Ondulatória Resumo Teórico

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Ilda Minho de Sequeira
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1 Fuja do Nabo: Física II P1 014 Rogério Motisuki Ondulatória Resumo Teórico Todo mundo já aprendeu o que é uma onda, porém a matematização apresentada pode apresentar dificuldades. Equação genérica Uma onda genérica pode ser descrita por uma função. Usarei um pulso como exemplo para visualização: Nesse exemplo, 0 é o pico do pulso. Portanto, se o pulso for representado por, o pico estará em 0. Sabendo disso, imagine agora um pulso representado por 1. Onde estará o pico? É fácil perceber que a resposta é 1. Generalizando, um pulso representado por será deslocado para a direita. Logo, se o pulso se deslocar com velocidade constante, temos que, e portanto a equação genérica para um pulso que se propaga é. Se o movimento do pulso for no sentido do negativo, basta inverter o sinal. O pulso foi apenas um exemplo, todo o raciocínio acima também vale para ondas. Ondas harmônicas! São tipos de ondas tão importantes que ganham uma categoria especial. É o caso em que a função que descreve a onda é um seno (ou cosseno). Um jeito alternativo de equacionar o raciocínio acima, mas dizendo a mesma coisa, é usar uma função de duas variáveis:, #.cos (. ), onde #,( e ) são constantes.

2 O nome função de duas variáveis pode assustar, mas seu significado é muito simples: dado um (posição) e um (tempo), a função retorna a altura da onda naquela posição e tempo. Mas a equação ainda não está no formato usual, então vamos fazer umas mudanças:,#.cos(()#.cos (*) Agora temos 4 parâmetros e cada um recebe um nome: A amplitude Valor máximo da altura da onda. Bastante intuitivo observando a equação, pois o valor máximo do cosseno é 1, e como está multiplicado por #, o valor máximo de, é #. k número de onda angular Fonte de muitas dúvidas, pois é um conceito jogado sem explicação. Para explicar, usarei o conceito mais intuitivo de comprimento de onda +, conhecido por todos. Ignorando outras variáveis e constantes, a função que descreve a onda é do tipo cos (. Sabemos que após um comprimento de onda, o cosseno deu uma volta completa, ou seja, -. (cos.(+/cos ((+ Logo (+-, e daí surge a relação: ( - + Ou seja, isso traduz o conceito físico de comprimento de onda para a equação matemática que é a função cosseno. 0 frequência angular Vamos fazer uma análise parecida como a que fizemos acima, mas dessa vez com o tempo e o conceito intuitivo de período 1 da onda. Após um período, o cosseno deu uma volta completa, ou seja, -. cos*cos.*1/cos **1 Logo *1-, e portanto: * Note que originalmente, a constante que multiplicava o tempo era (, mas eu chamei isso simplesmente de *. Temos agora uma relação interessante: ( * Ou seja, podemos verificar que o que foi aprendido em ondulatória no ensino médio é consistente com esse equacionamento. 3 fase inicial O argumento do cosseno é chamado fase. Em, 0,0 teríamos cos ). Como o ) é a fase no início, recebe o nome de fase inicial.

3 Seno ou cosseno? Essa é uma pergunta que muitos fazem. A resposta é: Tanto faz. O seno e o cosseno descrevem a mesma curva, porém com uma diferença de fase entre eles. sincos6-7 Equação de onda É basicamente uma equação diferencial que descreve uma onda. Ela estabelece uma condição para as funções de onda: 8² 8² ²8² 8² Velocidade transversal Não confundir com a velocidade de propagação da onda. Os pontos de uma onda transversal se deslocam para cima e para baixo, e essa velocidade pode ser calculada com uma derivada parcial. A velocidade transversal de um ponto na posição : pode ser calculada por: Interferência ; : 8< :, 8 A soma de duas ondas gera uma nova onda cuja altura é simplesmente a soma das alturas das ondas: < =,# =.cos(*) = < >,# >.cos(*) > <, < =,< >, Quando os < = e < > tem sinais diferentes, ocorre uma subtração, e esse efeito é chamado interferência destrutiva. Quando os sinais são iguais ocorre uma soma, e recebe o nome de interferência construtiva. Note que como a função é um cosseno, a interferência construtiva irá acontecer quando a diferença de fase entre as ondas for um múltiplo par de -, e a interferência destrutiva um múltiplo ímpar. No caso mais geral, a simplificação da expressão é complicada e extensa, porém há um caso simples de bastante relevância:

4 Ondas estacionárias Ondas de mesma amplitude que se propagam em sentidos opostos interferem causando uma onda estacionária. Fisicamente, isso acontece em situações que o meio restringe a onda de tal forma que ela interfira com suas próprias reflexões. Matematicamente, temos o seguinte: Pela fórmula de Prostaférese, temos que: < =,#.cos (*) = < >,#.cos (*) > <,#.cos@ () =) > <,#.cos@( ) =) > A.cos@ *) >) = A Acos6* ) >) = 7 Note que existem em que o cosseno valerá zero, e portanto <, será zero para qualquer tempo. Esse ponto é chamado de nó, e é um ponto que fica completamente parado. Modos normais No contexto de ondas estacionárias, modos normais são frequências de oscilação naturais definidas pelo meio em que estão. Existem infinitos modos normais, e geralmente recebem nome de harmônico e são ordenados. Para calcular essas frequências, é necessário duas informações: o comprimento de onda e a velocidade (+). O comprimento de onda é obtido a partir do desenho do harmônico e relacionando com o tamanho da corda ou tubo. Nesse exemplo, uma corda está presa entre duas paredes. No ponto de contato com a parede, o movimento fica restrito, e portanto aquele é obrigatoriamente um ponto de nó. No caso de ondas sonoras, é possível ter um tubo aberto, então as extremidades da onda não seriam necessariamente um nó. Batimento Quando duas ondas de frequências parecidas interferem, ocorre um fenômeno chamado batimento. A amplitude da onda resultante varia com o tempo, é como se fosse um seno dentro de outro seno. A frequência do batimento é dada por: BC; = >

A frequência percebida pelo observador é dada pela fórmula: DBE FDG;H DBE FDG;H Os sinais das velocidades do observador e da fonte são definidos em um referencial

5 Efeito Doppler É a aparente mudança de frequência de uma onda causada pelo movimento relativo entre a fonte e o observador. O caso estudado na disciplina é o mais simples, unidimensional. A frequência percebida pelo observador é dada pela fórmula: DBE FDG;H DBE FDG;H Os sinais das velocidades do observador e da fonte são definidos em um referencial partindo do observador apontando para a fonte: IJJ Ondas numa corda No caso de ondas numa corda, há duas fórmulas específicas que fornecem informações sobre a onda, a partir da densidade da corda. Velocidade da onda numa corda: K 1 L Trabalho médio por ciclo: M N L*> # > Onde L é a densidade linear da corda O P

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