Escola Politécnica FAP GABARITO DA P2 6 de novembro de 2009

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1 P2 Física IV Escola Politécnica - 29 FAP GABARITO DA P2 6 de novembro de 29 Questão Uma película de óleo de silicone flutuando sobre água é iluminada por uma luz branca a partir do ar. A luz refletida perpendicularmente até um ponto P acima da película é observada. Os índices de refração do ar (n ar ), da água (nágua ) e do óleo (nóleo ) são praticamente independentes do comprimento de onda no intervalo do espectro visível 38nm < < 75nm. São dadas a espessura d > da película, o índice de refração do ar n ar = e que n ar < nágua < nóleo. (a) (,5 ponto) Para luz de comprimento de onda (no vácuo), calcule a diferença de fase no ponto P entre as ondas refletidas nas interfaces ar-óleo e óleo-água em termos de d, e nóleo. (b) (, ponto) Determine as condições para que ocorra interferência construtiva e destrutiva no ponto P em termos de d, e nóleo. (c) (,5 ponto) Determine o comprimento de onda máximo, max, acima do qual não ocorrem interferências construtivas. Escreva sua resposta em termos da espessura d e do índice de refração nóleo da película. (d) (,5 ponto) Determine a espessura d > abaixo da qual nenhum comprimento de onda do espectro visível será intensificado.expresse a resposta em termos de nóleo.

2 Solução da questão (a) Como n ar < nóleo, há uma mudança de fase de π na reflexão do raio. 2 ar d oleo agua Por outro lado, como nóleo > nágua, não há defasagem de π na reflexão do raio 2. A mudança de fase é devida apenas à distância extra 2d que o raio 2 percorre em relação ao raio. A diferença de fase entre os raios 2 e é 2π φ = 2kóleo d π = 2 d π = φ = 4πdn óleo /nóleo π (b) As condições de interferência construtiva e destrutiva serão, respectivamente Construtiva: φ = 4πdn óleo Destrutiva: φ = 4πdn óleo com m =,, 2,... π = 2mπ = 2dn óleo π = (2m+)π = 2dn óleo (c) Usando a condição para interferência construtiva, teremos = m+ 2 = m+ = 2dn óleo m+ 2 = max = 4dnóleo, onde usamos m = para obter o maior possível. (d) A condição para interferência construtiva fornece d = (m+ 2 ) 2nóleo = d = 95 nóleo nm, onde d foi obtido com m = e = 38 nm (limite violeta do espectro visível). 2

3 Questão 2 Uma fenda de largura a é iluminada por luz branca, emitida por uma fonte coerente situada a uma grande distância da fenda. A luz difratada é observada em uma tela distante (as condições de difração de Fraunhofer são satisfeitas). (a) (, ponto) Para qual valor de a o primeiro mínimo de uma componente vermelha ( = 628 nm) ocorrerá em um ângulo = π/ rad? Lembre-se que para <<, sen. (b) (, ponto) Uma componente da luz branca, de comprimento de onda, produz o primeiro máximo lateraldedifraçãoem = π/rad. Utilizando ovalordalargura da fenda determinado no item (a), calcule o comprimento de onda. Observação: use a aproximação de que um máximo lateral está situado à meia distância de dois mínimos adjacentes. Qual é a energia dos fótons individuais da componente? Dado: constante de Planck h = 6,63 34 J s. (c) (,5 ponto) Determine a razão entre a intensidade do primeiro máximo lateral e a intensidade I do máximo central produzidos por. 3

4 Solução da questão 2 (a) Acondição asen = m (m = ±, ±2, ±3,...) ésatisfeita nosmínimosdedifração. Portanto, usando m =, = 628 nm e sen = sen(π/) π/, obtemos a = m sen 628 = 2, 4 nm = 2, 2 mm. π (b) O primeiro máximo situa-se aproximadamente entre os mínimos correspondentes a m = e m = 2. Então, asen max asen 2 +asen 2 = =,5. Quando max é = π/ rad, sabemos que asen max = = 628 nm (item (a)). Logo, A energia do fóton é =,5 = 628,5 = 49nm. E = hc = , 8 49 = 4,7 9 J. (c) A intensidade da figura de difração para é ( ) 2 senβ/2 I = I ; β = 2π β/2 asen. Quando o ângulo é max, sabemos que asen max = =,5 = 3 /2 nm. Logo, I( max ) I() ( sen(π/ ) 2 ( ) 2 ) sen(3π/2) = = = 4 π/ 3π/2 9π =

5 Questão 3 (I) (,5 ponto) Numa experiência de Young, duas fendas separadas de, 5 mm, são iluminadas com luz de comprimento de onda igual a 6 nm. As franjas brilhantes de interferência são observadas em um anteparo a uma distância de 3 m do plano das fendas. Determine o espaçamento entre estas franjas. (II) (, ponto) Deduza a condição de interferência construtiva para um raio X de comprimento de onda incidindo num cristal formando um ângulo com os planos cristalinos espaçados de d, conforme mostra a figura. d 5

6 Solução da questão 3 (I) Observando a figura abaixo vemos que os máximos de interferência (franjas) são obtidos quando dsen = m, m =,±,±2,... L y d d sen Como L >> y, sen tan = y/l e podemos reescrever as condições de máximo como interferência (franjas) são obtidos quando d y L = m, m =,±,±2,... O espaçamento y entre as franjas é igual a y = y m+ y m = L d (m+ m) = y = L d = (6 7 )3,5 3 =,2 3 m (II) A diferença de percurso entre os raios e 2 na figura abaixo é 2dsen. d 2 A condição para haver interferência construtiva é 2dsen = m, m =,2,3,... (Lei de Bragg) 6

7 Questão 4 Duas esferas aquecidas, ambas se comportando como corpos negros, irradiam a mesma potência. A mais fria delas tem uma temperatura de superfície T f e seu raio é a vezes maior do que a mais quente. (a) (, ponto) Qual é a temperatura T q da esfera mais quente em termos de T f e a? (b) (,5 ponto) Considere os comprimentos de onda correspondentes aos picos de intensidade. Calcule a razão entre o comprimento de onda de pico emitido pela esfera mais quente e o comprimento de onda de pico emitido pela esfera mais fria. Solução da questão 4 (a) De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann a energia total emitida por unidade de área, por unidade de tempo é I = σt 4. Como as esferas irradiam a mesma potência, teremos σ(4πrq)t 2 q 4 = σ(4πrf)t 2 f 4 = σ(4π(ar q ) 2 )Tf 4 T q = at f. (b) De acordo com a lei de Wien, o comprimento de onda correspondente ao pico de intensidade é tal que T = constante. Portanto, q T q = f T f q f = T f T q = a. 7

8 Formulário Interferência com duas fendas: dsen = m m =,±,±2,... dsen = (m+/2) m =,±,±2,... I = I cos 2 (φ/2), φ = 2πdsen/ Difração: asen = m, m = ±,±2,±3... [ ] 2 sen(β/2) I = I, β = 2πasen/ β/2 Corpo Negro Intensidade total I = σt 4, m T = constante Efeito fotoelétrico: E f = hf = hc/, E max cin = hf φ 8