III EVFITA 2008 CAOS EM PLASMAS QUENTES. MARISA ROBERTO Departamento de Física ITA

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1 III EVFITA 2008 CAOS EM PLASMAS QUENTES MARISA ROBERTO Departamento de Física ITA

2 O que é Plasma? Gás a altíssimas temperaturas (átomos ionizados) Número de cargas + e aproximadamente o mesmo É usualmente denominado o 4 o Estado da Matéria

3 Fusão Termonuclear Controlada A sociedade atual debate o problema da exploração exaustiva dos recursos naturais, que são limitados. Exemplo: combustíveis fósseis como carvão, gás e petróleo deverão se esgotar em um ou dois séculos. O principal produto resultante da queima dos combustíveis fósseis é o dióxido de carbono, que polui a atmosfera e que praticamente quintuplicou em menos de 5 décadas. Estima-se que o consumo de energia triplique nos próximos 50 anos. Estes fatos impõem uma urgente substituição, total ou parcial, do uso dos combustíveis fósseis por fontes de energia renováveis.

4 Obtenção da Fusão Termonuclear Controlada

5 Tokamak Tokamak: máquina de confinamento magnético de plasmas de alta temperatura com simetria toroidal, inventada em 1951 pelos russos.

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7 O tokamak TCABR do IFUSP Máquina de médio porte, trazido da Suiça Substituiu o pequeno tokamak TBR-1 Principais parâmetros: I p 100 ka τ p 150 ms B t 1,1 T R 0 = 61 cm a = 18 cm

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9 Geração dos campos magnéticos de equilíbrio

10 Sistema de Coordenadas

11 Linhas de campo magnético são curvas paralelas ao campo magnético B em cada ponto, isto é. As linhas de campo magnético resultante são helicoidais, descritas pela equação, na descrição cilíndrica: d φ = θ Bxd = 0 rb T d R B 0 θ

12 O campo poloidal na aproximação cilíndrica, pode ser obtido a partir da lei de Ampère. B (r) θ μ r = 0 r 0 j (r)rdr φ

13 A relação que exprime o equilíbrio MHD (plasma em equilíbrio e em repouso) é dada por p = j x B Definindo uma função fluxo escalar ψ= fluxo poloidal 2π e usando as equações de Maxwell, pode-se obter uma equação diferencial, conhecida como Eq. de Grad-Shafranov 2 Δψ=μ Rj 0 ϕ 1 R R R z 2 2 Δ = 2 2

14 Superfícies de fluxo No modelo adotado as linhas de campo helicoidais repousam sobre camadas ou superfícies magnéticas

15 Fator de Segurança Mede a helicidade média das linhas de força do campo magnético de equilíbrio sobre uma superfície magnética. As superfícies magnéticas nas quais q=m/n é um número racional são superfícies racionais; sobre elas as linhas de força se fecham após m voltas na direção toroidal e n voltas na direção poloidal. q Δ φ m = = 2 π n

16 Como as linhas de campo magnético resultante são helicoidais, dadas por d φ rb = T d θ R B θ 0 podemos escrever q(r) como (em coordenadas cilíndricas) q(r) 2π 1 B = T rdθ 2π R B 0 0 θ

17 Mecânica Clássica Determinismo Newton (publicação do Principia, 1867) Equação diferencial que relaciona força com a aceleração. Trajetórias podem ser previstas. Conhecida a posição e velocidade inicial de uma partícula, sua posição e velocidade futura poderia ser determinada.

18 Pêndulo Simples (Sistema Hamiltoniano, energia se conserva) θ l T= m i θ V= mg cosθ g θ= sen θ mg

19 Freqüência em função da energia Aprox. Linear: g (sen θ θ ) ω 0 = = cte. l 1 3 E (senθ θ θ ) ω = ω0(1 2 3! 8ω Aprox. não linear: ) 1 0 ω ω ο Aprox. Linear Aprox. 1º Ordem Solução Exata E

20 Retrato de fase do pêndulo simples Sistema com um grau de liberdade (número de pares de variáveis que descrevem o sistema mecânico)

21 Retrato de fase do pêndulo com um grau de liberdade. A seção de Poincaré é apenas uma linha. Pontos vermelhos: pontos que interceptam as órbitas periódicas com a seção. Seção de Poincarè bidimensional

22 Pêndulo Amortecido Retrato de Fase O termo de amortecimento: qualquer órbita tende para o ponto (0,0), onde o pêndulo fica parado.

23 Seção de Poincarè do sistema caótico Júpiter-Sol-Terra

24 Colaboradores: Prof. Iberê L. Caldas IF/USP Prof. Ricardo L. Viana Dept.Física/UF Paraná Aluno de doutoramento: Tiago Kroetz. Aluno de IC: Kauê C. Rosalem Refs.: Roberto, M.; Silva, E.; Caldas, I.L.; Viana, R. Phys. of Plasmas 11(1) 214, Physica A,342,369, Silva, E,., Roberto,M et al. Nuclear Fusion, 46. S192, 2006.

25 Formalismo Hamiltoniano Podemos escrever o traçado das linha de campo como equações de Hamilton. A variável cíclica ϕ é análoga ao tempo. dj dϕ t H ( ) 0 J = = 0 ϑ dϑ H ( ) 0 J = = 1/ QJ ( ) dϕ J t Variáveis de ação e ângulo: 1 J( rt ) = r R 2 t 2 0 1/2 rt 1+ 2 ' R sinθ 0 t ϑ( rt, θt) = 2atan rt 1 2 ' 1 cosθ R + t 0 Hamiltoniana de equilíbrio: 1 H = H ( J) = Ψ ( J) 0 2 p 0 BR T 0

26 Mapas de Poincaré Intersecção das linhas de campo com o plano ϕ=0. Mapa de Poincarè nas variáveis de ângulo e ação. Pontos vermelhos: marcam as condições iniciais

27 Desejamos produzir uma perturbação ressonante com Q= m0 / n0 Simulamos a ação do Limitador Magnético Ergódico

28 I h = 0, 43% I p I h = 1, 57% I p

29 I h = 1,86% I p

30 Antes da reconexão: I h = 1,14% I p Durante a reconexão: I h = 1, 43% I p Depois da reconexão: I h = 2,71% I p Durante a bifurcação: I = 5, 43% I h p

31 Exemplo: β = 3.0, γ=0.8, (m,n) = (5,1), I = 11% I h p A correspondência de cores não é sempre igual. Os limites das regiões não são idênticos. Linhas de N pequeno são estáveis, e de N grande são caóticas.

32 Conclusões Plasma sempre sujeito ao aparecimento de instabilidades que podem destruí-lo abruptamente. O surgimento das instabilidades se devem a linhas de força caóticas. Há situações nas quais a existência de linhas de força caóticas produz resultados benéficos para o confinamento do plasma.