BARREIRA DE TRANSPORTE CRIADA POR ILHAS DIMERIZADAS

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1 BARREIRA DE TRANSPORTE CRIADA POR ILHAS DIMERIZADAS Luís Ricardo de Azevedo Frota* IC, Marisa Roberto PQ Departamento de Física, ITA, CTA, , São osé dos Campos, SP, Brasil Resumo Foi investigada a estrutura das bacias de escape de linhas de campo magnético em tokamaks com perturbações não lineares. Isso foi feito através do uso de mapas de Poincaré. Os mapas são usados para estudar a dimerização e bifurcação de ilhas magnéticas e a formação de barreiras de transporte com camadas caóticas de linhas de campo. Buscou-se determinar os padrões de escape em função dos parâmetros do tokamak. Abstract It was investigated the structure of the exit basins of magnetic field lines in a tokamak with non-linear perturbations by using Poincaré maps. These maps are used to study dimerization and bifurcation of magnetic island and the formation of a transport barrier in the chaotic layer of field line. We determine the escape pattern as a function of tokamak s parameters.. INTRODUÇÃO Em um tokamak, partículas de plasma são confinadas em uma câmara toroidal através da combinação de dois tipos de campos magnéticos básicos na direção das maiores e menores direções de curvatura do toróide. Na superposição destes campos básicos há a produção de linhas de campo magnético com forma helicoidal, criando gradientes de pressão que mantém as partículas presas []. Inserindo-se algum tipo de perturbação, cadeias de ilhas também podem ser formadas visando uma melhor retenção dessas partículas [2]. A utilização de perfis de fator de segurança não monotônicos podem levar à criação de cadeias duplas de ilhas de mesmo modo ressonante [3]. Uma maneira de retardar o escape das linhas de campo magnético, e portanto das partículas, é criar barreiras de transporte através do uso de perturbações não lineares nos modos em que aparecem duplas de ilhas de mesmo modo. A busca das regiões preferenciais de escape de tais linhas acaba se tornando também importante. Isso porque, com tais dados, pode-se compensar tal tendência de fuga com a geração de gradiente de pressão que visam impedir esse escape. 2. PERFIS DE EQUILÍBRIO Estamos trabalhando com o plasma em equilíbrio magnetohidrodinâmico (MHD) confinado em tokamaks [4]. Na solução da equação de Grad-Shafranov para o campo de equilíbrio, foi utilizado um sistema de coordenadas toroidais não ortogonais (r t,θ t, ϕ t ) [5]. Neste sistema de coordenadas, a intersecção das superfícies de fluxo ψ(r t ) = constante com o plano toroidal não são círculos concêntricos, mas apresentam um deslocamento em direção à região equatorial externa. Para obtenção da solução, nós escolhemos dois perfis de densidade de corrente toroidal: um que conduz a um perfil de fator de segurança monotônico (figura ) e outro não monotônico (figura ) [3]. Perfis não monotônicos têm sido usados em descargas produzidas a partir de métodos não indutivos, como a injeção de partículas neutras. Os resultados são duas superfícies com mesmo q racional na direção interna, conforme visto na Figura. [2,3] *Bolsista do CNPQ - Brasil

2 q q r t /a r t /a Figura : Vemos que o fator de segurança cresce monotonicamente para o caso e não monotonicamente para o caso, gerando dois valores de q=4/ iguais para diferentes valores de r t /a. 3. PERTURBAÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO NA PRESENÇA DO LIMITADOR MAGNÉTICO ERGÓTICO (LME) O LME [3] consiste em um dispositivo que possui N a anéis de comprimento l posicionados simetricamente ao longo da circunferência toroidal do tokamak. Sua geometria é tal que o passo das hélices coincidam com o passo das linhas de campo helicoidais, conforme mostrado na figura dois, na superfície ressonante que se deseja perturbar. Ele é capaz de induzir pulsos de corrente I h. Tal superfície possui um fator de segurança q=m 0 /n 0 onde m 0 e n 0 são inteiros positivos. No nosso caso, estamos utilizando q=4/, uma vez que para esse valor e para o perfil de apresentado temos duas superfícies racionais. Figura 2: Representação da geometria de um tokamak e do LME. Para cada superfície magnética de equilíbrio nos podemos associar um invariante H, ou hamiltoniana das linhas de campo, que pode ser identificada com varias quantidades físicas que caracterizam as superfícies magnéticas, como o fator de segurança q. A forma explicita da hamiltoniana das linhas de campo depende do sistema de coordenadas utilizado para a descrição do confinamento. No sistema de coordenadas adotado a variável ϕ assume o papel de tempo nas equações dinâmicas, uma vez que ela serve como uma parametrização conveniente para as linhas de campo magnético. As variáveis restantes de ação e ângulo, podem ser pensadas como coordenadas polares numa superfície de seção ϕ=constante. Esta última nada mais é do que uma seção de Poincaré, na linguagem da dinâmica hamiltoniana. Mapas de Poincaré podem ser obtidos fornecendo as coordenadas de ação e ângulo da n-ésima interseção com o plano de seção ( n,ν n ), como função da interseção precedente. Nestas condições, as equações das linhas de campo podem ser reescritas na forma canônica. Além disso, devido à simetria axial, a hamiltoniana de equilíbrio é integrável, portanto dependendo apenas da ação. A hamiltoniana pode ser escrita como: H (, ν, t) = H ( ) + H (, ν, t) (0) 0 O anel limitador magnético representa uma estreita fatia de um enrolamento helicoidal que faz com que sua atuação se dê apenas durante um percurso toroidal bastante curto.

3 A transformada que traduz esse modelo é dada por: + l 2k H (,, t) po( ) H (,, t) t, onde 2 π B R R K T 0 0 = N ν = ψ + ν δ a m 0 µ I R r 0 h 0 t H (,, ) cos( ) (03) ν t = m n 2 0θ t 0ϕt B R T 0 π b t Neste caso, B T é o campo toroidal, ψ po () representa a superfície de fluxo sem perturbação, a qual é solução da equação de Grad-Shafranov, b t está relacionado com o raio da câmara b, dado por: 2 R ( R ) 0 0 b b t = (04) 2 2R R = ( R + a ) ( 0 0 (05) é o raio do eixo magnético e a é o raio do plasma. O mapa de Poincaré correspondente assume a seguinte forma: = + ε f (, ν, t ) n+ n n+ n n 2π ν = ν + εg(, ν, t ) n+ n n+ n n N a 2π tk+ = tk +, onde N a H (, ν, t) f (, ν, t) = ν H (, ν, t) g(, ν, t) = onde ε é o parâmetro de controle da perturbação. l I h ε = 2 I << I h R, 2π I 0 4. BACIAS DE ESCAPE Buscou-se avaliar as regiões preferenciais de escape das linhas de campo [6], dividindo-se o toróide em 3 regiões conforme mostrado na Figura 3. A região codificada como verde corresponde a parte equatorial do toróide. Foi escolhida uma região retangular no mapa que corresponde ao intervalo entre 2,4 e 3,9 na variável de ângulo de 0,04 e 0,05 na variável de ação. A seguir, usou-se como variável de tempo o número de voltas que a linha de campo dá no sentido da direção toroidal tendo como máximo o número de 5000 iterações (voltas). Avaliamos para cada uma das três regiões o número de linhas de campo que escaparam (conforme o código de cores da figura 5 abaixo). (02) (06) (07) (08) (09) (0) () 0 2π/3 4π/3 2π Figura 3: Código de cores para as regiões de escape. No caso das linhas de campo não que escaparem do retângulo assinalado no mapa, usaremos a cor preta como código. 5. ESTUDO DAS BACIAS DE ESCAPE FAZENDO USO DO MAPA

4 Como foi dito, utilizamos os dois perfis de segurança: um monotônico (figura ) e um não monotônico (figura ). Para cada um desses perfis foram excitados dois modos separadamente. Primeiramente excitamos o modo (4,) e, em seguida, excitamos o modo (5,). Por fim, cada um desses modos foi estudado para diferentes valores de I h /I p : 5% ou 0%. Paralelamente traçamos as bacias de escape correspondente. Foi escolhida a região descrita na seção 4. Os resultados gerais com a porcentagem de linhas de escape cada região para os diferentes casos estudados podem ser encontrados na tabela. 5. Mapas com Perfil de Fator de Segurança Monotônico Note que nos mapas aqui apresentados não existem duas cadeias de ilhas com mesmo modo primário. Ou seja, os modos principais surgem à partir do (3,), e vão crescendo em ordem quando nos afastamos do centro do toróide. Figura 4: mapa completo Ih/Ip = 5,00% e bacia correspondente à região demarcada pelo retângulo preto no mapa. O modo perturbado é o (4,) e o perfil usado é o monotônico. Figura 5: mapa completo Ih/Ip = 0,00% e bacia correspondente à região demarcada pelo retângulo preto no mapa. O modo perturbado é o (4,) e o perfil usado é o monotônico. Figura 6: mapa completo Ih/Ip = 5,00% e bacia correspondente à região demarcada pelo retângulo preto no mapa. O modo perturbado é o (5,) e o perfil usado é o monotônico.

5 Figura 7: mapa completo Ih/Ip = 0,00% e bacia correspondente à região demarcada pelo retângulo preto no mapa. O modo perturbado é o (5,) e o perfil usado é o monotônico. 6.2 Mapas Completos com Perfil de Fator de Segurança Não-Monotônico Note que agora, os mapas possuem duas cadeias de ilhas com mesmo modo principal, q= 4/. Isso já era esperado devido à escolha de um perfil não-monotônico do fator de segurança conforme visto na figura 8. Figura 8: mapa completo Ih/Ip = 5,00% e bacia correspondente à região demarcada pelo retângulo preto no mapa. O modo perturbado é o (4,) e o perfil usado é o não-monotônico. Figura 9: mapa completo Ih/Ip = 0,00% e bacia correspondente à região demarcada pelo retângulo preto no mapa. O modo perturbado é o (4,) e o perfil usado é o não-monotônico. Figura 0: mapa completo Ih/Ip = 5,00% e bacia correspondente à região demarcada pelo retângulo preto no mapa. O modo perturbado é o (5,) e o perfil usado é o não-monotônico.

6 Figura : mapa completo Ih/Ip = 0,00% e bacia correspondente à região demarcada pelo retângulo preto no mapa. O modo perturbado é o (5,) e o perfil usado é o não-monotônico. Tabela : porcentagem de linhas de escape em cada região para os diferentes casos estudados Porcentagem de linhas de escape para cada Tipo de perfil modo I região estudado perturbado h /I p preta vermelha Verde azul 5% 0,4% 0,00% 85,75% 4,% (4,) 0% 0,02% 0,00% 88,35%,63% Monotônico 5% 24,43% 4,7% 57,56% 3,85% (5,) 0% 3,66% 5,36% 77,46% 3,53% 5% 0,04% 0,00% 85,89% 4,07% (4,) 0% 0,04% 0,00% 87,97%,99% não-monotônico 5% 22,7% 4,73% 58,72% 3,85% (5,) 0% 5,58% 5,50% 75,33% 3,60% 6. Comentários e Conclusões No modelo físico adotado, as linhas de campo helicoidais jazem sobre superfícies magnéticas no equilíbrio MHD. A solução para tal tipo de equilíbrio é dada pela equação de Grad-Shafranov. O uso de limitadores ergóticos juntamente com o uso de um perfil não monotônico para o fator de segurança alteram esse equilíbrio gerando regiões caóticas que aumentam a estabilidade da coluna de plasma e criam uma barreira que a ajudam a impedir o escape das linhas de campo. Fizemos um estudo do mapa completo e de suas bacias de escape. A seguir, analisarmos mapas e bacias para perfis de fator de segurança monotônico e não-monotônico, modos de perturbação (4,) e (5,) e ainda relações de I h /I p igual a 5% e a 0%. À partir da tabela, observamos que em todos os casos tivemos a região verde como a preferencial de escape. Entretanto, para o modo (5,) os padrões e deposição são mais distribuídos do que para o modo (4,). Isto significa que as linhas de força conduzem partículas ionizadas de maior energia para a parede da câmara, concentrando a deposição de energia nesta região. A ressonância excitada pelo modo (4,) está mais distante da parede do que àquela induzida pelo modo (5,). Comparando as regiões caóticas para os dois casos, com igual corrente no limitador, espera-se que a região caótica criada pelo modo (5,) intercepte mais a parede que a do modo (4,). Notamos ainda que tal tendência é acentuada quando aumentamos a relação I h /I p. Um fator que tende a diminuir essa tendência de escape para a região verde é a perturbação de modos mais altos. No caso, ao perturbamos o modo (5,) tivemos um maior número de linhas confinadas. Isso pode ser explicado pois ao excitarmos modos mais altos, criamos uma barreira de transporte que impede a fuga das linhas de campo. Note que na região assinalada pelo retângulo preto (nas figuras 6 e 0) ainda podem ser vistas cadeias de ilhas não destruídas. Além disso, tivemos mais linhas tendendo para regiões vermelhas que quando excitamos o modo (4,) no qual as linhas tendem quase que exclusivamente pra as regiões verde e azul. Por fim, é importante observamos a extrema semelhança entre os resultados na simulação das bacias para o perfil monotônico e para o não monotônico, para as mesmas relações I h /I p e para o

7 mesmo modo excitado. Apesar da grande diferença entre seus mapas, os resultados quanto às regiões de escape são semelhantes, possuindo inclusive topologia equivalente, isto é, os padrões de escape são ditos fractais. Isso pode ser explicado por este estudo ter sido feito em uma região próxima à borda da câmara. Em tal região as ilhas já estão, em sua maior parte, destruídas e praticamente não sofrem tanta influência do perfil de fator de segurança utilizado. O fator dominante para a concentração no padrão de deposição parece ser o modo excitado para perturbação ressonante. Modos mais internos como o modo (4,), favorecem a concentração do padrão de deposição, portanto, concentrando a deposição de energia sobre a parede de confinamento. Referencias Bibliográficas [] Plasma Physics and Controlled Fusion, Francis F. Chen. Plenum Press New York [2] P.. Morrison. Reviews of Modern Physics, 70, 2, , 998 [3] M. Roberto, E. C. Silva, I. C. Caldas e R. L. Viana. Phys. of Plasmas,,, [4] Ideal Magnetohydrodynamics, effrey P. Freidberg. Plenum Press New York. 987 Cap 4. [5] M.Y.Kucinski, I.L. Caldas, L.H.A Monteiro, V. Okano.. Plasma Phys. 44, [6] E.C. Silva, I. L. Caldas e R. L. Viana. Phy. of Plasmas, 8, 6,