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Eliza Regina Caminha
5 Há anos
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1 Ondas Longitudinais

3 Applet waves_types_app Contrastar ondas LONGITUDINAIS e TRANSVERSAS (propagantes e estacionárias)

4 O significado de s(x, t) s(x, t) v onda x

5 O que faz a onda se mover no meio elástico?

6 O que faz os elementos da corda se moverem verticalmente? τ τ Resp: as componentes verticais das tensões

7 O que faz os elementos do meio elástico se moverem horizontalmente? Resp: as diferenças de pressão nas faces laterais

8 Tensão e comprimento de cordas elásticas τ τ τ + dτ τ + dτ dl Há um aumento de comprimento quando ocorre um aumento de tensão dτ = k dl

9 Pressão e Volume de meios elásticos p p + dp V V + dv Há uma diminuição de volume quando ocorre um aumento de pressão dp = B dv V B = Pa, é o módulo de compressibilidade do material

10 B é a versão para materiais do k das molas Material Módulo de Compressibilidade [Pa] Ar Água 2, Vidro Aço Diamante

11 Como a pressão no meio elástico é afetada pela onda?

12 Além de se deslocar, os volumes elementares se expandem/contraem com a passagem da onda

13 x Δ x x + Δ x + 2Δ (x Δ) + s(x Δ, t) x + s(x, t) (x + Δ) + s(x + Δ, t) (x + 2Δ) + s(x + 2Δ, t) V x, t = AΔ V x, t = A[Δ + s x + Δ, t s x, t ] s(x, t) = AΔ + AΔ x

14 V x, t = AΔ V(x, t) = AΔ + AΔ s(x, t) x p x, t = p 0 dv(x, t) dp(x, t) = B s(x, t) x p x, t = p0 + dp(x, t) dp = B dv V

15 Mensagem Toda onda s(x, t) em um meio elástico é também uma onda de pressão, s(x, t) p x, t = p 0 B x

16 A Equação de Onda

17 p 0 B s(x,t) x p 0 B s(x+δ,t) x BΔ 2 s(x, t) x 2 ρaδ 2 s x,t t 2 = A B s(x,t) x + B s(x+δ,t) x 2 s x, t t 2 = B ρ 2 s(x, t) x 2 v onda = B ρ

18 Se tivesse feito isso para a corda... y(x, t) τ τ x 2 y x, t t 2 = τ μ 2 y(x, t) x 2 v onda = τ μ

19 Material B [Pa] r [kg/m 3 ] v [m/s] Ar , Água 2, Vidro Aço Diamante

20 Ondas Transversais versus Longitudinais Applet waves_types_app 1) Contrastar ondas LONGITUDINAIS e TRANSVERSAIS propagantes 2) Estacionárias (mostrar nodos e anti-nodos) 3) Freeze e identificar regiões de dp > 0 (compressão) e dp < 0 (expansão)

21 É possível produzir uma onda transversal no ar?

23 A natureza 3D da onda sonora têm alguma consequência?

25 Como identificamos a direção de uma fonte sonora? F ΔL Δt = ΔL v som d ~ v som 18 cm 343 m/s d 0,53 ms

26 Ondas sonoras harmônicas v som = 343 m/s 20 Hz < f < 20 khz 17 m > λ > 1,7 cm Maior amplitude de pressão: dp m = 28 Pa s x, t = s m cos(kx ωt) dp x, t = Bks m sin(kx ωt) Maior amplitude de deslocamento: dp m s m = 0,011 mm (f = 1000 Hz) (1/7 da espessura de uma folha de papel)

27 Interferência O que se ouve quando dois sons de frequências diferentes são produzidos?

28 Pura matemática... s t = A 1 cos ω 1 t + φ 1 + A 2 cos ω 2 t + φ 2 FASORES

29 Um único fasor s t = A cos(ωt + φ) y A ωt + φ s(t) x

30 Soma de dois fasores y ω 2 t + φ 2 ω 1 t + φ 1 x s t = A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) + A 2 cos(ω 2 t + φ 2 )

31 Conclusão geral 1 Em geral, a amplitude do sinal resultante depende do tempo: A 1 A 2 A t (A 1 +A 2 ) y ω 1 t + φ 1 x

32 Conclusão geral 2 Em geral, o sinal resultante NÃO É PERIÓDICO s t = A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) + A 2 cos(ω 2 t + φ 2 ) Para s t ter um período T: ω 1 T = n2π ω 2 T = m2π n, m = {1, 2, 3, } T = nt 1 = mt 2 T 1 T 2 = m n

33 Conclusão geral 3 A amplitude do sinal resultante só é constante quando os dois sinais têm exatamente a mesma frequência (Δω = 0) y Δφ s t = A A A 1 A 2 cos(δφ) cos(ωt + Φ) ω 1 t + φ 1 x

34 s t = A A A 1 A 2 cos(δφ) cos(ωt + Φ) y Δφ ω 1 t + φ 1 x Δφ = 0 s t = (A 1 +A 2 ) cos(ωt + φ 1 ) Δφ = π Interferência CONSTRUTIVA Interferência DESTRUTIVA s t = A 1 A 2 cos(ωt + φ 1 )

35 Applet General Purpose Math : file same_w.xml

36 Dois casos interessantes: ω 1 ~ ω 2 e ω 1 ω 2

37 Batimento (ω 1 ~ ω 2 ) Applet General Purpose Math : file Beats.XML Mostrar tanto A 1 A 2 como A 1 = A 2

38 quando A 1 = A 2... s t = A cos(ω 1 t + φ 1 ) + A cos(ω 2 t + φ 2 ) = 2A cos Δω/2 t + (Δφ/2) cos( ωt + φ) 0 A 2A ω = ω 1 + ω 2 /2 φ = φ 1 + φ 2 /2 cos a + cos b = 2 cos (a b)/2 cos (a + b)/2

39 s(t) = 2A cos Δω/2 t + (Δφ/2) cos( ωt + φ) Δω 2 T beat=π T beat = 2π Δω

40 Experimento Abrir em duas guias Selecionar 440 Hz e 460 Hz (fast beat) Selecionar 440 Hz e 444 Hz (slow beat)

41 Caso (ω 1 ω 2 ) O apressado segue o devagar... Applet General Purpose Math : file VeryDifferent_W.XML

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Diferença de caminho ΔL

s 1 t = A 1 cos(kl 1 ωt + φ 1 ) s 2 t = A 2 cos(kl 2 ωt + φ 2 ) iguais a Φ = 2π 2,0 m (38 m 34 m) = 4π (CONSTRUTIVA) b Φ = 2π 2,0 m (39 m 36 m) = 3π (DESTRUTIVA) Diferença de caminho ΔL 2π λ ΔL + Δφ =