CAOS NA DINÂMICA HAMILTONIANA DAS LINHAS DE CAMPO EM TOKAMAKS

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1 CAOS NA DNÂMCA HAMLTONANA DAS LNHAS DE CAMPO EM TOKAMAKS Luís Ricardo de Azevedo Frota* C, Marisa Roberto PQ Departamento de Física, TA, CTA, 8-9, São osé dos Campos, SP, Brasil Resumo Foi investigada a estrutura das linhas de campo magnético em tokamaks com perturbações não lineares. sso foi feito através do uso de mapas de Poincaré. Os mapas são usados para estudar a dimerização e bifurcação de ilhas magnéticas e a formação de barreiras transporte com camadas caóticas de linhas de campo. Os mapas utilizados para o estudo das bacias de escape são simplificados, levando em conta apenas os dois primeiros termos da série de Fourier que define a Hamiltoniana do sistema. Abstract t was investigated the structure of magnetic field lines in a tokamak with non-linear perturbations by using Poincaré maps. These maps are used to study magnetic island dimerization and bifurcation and the formation of a transport barrier in the chaotic layer of field lines. We also considered simplified maps to investigate the exit basins. n this case the firsts Fourier serie terms that define the Hamiltonian system were used.. NTRODUÇÃO Em um tokamak, partículas de plasma são confinadas em uma câmara toroidal através da combinação de dois tipos de campos magnéticos básicos na direção das maiores e menores direções de curvatura do toróide. Na superposição destes campos básicos há a produção de linhas de campo magnético com forma helicoidal, criando gradientes de pressão que mantém as partículas presas []. nserindo-se algum tipo de perturbação, cadeias de ilhas também podem ser formadas visando uma melhor retenção dessas partículas []. A utilização de perfis de fator de segurança não monotônicos podem levar à criação de cadeias duplas de ilhas de mesmo modo ressonante [3]. Uma maneira de retardar o escape das linhas de campo magnético, e portanto das partículas, é criar barreiras de transporte através do uso de perturbações não lineares nos modos em que aparecem duplas de ilhas de mesmo modo. A busca das regiões preferenciais de escape de tais linhas acaba se tornando também importante. sso porque, com tais dados, pode-se compensar tal tendência de fuga com a geração de gradiente de pressão que visam impedir esse escape. Os mapas utilizados na análise são simplificados, visto que foram utilizados apenas os primeiros termos da Hamiltoniana que define o sistema.. PERFS DE EQULÍBRO Estamos trabalhando com o plasma em equilíbrio magnetohidrodinâmico (MHD) confinado em tokamaks [4]. Na solução da equação de Grad-Shafranov para o campo de equilíbrio, foi utilizado um sistema de coordenadas toroidais não ortogonais (r t, t [5]. Neste sistema de coordenadas, a intersecção das superfícies de fluxo (r t ) = constante com o plano toroidal não são círculos concêntricos, mas apresentam um deslocamento em direção à região equatorial externa. Para obtenção da solução, nós escolhemos um perfil de densidade de corrente toroidal, que conduz a um perfil de fator de segurança não monotônico [3]. Perfis deste tipo têm sido usados em descargas produzidas a partir de métodos não indutivos, como a injeção de partículas neutras. O resultado são duas superfícies com mesmo q racional na direção interna, conforme visto na Figura. *Bolsista do CNPQ - Brasil

2 q r t /a Figura : Vemos que o fator de segurança não cresce monotonicamente, gerando dois valores de q=3/ iguais para diferentes valores de r t /a. 3. PERTURBAÇÃO DO CAMPO MAGNÉTCO NA PRESENÇA DO LMTADOR MAGNÉTCO ERGÓTCO (LME) O LME [3] consiste em um dispositivo que possui N a anéis de comprimento l posicionados simetricamente ao longo da circunferência toroidal do tokamak. Sua geometria é tal que o passo das hélices coincidam com o passo das linhas de campo helicoidais na superfície ressonante que se deseja perturbar. Ele é capaz de induzir pulsos de corrente h. Tal superfície possui um fator de segurança q=m /n onde m e n são inteiros positivos. No nosso caso, estamos utilizando q=3/, uma vez que para esse valor e para o perfil de apresentado temos duas superfícies racionais (figura ). Figura : Representação da geometria de um tokamak e do LME. Para cada superfície magnética de equilíbrio nos podemos associar um invariante H, ou hamiltoniana das linhas de campo, que pode ser identificada com varias quantidades físicas que caracterizam as superfícies magnéticas, como o fator de segurança q. A forma explicita da hamiltoniana das linhas de campo depende do sistema de coordenadas utilizado para o descrição do confinamento. No sistema de coordenadas adotado a variável assume o papel de tempo nas equações dinâmicas, uma vez que ela serve como uma parametrização conveniente para as linhas de campo magnético. As variáveis restantes de ação e ângulo, podem ser pensadas como coordenadas polares numa superfície de seção =constante. Esta última nada mais é do que uma seção de Poincaré, na linguagem da dinâmica hamiltoniana. Mapas de Poincaré podem ser obtidos fornecendo as coordenadas de ação e ângulo da n-ésima interseção com o plano de seção ( n, n), como função da interseção precedente. Nestas condições, as equações das linhas de campo podem ser reescritas na forma canônica. Além disso, devido à simetria axial, a hamiltoniana de equilíbrio é integrável, portanto dependendo apenas da ação. A hamiltoniana pode ser escrita como: H (, H ( ) H (, () para H H, temos: k H (, ( ) H (, t, onde po B R R N () T a

3 R r h t H (, cos( m n t B R b T t m t ) (3) Neste caso, B T é o campo toroidal, po() representa a superfície de fluxo sem perturbação, a qual é solução da equação de Grad-Shafranov, R é o raio maior do toróide e b t e o raio menor do toróide. O mapa de Poincaré correspondente assume a seguinte forma: f (,, t ) n n n n n (4) g(,, t ) n n n n n N (5) a tk t, onde k (6) N a H (, f (, (7) H (, g(, onde é o parâmetro de controle da perturbação. l R h, h (8) (9) 3. Reconexão e Bifurcação Devido à existência de h, as configurações das linhas de campo são bastante alteradas com o aumento da amplitude de certos harmônicos da série de Fourier. As cadeias de ilhas primárias são as primeiras a serem visíveis, mas logo as intermediárias começam a crescer e serem visíveis. À medida que as cadeias intermediárias crescem, começa a ocorrer o acoplamento das linhas intermediárias entre si. Ao redor as cadeias de ilhas primárias, já se tornam visíveis às regiões caóticas que envolvem as respectivas separatrizes, conforme é mostrado na figura 3 (a). (c) Figura 3: Seções de Poincaré. Note como as ilhas passam de um estado de isolamento em (a) para um estado de acoplamento em (b) até a formação de uma região caótica em (c) conforme a corrente de perturbação é aumentada. Em a) h/p=,86% em b),5% e em c),39%. Aumentando-se mais h, a espessura da camada caótica aumenta, assim como a largura das respectivas ilhas, que e a máxima distância entre pontos da separatriz de uma mesma cadeia. Na proporção em que nos aproximamos do ponto onde q(r) é mínimo, as cadeias de ilhas aproximam-se, e finalmente coalescem em uma única cadeia, num processo de reconexão das linhas de campo (ver figura 3(b)). sto é possível, uma vez que as cadeias de ilhas vizinhas tem uma alternância peculiar

4 entre os pontos elípticos e hiperbólicos: o ponto elíptico de uma cadeia tem a mesma posição angular do ponto hiperbólico da outra cadeia, e vice-versa [3]. O aumento da perturbação ( h ) inicia um processo que irá culminar com a destruição da região de linhas de força estáveis. Essa destruição se dará através de uma seqüência de bifurcações dos pontos fixos elípticos das ilhas que formam a cadeia de ilhas primárias, isto é, o ponto hiperbólico da cadeia superior se une ao ponto elíptico da cadeia inferior [3]. 4. MAPA SMPLFCADO A hamiltoniana que gera o mapa acima, o gera exibindo cadeias de ilhas primárias de infinitas ordens conforme pode ser visto na figura 3. Um modo de simplificarmos o estudo do equilíbrio das linhas de campo de um tokamak perturbado por limitadores ergóticos é fazendo a simplificação dessa hamiltoniana de modo de sejam vistos no mapa apenas as cadeias de ilhas de interesse, isto é, aquelas que se desejam perturbar. Tais mapas são chamados mapas simplificados [6,7]. Tais mapas são interessantes tanto pela simplicidade de obtermos os mapas quanto pela velocidade de cálculo numérico que é bastante superior que no caso dos mapas completo. O que se faz é uma expansão da Hamiltoniana local em série de Fourier de onde são usados apenas os termos até a ordem que desejamos estudar. Depois se faz uma expansão em série de Taylor da expressão restante. Seguindo-se procedimento análogo para obtenção do mapa padrão a partir da hamiltoniana padrão, obtém-se o mapa simplificado m ~ sen( m ) () k k k k k k ( k ) () N a que permite apenas a visualização do modo (3,). E para visualizarmos os modos (3,) e (4,) consideramos a hamiltoniana com mais um termo, fornecendo o mapa: m ~ sen( m ) ( m ) ~ sen[( m ) v n t ) () t k k k k k k k k ( k ) N a (3) k tk (4) N a A Figura 4 mostra o mapa simplificado para h/p=6.3%, mostrando os modos (3,) e (4,). Neste caso foi perturbado o modo (3,). O retângulo mostrado na figura corresponde à região de escape que se deseja estudar, conforme explicado na seção 5. Figura 4: Mapa Simplificado para h/p = 6.3%

5 5. Bacias de escape Buscou-se avaliar as regiões preferenciais de escape das linhas de campo [8], dividindo-se o toróide em 3 regiões conforme mostrado na Figura 5. A região codificada como verde corresponde a parte equatorial do toróide. Os seguintes critérios foram utilizados para tal estudo: foram usados mapas simplificados com duas cadeias principais de ilhas (modos (3,) e (4,)); foi escolhida uma região retangular no mapa que corresponde ao intervalo entre,5 e,8 na variável de ângulo de,4 e,5 na variável de ação (conforme pode ser vista na figura 4). A seguir, usou-se como variável de tempo o número de voltas que a linha de campo dá no sentido da direção toroidal tendo como máximo o número de 5 iterações (voltas). Avaliamos para cada uma das três regiões o número de linhas de campo que escaparam (conforme o código de cores da figura 5 abaixo). /3 4 /3 Figura 5: Código de cores para as regiões de escape. No caso das linhas de campo não que escaparem do retângulo assinalado no mapa, usaremos a cor preta como código. Fizemos duas simulações, em ambas colocamos a borda na altura de,3 da variável de ação. Primeiramente usamos um h/p = 5.87% cujo resultado foi uma bacia totalmente preta devido à baixa corrente. No caso de h/p = 6.3% obtivemos a bacia de escape mostrada na Figura 6 (a) Figura 6 (a) Bacia de escape para esse caso h/p = 6.3%, altura da borda em.3. (b) Bacia de escape para borda em.6 e h/p = 6.3%. Na figura 6 (a) podemos perceber que o uso da borda imaginária nos permitiu visualizar as regiões para onde as linhas de campo escapavam. Os resultados em termos percentuais foram preto = 5,78%, azul = 3.48%, verde = 3.% e vermelho = 3.55%. Neste caso não conseguimos distinguir regiões preferenciais de escape, as linhas de campo espalham-se pelas 3 regiões. Mais dois casos foram analisados em busca de um maior entendimento do problema. Mantivemos h/p = 6.3%. Resolvemos, porém, mudar a posição da borda imaginária. Primeiro a colocamos em uma região acima à cadeia de ilhas de ordem quatro (.9). Os resultados ficaram dentro do esperado. Não houve escape das linhas de campo. sso por

6 que as cadeias de ilhas servem como barreiras para as linhas de campo dificultando tal escape. O último caso a ser estudado foi termos situado a borda imaginária numa linha bastante próxima da região que contém o retângulo (.7), o resultado pode ser visto na figura 6 (b). Neste caso tivemos o escape para as regiões: preto =.89%, azul = 8.87%, verde = 8,3% e vermelho = 5.%, já que as linhas de campo não encontraram nenhuma ilha ou barreira intacta nesta amplitude de corrente de perturbação. As figuras 6(a) e 6(b) mostram que existem duas bacias de escape que se relacionam de forma bastante complexa. Tais bacias de saída são chamadas de fractais. Na figura 6 (b) temos escape em regiões distintas, predominantemente na região codificada pelo vermelho. Comentários e Conclusões No modelo físico adotado as linhas de campo helicoidais jazem sobre superfícies magnéticas no equilíbrio MHD. A solução para tal tipo de equilíbrio é dada pela equação de Grad-Shafranov. O uso de limitadores ergóticos juntamente com o uso de um perfil não monotônico para o fator de segurança alteram esse equilíbrio gerando regiões caóticas que ao mesmo tempo aumenta a estabilidade da coluna de plasma e cria uma barreira que a ajuda a impedir o escape das linhas de campo. O estudo do equilíbrio nessas condições se torna mais simples utilizando-se variáveis de ação e ângulo fazendo um estudo da Hamiltoniana do sistema. Vimos também que nesse tipo de equilíbrio, o aumento da perturbação é que inicia um processo que acaba culminando com a destruição da região de linhas de força estáveis. Essa destruição se dará através de uma seqüência de bifurcações dos pontos fixos elípticos das ilhas que formam a cadeia de ilhas primárias, isto é, o ponto hiperbólico da cadeia superior se une ao ponto elíptico da cadeia inferior. Também vimos que o uso de simplificações na Hamiltoniana que define o sistema nos permite criar mapas mais simples onde visualizamos apenas os modos de interesse no estudo. Por fim buscamos analisar as regiões de escape das linhas de campo e vimos que as limitações do modelo nos obrigam a utilizar uma borda imaginária mais próxima à região que está sendo estudada para obtermos resultados úteis. Vimos que mesmo assim para correntes pequenas h/p=5.87% ou mesmo no caso de correntes maiores h/p= 6.3%, mostram que as linhas de campo até 5 interações não escaparam, devido a barreiras formadas nestes casos. Para o caso de bordas imaginárias na altura de.3 e.7 na variável de ação notamos que nos dois casos o escape acontece nas três regiões, apresentando uma estrutura fractal. 6. Referencias Bibliográficas [] Plasma Physics and Controlled Fusion, Francis F. Chen. Plenum Press New York [] P.. Morrison. Reviews of Modern Physics, vol. 7, nº, 467-5, 998 [3] M. Roberto, E. C. Silva,. C. Caldas e R. L. Viana. Phis. Of Plasmas, vol, nº, [4] deal Magnetohydrodynamics, effrey P. Freidberg. Plenum Press New York. 987 Cap 4. [5] M.Y.Kucinski,.L. Caldas, L.H.A Monteiro, V. Okano.. Plasma Phys. 44, [6] M. Roberto, E. C. Silva,. C. Caldas e R. L. Viana, aceito para publicação no Physica A. [7] M. Roberto, E. C. Silva,. C. Caldas e R. L. Viana, aceito para publicação no Brazilian ournal of Pysics. [8] E.C. Silva,. L. Caldas e R. L. Viana. Physics of Plasmas, vol. 8 nº6,

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