Lista 7 de CF368 - Eletromagnetismo I

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1 Lista 7 de CF368 - Eletromagnetismo I Fabio Iareke <[email protected]> 19 de julho de 213 Exercícios propostos pelo prof. Ricardo Luiz iana <[email protected]>, retirados de [1]. Obs.: Resoluções (olução rlv ) foram baseadas na resolução do professor. Capítulo Um ímã permanente tem a forma de um cilindro reto, circular, de comprimento L. e a magnetização M for uniforme e tiver a direção do eixo do cilindro, encontre as densidades de corrente de magnetização, J M e j M. Compare a distribuição de corrente com a de um solenóide. Eixo do cilindro orientado com o eixo z, M = M ẑ J M = M = j M = ˆn M Tampa superior: Tampa inferior: uperfície lateral: j M = ẑ Mẑ = j M = +ẑ Mẑ = j M = ˆr Mẑ = +M ˆθ 9-2 Encontre a distribuição de correntes de magnetização correspondentes a uma esfera uniformemente magnetizada com magnetização M. De acordo com a Eq. (9-63), a indução magnética B é uniforme no interior desta esfera. Pode-se usar esta informação para desenhar um enrolamento para corrente que produzirá um campo magnético uniforme numa região esférica do espaço? M = M ẑ, ˆr = cos θ sin φˆx + sin θ sin φŷ + cos φẑ J M = M = j M = ˆn M = ˆr Mẑ = M sin φˆθ 9-3 (a) O momento magnético de um corpo macroscópico é definido por M dv. Demonstre a v relação M dv = rρ M dv + rσ M da onde é a superfície que limita. (ugestão: Consulte o problema semelhante que envolve P, no Capítulo 4.) (b) Um ímã permanente, com a forma de uma esfera de raio R, tem magnetização uniforme, M, em direção do eixo polar. Determine o momento magnético do ímã a partir tanto do lado direito como do lado esquerdo da equação da parte (a). 1

2 (a) ρ M = M, σ m = ˆn M (b) M dv = rρ M dv r( M) dv componente x: = ( M) dv + (xm) ˆn da = (x M) dv + rσ M da r(ˆn M) da [ ] (xm) x( M) } {{ } M x= M ˆx=M x ( ) 4 M dv = M ẑ dv = M ẑ 3 πr3 dv = M x dv ρ M = M =, σ m = ˆn M = M ˆr ẑ = M cos θ componente x: da = R 2 dω ; dω = dφ sin θ dθ M dv = ˆrρ M dv + 2π = M R 2 dφ 2π π ˆrσ M da = M R 2 dω r cos θ dθ sin θ cos θ (xˆx + yŷ + zẑ) xr dφ sin φ dθ sin θ cos 2 θ = 9-5 Um elipsóide, com eixos principais de comprimento 2a, 2a e 2b é uniformemente magnetizado numa direção paralela ao eixo 2b. A magnetização do elipsóide é M. Encontre as densidades polares magnéticas para esta geometria. π M = M ŷ normal à superfície f(x, y, z) = : Equação do elipsóide: neste caso, ρ M = M =, σ m = ˆn M ˆn = f f x 2 c 2 = 1 x 2 a 2 = 1 f = x2 a 2 = M y σ M = [ y2 + b4 a (x 2 + y 2 ) ] 1/ Um anel de ferro recozido, de comprimento médio de 15 cm, é enrolado com uma bobina toroidal de 1 espiras. Determine a indução magnética no anel quando a corrente no enrolamento for (a), 1 A, (b), 2 A e (c) 1, A. 2

3 l = 15 cm, N = 1 H d l = NI = Hl H = NI l C = 667I (a) I =, 1 A H = 67 A/m K M 3 B = µ(h)h = K M H =, 25 T 9-1 Um anel de ferro doce, com uma fenda de ar de 1, cm está enrolado de forma toroidal como é mostrado na Fig O comprimento médio do anel de ferro é de 2 cm, sua seção reta tem 4 cm 2 e sua permeabilidade, que se supõe constante, é de 3. O enrolamento de 2 espiras conduz uma orrente de 1 A. Encontre B e H dentro do anel de ferro e na fenda de ar. d = 1 cm, l m = 2 cm, A = 4 cm 2, µ = 3, N = 2, I = 1 A no núcleo de ferro: H = H 1 + H 2 = NI + N 2 l enrolamento núcleo ( M 1 d ) na fenda H 2 = M d no núcleo ( NI M = χ m H = (K m 1)H = (K m 1) M d ) Na fenda (M = ): M = (K m 1) NI 1 + (K m 1) NI = 1, A/m H = NI M d = 1 A/m B = (H + M) =, 25 T H = NI ( + M 1 d ) = 1, A/m B = (H + M) =, 25 T 9-11 Um cilindro longo, de raio a e permeabilidade µ, é colocado num campo magnético uniforme, B, de forma a que o eixo do cilindro forme ângulos retos com B. Calcule a indução magnética no interior do cilindro. Faça um esboço semiquantitativo mostrando as linhas de indução típicas através do cilindro. (uponha, desde o início, que ϕ pode ser completamente especificado em termos dos harmôaicos cilíndricos de cos θ. Esta suposição é justificada, uma vez que todas as condições de contorno podem ser satisfeitas em termos dos harmônicos de cos θ.) 3

4 material linear B = B ˆx B = µ H H = ϕ 2 ϕ = cilindro infinito ϕ(r, θ) 1 r ) (r ϕ + 1r 2 ϕ 2 = θ condição de contorno r n cos nθ r n sin nθ 1 ln r r n cos nθ r n sin nθ B(r, θ) = B ˆx = H = µ ϕ = ( ϕ x ) ϕ ˆx + y ŷ ϕ x = B, ϕ y = (i) Dentro do cilindro (r a): (ii) Fora do cilindro (r a): ϕ 2(r, θ) = ϕ + ϕ (r, θ) = B x = B r cos θ ϕ 1(r, θ) = ϕ + Condições de contorno na superfície do cilindro (I) B 1n = B 2n em r = a (II) H 2t H 1t = ĵ ˆn em r = a A n r n cos nθ D n r n cos nθ + C n r n cos nθ = ϕ B r cos θ + B 1r (r = a, θ) = B 2r (r = a, θ) µh 1r (r = a, θ) = H 2r (r = a, θ) µ ϕ 1 ϕ 2 = H 2θ (r = a, θ) = H 1θ (r = a, θ) 1 ϕ 2 a θ = 1 ϕ 1 a θ ϕ 2(r = a, θ) = ϕ 1(r = a, θ) C n r n cos nθ 4

5 { B1 = µh 1 = µ ϕ 1 ϕ 1 = 2B r cos θ (r < a) µ + ϕ 2 = B r cos θ + B a 2 ( ) µ µ cos θ (r > a) r µ + B 2 = H 2 = ϕ Um fio conduzindo uma corrente I está em um eletroduto de ferro cilíndrico. O eletroduto tem raios interno e externo, a e b, susceptibilidade χ constante, e é coxial com o fio. Encontre a densidade de corrente de magnetização e a corrente de magnetização total. exterior (r = b): interior (r = a): H d l = I, H = I 2πr ˆθ M = χ H = χi 2πr ˆθ, j M = ˆn M ˆn = ˆr j M = ˆr ˆn = ˆr j M = +ˆr ˆθ χi 2πb = χi 2πr ẑ ˆθ χi 2πb = + χi 2πr ẑ J = M = 9-14 Dois meios magnéticos estão separados por uma imerface plana. Demonstre que os ângulos entre a normal ao contorno e os campos B em ambos os lados satisfazem µ 2 tan θ 1 = µ 1 tan θ 2. (i) B 1n = B 2n B 1 cos θ 1 = B 2 cos θ 2 (1) (ii) H 1t = H 2t B 1t µ 1 = B 2t µ 2 B 1 µ 1 sin θ 1 = B 2 µ 2 sin θ 2 (2) µ 2 tan θ 1 = µ 1 tan θ 2 Referências [1] John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética 3a edição, Editora Campus Ltda. Rio de Janeiro 5