Campo Eletromagnético Cap. 5 e 6

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Fátima Laranjeira
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1 Campo Eletromagnético Cap. 5 e 6 Equações de Maxwell Formulação dos potenciais e invariância de calibre Decomposição dos campos vetoriais Força de Lorentz e momento canônico Densidade e fluxo de energia eletromagnética Tensor de Maxwell Transformações e simetrias do campo eletromagnético Campos harmônicos Representação de Fourier e funções de Green Potenciais e campos retardados Equações de Maxwell microscópicas

2 Equações de Maxwell Formulação dos potenciais

3 Interrelação dos potenciais elétrico e magnético

4 Equações satisfeitas pelos potenciais Transformações e invariâncias de calibre

5 Transformação, invariância, simetria e teoria de calibre Invariância de calibre é uma manifestação da não-observabilidade dos potenciais elétricos e magnéticos. É uma questão de escolha a utilização dos campos observáveis ou dos potenciais não observáveis. Altera fase da função de onda

6 Conexão de Berry parallel transport

7 Calibre de Lorentz se satisfeita não altera o calibre de Lorentz

8 Calibre de Coulomb

9 Exercício 23 Definindo as densidades de corrente longitudinal e transversal: (a) Mostre que: (b) Mostre que Jt extende-se sobre todo o espaço mesmo quando J é localizada.

10 Teorema da decomposição de Helmholtz O teorema de Helmholtz afirma que se o divergente e o rotacional de um campo vetorial F são conhecidos em todo o espaço, então esse campo vetorial existe e é único, contanto que tanto o campo quanto seu divergente e rotacional caiam a zero suficientemente rápido no infinito. onde Ou seja,

11 Admitindo: Usando as relações: Sugestão:

12 Resulta que mediante o Teorema de Divergência leva a: onde n = - n é o vetor externo a superfície S. Portanto, se obtém:

13 Força de Lorentz e o movimento relativo Carga Q com velocidade v << c num referencial S estacionário: Um observador movendo-se com velocidade v << c descreveria:

14 Caso do meio não-estacionário Campo elétrico convectivo Obs.: k = 1 no SI e k = c-1 no CGS

15 Força de Lorentz em termos dos potenciais Potencial generalizado e derivada convectiva

16 Momentum canônico ou momentum generalizado de uma partícula carregada movendo-se num campo eletromagnético Momentum da partícula Momentum do campo Tal que, Há similar com os casos da eletrostática e da magnetostática quando E e B se comportam como campos conservativos.

17 Comentário: O atrito pode ser tratado sem violar a conservação de energia, considerando o movimento de moléculas individuais. No entanto, isso significa que o movimento de cada molécula deve ser considerado, em invés de proceder a análise através de métodos estatísticos. Portanto, em sistemas macroscópicos a aproximação não conservativa é muito mais fácil de lidar do que zilhões de graus de liberdade. O resultado do slide anterior permite-nos dizer o mesmo da interação eletromagnética, que sabermos rege o atrito. Considerando o movimento das fontes (elétricas e magnéticas) elementares e os fótons (virtuais e reais), a interação eletromagnética pode ser tratada sem violar a conservação de energia. No entanto, a manipulação matemática dos zilhões de graus de liberdade envolvidos é inviável.

18 Densidade e fluxo de energia no campo eletromagnético Taxa de trabalho realizada pelos campos e equação da continuidade

19 Teorema de Poynting (conservação da energia) tal que

20 Conservação do momento Densidade de momento eletromagnético

21 Tensor de tensão eletromagnética de Maxwell Obs.: eliminando as fontes com as Eqs. de Maxwell se obtém:

22 Tensor de Maxwell Ex. : componente tensorial elétrica

24 Pseudo-escalar Pseudoescalar é uma quantidade que se comporta como um escalar, exceto que muda de sinal sob uma inversão de paridade (tal como rotações impróprias), enquanto um verdadeiro escalar não. Ex.: a b c Um pseudoescalar, quando multiplicado por um vetor comum, torna-se um pseudovetor.

26 Campos harmônicos tal que mas como

27 Resulta com ao invés de Obs.: a parte real fornece a conservação da energia das quantidades médias no tempo e a parte imaginária a energia reativa ou armanada no fluxo oscilante.

28 Equações de onda e representações de Fourier Equação de Helmholtz não-homogênea =

29 Função de Green R x x O

30 Fç. de Green retardada num meio não dispersivo

31 Solução geral da equação homogênea Solução geral da equação não-homogênea Obs.: soluções retardadas respeitam o Princípio da Causalidade, ao passo que as soluções avançadas são ditas não-causais (filosoficamente, respeitam o Princípio da Finalidade). Ambas são matematicamente úteis, pois: nem as eqs; de Maxwell e nem as suas soluções indicam a existência de uma relação causal entre os campos E e B. Portanto, o campo eletromagnético é uma quantidade física dual sempre com componentes E e B simultaneamente criadas pelas fontes.

32 Potenciais retardados para fontes puntiformes Determinação dos campos

33 Campos retardados

34 Equações de Jefimenko

35 Comentários As Eqs. dejefimenko são soluções gerais das Eqs. de Maxwell para o caso de distribuições arbitrárias de cargas elétricas em movimento e de correntes elétricas levando em conta o tempo de retardo dos campos devido a velocidade da luz. Além de fornecer os campos E e B percebidos devido as perturbações causadas pelas fontes no passado, elas permitem dizer que o campo eletromagnético é dual, tendo sempre contribuições de E e de B simultâneas criadas por suas fontes. Note-se também que as Eqs. de Maxwell inter-relacionam as variações espaciais e as temporais dos campos E e B na forma de uma onda eletromagnética se propagando, enquanto as Eqs. de Jefimenko não representam qualquer uma relação causal entre E e B que existem simultaneamente no tempo. Os potenciais de Liénard-Wiechert descrevem o efeito eletromagnético clássico de uma carga pontual elétrica em movimento em termos do potencial vetor e do potencial escalar no calibre de Lorentz. Esses potenciais descrevem o campo eletromagnético, Inclusive relativisticamente correto, para uma carga pontual em movimento arbitrário.

36 Campos de uma distribuição localizada

37 Campos de uma carga puntiforme

38 Exercício 24 Deduza as expressões dos campos retardados (a) E e (b) B do slide anterior.

39 Equações de Maxwell microscópicas

40 Visão microscópica Meio macroscópico: Dimensão atômica: núcleos e elétrons flutuações orbitais eletrônicas flutuações nucleares Médias espaciais e comprimento de correlação temporal

41 Funções isotrópicas de teste

42 Médias nas operações de derivação Microscópico versus Macroscópico

43 Equações não-homogêneas das fontes Densidade de carga microscópica

44 Médias...

45 Momentos multipolares moleculares

46 Densidades de carga microscópicas Polarização elétrica macroscópica

47 Deslocamento elétrico: um campo macroscópico Momento magnético molecular e magnetização

48 Densidade de corrente microscópica Densidade de corrente macroscópica

49 Campo de indução magnética Propriedades magnéticas do meio contribuição convectiva

50 Exercício 25 (a) Obter as equações de Maxwell com as modificações pertinentes para ter validade no caso de um meio material em movimento com velocidade u << c relativa constante. Interpretar os termos das derivadas convectivas: Sugestão: Panofski & Philips, Classical electricity and magnetism (2nd Ed.). Cap. 9

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