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Thereza de Escobar
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1 Universidade Federal do Amazonas Departamento de Física 2 a Prova de Física IIIE 1 o Semestre de 2017 Prof. Ricardo de Sousa GABARITO 1-(peso 2,5) Duas ondas senoidais de mesma frequência (w =2πf) ecom- primento de onda (λ) estão se propagando no mesmo sentido e são produzidas por uma corda esticada. Uma das ondas tem amplitude A 1 eaoutraamplitude A 2, e têm fases φ 1 e φ 2, respectivamente (a) (peso 0,5) Usandoo método dos fasores, encontre a amplitude da onda A resultante da superposição; b) (peso 1,0) Usandoométodo algébrico, encontre a amplitude da onda A resultante da superposição; c) (peso 1,0) Usando os resultados dos ítens a) ou b), encontre quais as condições para termos interferências construtiva e destrutiva, e obtenha os respectivos valores da amplitude. Dado: sin(α + β) =sinα cos β +sinβcos α. a) Método dos fasores: A amplitude A 1 faz um ângulo φ 1 com a horizontal e A 2 um ângulo φ 2 com a horizontal, de modo que colocando A 1 e A 2 ligados entre si conforme mostrado na figura abaixo, temos assim que o ângulo entre as duas amplitudes é φ 2 φ 1. Usandoofatodeque A 1 = A 1 (cos φ 1 i +sinφ1 j ) e A 2 = A 2 (cos φ 2 i + sin φ 2 j ), a amplitude resultante será A = A 1 + A 2 = A x i + Ay j = (A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2 ) i +(A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 ) j, logo o seu módulo será 1

2 A 2 = A 2 x + A 2 y =(A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2 ) 2 +(A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 ) 2 desenvolvendo ou agrupando A 2 = A 2 1 cos 2 φ 1 + A 2 2 cos 2 φ 2 +2A 1 A 2 cos φ 1 cos φ 2 + A 2 1 sin 2 φ 1 + A 2 2 sin 2 φ 2 +2A 1 A 2 sin φ 1 sin φ 2 z } { z } { A 2 = A 2 1( cos 2 φ 1 +sin 2 φ 1 )+A 2 2(cos φ 2 +sin 2 φ 2 ) +2A 1 A 2 (cos φ 1 cos φ 2 +sinφ 1 sin φ 2 ), {z } =cos(φ 1 φ 2 ) logo, ficaremos A 2 = A A A 1 A 2 cos(φ 1 φ 2 ). (1) b) Método algébrico: Sendos as duas ondas com mesma frequência e comprimento de onda, mas fora de fase, a onda resultante terá mesma frequência e comprimento de onda e uma nova fase φ aserdeterminadaaseguir. Do princípio da superposição teremos y(x, t) = A sin(kx wt + φ) = A 1 sin(kx wt + φ 1 )+A 1 sin(kx wt + φ 2 ), (2) denotando por α = kx wt e usando a lei da soma do seno, reescrevemos a Eq. (2) na forma ou A (sin α cos φ +cosαsin φ) = A 1 (sin α cos φ 1 +cosαsin φ 1 )+ A 2 (sin α cos φ 2 +cosαsin φ 2 ), A sin α cos φ + A cos α sin φ = sinα(a 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2 )+ cos α(a 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 ), (3) igualando os coeficientes sin α e cos α na Eq. (3) obteremos ½ A sin φ = A1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 A cos φ = A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2. (4) Elevando ao quadrado ambos os membros da Eq. (4) e somando-as, obtemos A 2 sin 2 φ + A 2 cos 2 φ =(A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 ) 2 +(A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2 ) 2, 2

3 desenvolvendo a expressão acima, ficaremos A 2 z } { sin 2 φ +cos 2 φ z } { = A 2 1 sin 2 φ 1 +cos 2 z } { φ 1 + A 2 2 sin 2 φ 2 +cos 2 φ 2 + 2A 1 A 2 (sin φ 1 sin φ 2 +cosφ 1 cos φ 2 ), (5) {z } =cos(φ 2 φ 1 ) logo, obtemos o mesmo resultado da expressão (1). c) A interferência construtiva equivale o valor máximo da amplitude da superposição das duas ondas, logo da Eq. (1) teremos e a amplitude será cos(φ 2 φ 1 ) φ 2 φ 1 = ±2nπ (n =0, 1, 2..), (6) A 2 max = A A A 1 A 2 =(A 1 + A 2 ) 2 A max = A 1 + A 2. (7) No caso da interferência destrutiva equivale o valor mínimo da amplitude da superposição das duas ondas, logo da Eq. (1) teremos e a amplitude será cos(φ 2 φ 1 )= 1 φ 2 φ 1 = ±(2n +1)π (n =0, 1, 2..), (8) A 2 min = A2 1 + A2 2 2A 1A 2 =(A 1 A 2 ) 2 A min = A 1 A 2. (9) 2-(peso 2,5) Quanto maior o número de pessoas presentes em uma festa, mais você precisa levantar a voz para ser ouvido, por causa do ruído de fundo dos outros participantes. Entretanto, depois que está gritando a plenos pulmões, a única forma de fazer ouvir é aproximar-se do interlocutor, invadindo seu espaço pessoal. Modele a situação substituindo a pessoa que está falando por uma fonte sonora isotrópica no ponto P e o ouvinte por um ponto Q que absorve parte das ondas sonoras. Os pontos P e Q estão separados inicialmente por uma distância r i, 20 m. Se o ruído de fundo aumenta de β =5dB, o nível do som na posição do ouvinte também deve aumentar. Qual é a nova distância r f necessária para que a conversa possa prosseguir? A intensidade sonora emitida por uma fonte isotrópica é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre a fonte e o ouvinte. Ou seja, se r éa distância entre a fonte e o ouvinte teremos a seguinte relação de proporcionalidade I = a r 2, (10) onde a éumaconstantedeproporcionalidade. 3

Para uma distância r i, 20 m temos uma intensidade I i = a/ri 2 com nível sonoro β i =(10dB)log(I i /I o ), e para a distância r f a determinar temos uma intensidade I f = a/rf 2 com nível sonoro β f

4 Para uma distância r i, 20 m temos uma intensidade I i = a/ri 2 com nível sonoro β i =(10dB)log(I i /I o ), e para a distância r f a determinar temos uma intensidade I f = a/rf 2 com nível sonoro β f =(10dB)log(I f /I o ). A variação do nível sonoro β = β f β i =5dB será escrito por ou β =(10dB)log(I f /I o ) (10 db)log(i i /I o )=(10dB)log(I f /I i ), β =(10dB)log Ã! ri 2 rf 2 =5dB r f = r i (11) 3-(peso 2,0) A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação p(x, t) =(1, 5 Pa) sin[(0, 90π m 1 )x (315π s 1 )t]. Determine: a) (peso 0,5) A amplitude, b) (peso 0,5) A frequência, c) (peso 0,5) O comprimento de onda ed)(peso 0,5) A velocidade da onda. A variação da pressão do som harmônica é expressa por p = p max sin(kx wt + φ), (12) onde p max é a amplitude da onda, k =2π/λ é o número de onda, w =2πf é a frequência angular e φ a constante de fase. Comparando a Eq. (12) com a expressão dado no problema concluimos p max, 5 Pa k =2π/λ =0, 90π λ =20/9 ' 2, 2 m w =2πf = 315π f = 157, 5 Hz e a velocidade da onda se relaciona por, (13) w = kv 315π =0, 90πv v = 3150/9 = 350 m/s. (14) 4-(peso 3,0) Uma ambulância na cidade de Manaus, no dia muito quente onde a temperatura era de 42 o C, emite um som de uma sirene com uma frequência de 1, 6 KHz ao passar por um ciclista que está a 2, 44 m/s. Depois 4

de ser ultrapassado, o ciclista escuta uma frequência de 1, 59 KHz. Qual é a velocidade da ambulância. Dado: A velocidade do som no ar na temperatura 0 o Cvalev s (0 o C) = 331 m/s.

5 de ser ultrapassado, o ciclista escuta uma frequência de 1, 59 KHz. Qual é a velocidade da ambulância. Dado: A velocidade do som no ar na temperatura 0 o Cvalev s (0 o C) = 331 m/s. Ao ultrapassar o ciclista, temos ³ as seguintes situações para analisar o uso da fórmula do efeito Doppler f 0 = vs ±v o v s±v F f, onde f (f 0 ) é a frequência da fonteambulância (detector-ciclista) que anda com velocidade v F = v a (v o = v a =2, 44 m/s): partindo do critério que no afastamento temos uma diminuição da frequência e na aproximação um aumento da frequência. A fonte (ambulância) está se afastando do observador (ciclista), então devemos usar no denominador da expressão da frequência o sinal positivo (+). O observador (ciclista) está se aproximando da fonte (ambulância), então devemos usar no numerador da expressão da frequência o sinal também positivo (+), logo ficaremos µ f 0 vs + v o = f. (15) v s + v F Sabendo que a velocidade do som é proporcional a raiz quadrada da temperatura em Kelvin (T = T c + 273, onde T c é a temperatura em graus Celsius), isto é, v s r T T v s (T )= v s (T o ). (16) T o Sabendoqueavelocidadedosomem0 o Cvalev s (273 K) = 331 m/s, usando a Eq. (16) podemos obter a velocidade na temperatura de 42 o C(= 315 K) por r 315 v s (T = 315 K) = 331 ' 355, 55 m/s. (17) 273 5

6 Da Eq. (15) podemos eliminar o valor da velocidade da fonte, que será dada por v F = (v s + v o ) f f 0 v s, (18) substituindo os valores v s = 355, 55 m/s, v o = 2, 44 m/s, f = 1, 6 KHz e f 0, 59 KHz na Eq. (18) obteremos v F = (355, , 44) 1, 6 1, , 55 ' 4, 69 m/s. (19) 6

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