade é mínima (interferência destrutiva) quando: δ 1 δ 2 = (2m + 1)π m = 0, ±1, ±2,... I min = ( I 1 I 2 ) 2 Para valores intermediários de δ 1 δ 2, a intensidade varia

20 no mesmo sentido Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Para valores intermediários de δ 1 δ 2, a intensidade varia conforme a figura seguinte.

21 em sentidos opostos Unidimensionais Equação de Unidimensionais Harmônicas em cordas Para o caso de ondas de mesma amplitude se propagando em sentidos opostos y 1 = A cos(kx ωt) y 2 = A cos(kx + ωt) A superposição destas duas ondas resulta em: y = 2A cos kx cos ωt que é uma solução que não se propaga (onda estacionária). As ondas componentes tem fluxos de energia iguais e contrário, que se cancelam na resultante, de modo que o fluxo médio de energia se anula neste caso.

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