Desenvolvimento de uma Formulação Hamiltoniana para o Transporte Anômalo de Partículas em Plasmas Confinados

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1 Projeto de Pesquisa Desenvolvimento de uma Formulação Hamiltoniana para o Transporte Anômalo de Partículas em Plasmas Confinados Candidato: Thiago de Freitas Viscondi Supervisor: Iberê Luiz Caldas Universidade de São Paulo São Paulo, 17 de Outubro de 2012

2 Resumo O transporte anômalo de partículas representa uma grande limitação ao confinamento magnético de plasmas em dispositivos toroidais, como tokamaks e stellarators. Pesquisas recentes indicam que este fenômeno corresponde a uma manifestação direta da turbulência eletrostática na borda do plasma 1 4. Nesta região do sistema, o comportamento dinâmico das ondas turbulentas de baixa frequência pode ser descrito pela equação generalizada de Charney-Hasegawa- Mima 5 7. Considerando uma aproximação de quatro modos, podemos utilizar este resultado na descrição de uma interação não-linear entre uma pertubação na velocidade do plasma e três ondas de deriva 8;9. No presente projeto, propomos o estudo dos mecanismos dinâmicos subjacentes ao transporte anômalo na borda do plasma. Com esta finalidade, pretendemos elaborar uma formulação Hamiltoniana para o modelo de quatro ondas interagentes 10. Desta maneira, objetivamos examinar diversos conceitos relevantes no transporte de partículas, como o caos e a aderência de trajetórias no espaço de fase. A compreensão destas propriedades dinâmicas possui influência direta no controle de instabilidades em plasmas confinados 11;12. Por esta razão, visamos também a comparação de nossas previsões teóricas com resultados experimentais. 2

3 1 Introdução e Exposição do Problema O confinamento de plasmas possui variadas aplicações de elevado interesse científico e tecnológico, dentre as quais podemos destacar a geração de energia por fusão termonuclear 13. No entanto, o controle adequado dos plasmas confinados permanece como um problema aberto na física teórica e experimental 14. Em meio às diversas complicações técnicas emergentes do aprisionamento magnético de plasmas por dispositivos toroidais, o presente projeto está especificamente direcionado ao fenômeno conhecido como transporte radial anômalo 15. A teoria padrão de plasmas confinados estabelece modelos para o transporte difusivo de partículas em diferentes geometrias magnéticas 16. A elaboração destes resultados está fundamentada na hipótese de um estado estacionário para o plasma, o qual está sujeito a flutuações de pequena amplitude. Como consequência destas suposições, a descrição difusiva do transporte não possui a capacidade de explicar completamente os valores experimentais, os quais superam significantemente as previsões usuais para modelos estacionários. Esta discrepância entre a expectativa teórica e a abordagem experimental recebe a denominação de transporte não-difusivo ou anômalo. A componente radial do transporte anômalo resulta na excessiva perda de partículas pelo dispositivo de confinamento. Além disto, a intensa colisão do plasma com as paredes do aparato pode comprometer consideravelmente a integridade do experimento. Portanto, a compreensão dos mecanismos responsáveis pelo transporte não-difusivo possui evidente motivação no desenvolvimento de aplicações para plasmas confinados. De acordo com trabalhos recentes 1 4, podemos entender o transporte anômalo como uma consequência da turbulência eletrostática na borda do plasma. Nesta região do sistema, as ondas turbulentas de baixa frequência são designadas por ondas de deriva. Uma possível descrição para o comportamento dinâmico destas ondas eletrostáticas decorre diretamente da equação generalizada de Charney-Hasegawa-Mima 5 7 : ( ) ( ) e t + V φ 0 + V d T e t + V 0 + ṼE ρ 2 s 2 eφ = 0. (1) T e A quantidade φ = φ+ φ representa o potencial eletrostático total, o qual podemos decompor em uma parte média φ e sua correspondente flutuação φ. Considerando um campo magnético de equilíbrio B = Bẑ, a velocidade do plasma V 0 = cẑ φ/b está associada com a parte média da deriva E B, ao passo que a quantidade V E = cẑ φ/b simboliza a definição análoga para a parte flutuante do potencial. O vetor V d = c 2 s/(ω i L n )ŷ corresponde à deriva diamagnética, na 3

4 qual introduzimos os parâmetros Ω i = eb/(m i c) (frequência iônica de ciclotron), L n (escala de comprimento para a densidade de equilíbrio) e c s = (T e /m i ) 1/2. Na identidade (1), apresentamos também a constante ρ s = c s /Ω i e temperatura eletrônica T e. Com o intuito de analisar os processos dinâmicos subjacentes à produção de instabilidades na borda do plasma, podemos realizar uma aproximação de quatro modos sobre a equação (1). Neste caso, assumimos que a velocidade do plasma V 0 possui a forma de uma onda monocromática com amplitude B(t) e vetor de onda q = (q, 0, 0). Adicionalmente, supomos que V 0 está acoplado com somente três modos do potencial φ. Então, inserindo as hipóteses anteriores na expressão (1), obtemos as seguintes equações de movimento 8;9 : da 0 dt = Ω 0 [1 + (k 2 + q 2 )ˆρ 2 ] (1 + k 2 0 ˆρ 2 ) da + dt + iδ [1 + (k0 2 q 2 )ˆρ 2 ] +a + = Ω 0 A (1 + k+ 2 ˆρ 2 0 B, ) da dt + iδ [1 + (k0 2 q 2 )ˆρ 2 ] a = Ω 0 A (1 + k 1 2 ˆρ 2 0 B, ) a + B [1 + (k 2 q 2 )ˆρ 2 ] + Ω 0 a (1 + k0 2 ˆρ 2 B, ) (2a) (2b) (2c) db dt = Ω (k+ 2 k0) 2 0 a q 2 + A k 2 k0 2 0 Ω 0 a q A 2 0. (2d) A amplitude A 0 (t) corresponde a uma onda de deriva primária, cujo vetor de onda e frequência possuem os valores respectivos k 0 = (k x, k y, 0) e ω 0 = αk y /(1 + k 2 0 ˆρ 2 ). Analogamente, as ondas de deriva secundárias estão identificadas pelas amplitudes a ± (t), vetores de onda k ± = (k x ± q, k y, 0) e frequências ω ± = αk y /(1 + k 2 ± ˆρ 2 ). Note que as relações de dispersão estão definidas em termos das constantes ˆρ = ρ s /a e α = a/l n, nas quais a simboliza o tamanho típico do sistema. Além disto, na representação das identidades (2), introduzimos os parâmetros auxiliares Ω 0 = qk y e δ ± = ω ± ω 0. As equações (2) descrevem a interação não-linear entre as ondas de deriva como consequência do acoplamento destes modos com uma perturbação sobre a velocidade do plasma. Considerando que, no instante de tempo inicial, a onda primária possui amplitude dominante ( A 0 a ±, B ), esperamos encontrar dois comportamentos distintos para a dinâmica do sistema: Situação estável: os valores de a ± permanecem pequenos durante a evolução temporal. Situação instável: as amplitudes a ± adquirem valores absolutos da mesma ordem de A 0. 4

5 No caso instável, as interações entre a onda primária e a flutuação na velocidade do plasma produzem um significativo crescimento nas amplitudes dos modos de deriva secundários. Ou seja, para determinados valores de parâmetros, a borda do plasma pode exibir uma amplificação na magnitude das perturbações oscilantes. Este mecanismo representa uma possível explicação para os fenômenos de turbulência e transporte anômalo em plasmas magneticamente confinados. Sistemas dinâmicos semelhantes às equações (2) receberam a atenção de diversos trabalhos nas últimas décadas, considerando abordagens com três 17;18 e quatro ondas interagentes. Entretanto, estas investigações possuem motivação física bastante distinta da expressão (1). Apesar de suas diferenças fundamentais, grande parte dos modelos de interação entre ondas demonstra uma importante característica matemática em comum, a qual designamos simplesmente por formulação Hamiltoniana 24;25. Os sistemas dinâmicos descritos por equações de Hamilton apresentam um amplo conjunto de propriedades particulares, como a incompressibilidade do fluxo sobre o espaço de fase e a invariância da integral de Poincaré-Cartan 26. Portanto, com a introdução do formalismo Hamiltoniano, obtemos a capacidade de antecipar a ocorrência de vários atributos inerentes às soluções das equações de movimento. No entanto, a função Hamiltoniana correspondente às identidades (2) não é conhecida. Além disto, não existem motivos para afirmarmos que as amplitudes A 0, B e a ± representam variáveis canônicas em uma formulação Hamiltoniana. possui o seguinte formato 10 : k=1 De maneira geral, um sistema Hamiltoniano dz j 2d dt = J jk (z) H(z), (3) z k no qual H(z) simboliza a função Hamiltoniana e o vetor real z = (z 1, z 2,..., z 2d ) representa as variáveis dinâmicas do modelo. A matriz J(z) está associada com as propriedades geométricas do espaço de fase. No caso de variáveis canônicas, podemos escrever J(z) na forma usual da mecânica clássica 26 : J c = ( 0d 1 d 1 d Na equação anterior, as quantidades 0 d e 1 d correspondem respectivamente às matrizes nula e identidade de ordem d. Contudo, devemos enfatizar que a expressão (4) constitui apenas um caso particular da equação (3), uma vez que J(z) pode depender explicitamente das variáveis dinâmicas. A busca por uma formulação Hamiltoniana para um sistema de equações diferenciais ordinárias estabelece um problema Hamiltoniano inverso 10;27. Entretanto, a determinação das 0 d ) (4) 5

6 funções H(z) e J(z) não representa uma tarefa simples, pois não existem métodos completamente gerais para a identificação destas grandezas. Com o propósito de analisar o transporte de partículas em plasmas confinados, pretendemos conceder ao sistema de equações (2) todas as vantagens de uma estrutura Hamiltoniana. Deste modo, estabeleceremos uma perspectiva privilegiada ao tratamento dinâmico do modelo, em consequência do acesso imediato aos numerosos métodos e conceitos da mecânica clássica. 2 Objetivos e Resultados Esperados Como evidenciado na seção anterior, o objetivo principal deste projeto consiste em compreender os mecanismos subjacentes ao transporte anômalo de partículas em plasmas magneticamente confinados. Para esta finalidade, utilizaremos a descrição proposta pelo sistema dinâmico (2), no qual as flutuações na borda do plasma são modeladas por uma interação não-linear entre quatro ondas. Em uma primeira etapa do projeto, determinaremos a formulação Hamiltoniana correspondente às equações (2). A resolução deste problema Hamiltoniano inverso possibilita uma investigação aprofundada das propriedades dinâmicas do modelo. Especificamente, pretendemos abordar os seguintes tópicos: Adicionalmente à Hamiltoniana H, objetivamos a determinação de possíveis constantes de movimento suplementares para o sistema de equações (2). A obtenção destas quantidades permite a compreensão de aspectos fundamentais do modelo, como a existência de simetrias dinâmicas e a formação de barreiras para o fluxo Hamiltoniano sobre o espaço de fase. As identidades (2) constituem um sistema de equações diferenciais não-lineares em um espaço com oito dimensões reais. Consequentemente, esperamos que o modelo de ondas interagentes apresente uma estrutura Hamiltoniana com quatro graus de liberdade. Assumindo que o número de constantes de movimento em involução seja inferior ao valor previsto para os graus de liberdade, a presença de trajetórias caóticas na descrição da dinâmica ondulatória torna-se uma evidente perspectiva. Como indicado por recentes trabalhos teóricos e experimentais 11;12, a emergência de caos representa um elemento importante para a investigação do transporte de partículas na borda do plasma. A ocorrência de caos Hamiltoniano pode resultar em diversas características interessantes 6

7 para o modelo, como a aderência de trajetórias (stickiness) 28. Por definição, o fenômeno de aderência corresponde ao confinamento temporário de órbitas caóticas em uma região específica do espaço de fase. Estes eventos podem exibir variadas escalas de tempo, as quais determinam períodos de expressiva alteração no comportamento dinâmico do sistema. Na parte final do projeto, aplicaremos o modelo de quatro ondas interagentes na análise de experimentos sobre o transporte de partículas em plasmas magneticamente confinados. Com este intuito, utilizaremos os resultados experimentais obtidos no Texas Helimak, da Universidade do Texas, e no tokamak TCABR, da Universidade de São Paulo. 3 Cronograma Nos primeiros seis meses do projeto, pretendemos concluir a resolução do problema Hamiltoniano inverso referente às identidades (2). Como discutido anteriormente, a formulação Hamiltoniana do modelo pode apresentar equações de movimento em formato generalizado, o qual indicamos pela expressão (3). Por esta razão, a etapa inicial do projeto será acompanhada por um estudo detalhado sobre as aplicações da teoria dos grupos e álgebras de Lie à mecânica clássica 10. Após a elaboração da estrutura Hamiltoniana, começaremos a investigar as propriedades dinâmicas no modelo. Em um período previsto de um ano, abordaremos os fatores relevantes ao transporte de partículas na borda do plasma, como o caos e a aderência de trajetórias. Com a construção de seções de Poincaré, analisaremos a difusão de trajetórias pelo espaço de fase. Em seguida, com o intuito de compreender as potenciais restrições ao fluxo Hamiltoniano, realizaremos uma busca por constantes de movimento. Além disto, de maneira a identificar os valores críticos de transição entre diferentes regimes dinâmicos, examinaremos estabilidade local dos possíveis pontos de equilíbrio em função dos diversos parâmetros do sistema. A fase final do projeto consiste na comparação direta entre as previsões teóricas e resultados experimentais. Neste caso, consideraremos os experimentos realizados e em andamento no Texas Helimak 12, da Universidade do Texas, e no tokamak TCABR 11, da Universidade de São Paulo. Deste modo, objetivamos relacionar explicitamente as soluções do modelo (2) com os fenômenos de turbulência e transporte anômalo em plasmas magneticamente confinados. 7

8 4 Metodologia e Análise dos Resultados Conforme observado nas seções anteriores, não existem métodos gerais para a resolução de problemas Hamiltonianos inversos. No entanto, a teoria de grupos e álgebras de Lie fornece procedimentos parciais para a determinação de estruturas Hamiltonianas. O sistema de equações (2) possui apenas termos com dependência linear ou quadrática nas variáveis dinâmicas. Portanto, o modelo de interação entre quatro ondas apresenta um número relativamente reduzido de possibilidades para a sua identificação com o formato (3). Para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniano, contaremos com a colaboração do professor Philip J. Morrison (Institute for Fusion Studies, University of Texas at Austin). Esta parceria proporciona ao bolsista uma oportunidade de estágio na Universidade do Texas. Na segunda etapa do projeto, posterior à obtenção analítica de uma formulação Hamiltoniana, calcularemos numericamente as soluções do sistema (2). Então, com utilização de seções de Poincaré e outros métodos usuais da mecânica clássica, analisaremos o comportamento dinâmico do modelo. Por fim, pretendemos comparar os resultados teóricos com dados experimentais, mediante um ajuste adequado de parâmetros. Referências [1] W. Horton. Rev. Mod. Phys., 71: , [2] X. Garbet. Plasma Phys. Control. Fusion, 43:A251 A266, [3] C. Hidalgo. Astrophys. Space Sci., 292: , [4] A. H. Boozer. Rev. Mod. Phys., 76: , [5] J. G. Charney. J. Atmos. Sci, 28: , [6] A. Hasegawa and K. Mima. Phys. Fluids, 21:87 92, [7] A. I. Smolyakov, P. H. Diamond, and V. I. Shevchenko. Phys. Plasmas, 7: , [8] C. N. Lashmore-Davies, D. R. McCarthy, and Thyagaraja. Phys. Plasmas, 8: , [9] C. N. Lashmore-Davies, A. Thyagajara, and D. R. McCarthy. Phys. Plasmas, 12:122304,

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