Figura 1: Forma de onda da tensão quadrada.

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1 Problema 1.21 a) O esboço da forma de onda da tensão quadrada com frequência de 60 Hz e amplitude E é exposto na Figura 1. Figura 1: Forma de onda da tensão quadrada. E T = 1/60 s -E Para determinar a forma de onda do fluxo concatenado (λ), utiliza-se a relação existente entre ele e a tensão induzida (E), dada por (1). E = dλ dt (1) Para obter o fluxo concatenado realiza-se a integração da tensão induzida em relação ao tempo, como é desenvolvido a seguir: Integrando (2) tem-se: λ dλ λ 0 dλ = E dt (2) t = E dt (3) t 0 Considerando que as condições iniciais para o fluxo concatenado e o tempo sejam nulas, tem-se:

2 t λ = E dt 0 (4) λ = E t t 0 = E (t 0) = E t (5) Onde T é o período da forma de onda da tensão induzida. Para o problema em questão, a forma de onda da tensão induzida é quadrada, com amplitude E, desta forma tem-se matematicamente a expressão do fluxo concatenado. λ = E t + λ para o semiciclo positivo λ = E t + λ para o semiciclo negativo Onde λ é a condição obtida para o fluxo na transição entre ciclos. Cujo valor de pico é expresso por E T, onde T é o período da forma de onda da tensão induzida. Graficamente tem-se o exposto na Figura 2. E.T Figura 2: Forma de onda do fluxo concatenado. T = 1/60 s -E.T Para determinar o fluxo (φ), basta utilizar a expressão (6). φ = λ N (6) Onde N é o número de espiras.

3 Portanto o fluxo possui a mesma forma de onda do fluxo concatenado, porém com amplitude menor, devido a divisão pelo número de espiras, como exposto na Figura 3. Figura 3: Forma de onda do fluxo. (E.T)/N T = 1/60 s -(E.T)/N b) Para calcular o valor máximo admissível para a tensão induzida (E máx ) tendo um valor máximo da densidade de fluxo de 0,95 T, utiliza-se a expressão (7). c) E máx = 2π f N A c B máx (7) E máx = 2π ,95 E máx = 185,3382 V Para calcular a corrente de pico (I φ ) no enrolamento com o núcleo tendo uma permeabilidade magnética de μ 0 utiliza-se a expressão (8). I φ = l c H c N (8) Onde H c é a intensidade do campo magnético dado em (A/m), que pode ser calculado conforme (9).

4 Onde B c é a densidade de fluxo dada em Tesla (T). Portanto, a corrente de pico é de: H c = B c μ 0 (8) I φ = l c B c μ 0 N = ,95 4π 10 7 = 460,1654 A 575

5 Problema 1.35 a) Para obter a relação entre a intensidade de campo magnético (H) e a corrente (i 1 ) no enrolamento 1 utiliza-se a relação entre a força magnetomotriz e a intensidade do campo magnético dada por (9). N i = H l c (9) a i 1. Para o enrolamento 1 tem-se o número de espiras (N) igual a N 1 e a corrente (i) igual Para a geometria em questão deve-se obter o comprimento médio do núcleo (l c ), como se tem uma circunferência o comprimento médio será dado pelo perímetro da mesma, como expresso pela expressão (10). l c = 2π R (10) Onde R é o raio médio da circunferência, que é calculado a seguir: R = R i + (R e R i ) 2 = R i R i 2 + R e 2 = R i 2 + R e 2 = (R i + R e ) 2 Uma vez calculado o raio da circunferência, tem-se o comprimento médio do núcleo dado por: Aplicando a relação (9) tem-se: l c = 2π (R i + R e ) 2 = π (R i + R e ) N 1 i 1 = H π (R i + R e ) Portanto a relação entre a intensidade do campo magnético e a corrente é dada por: H = N 1 i 1 π (R i + R e ) b) Para obter a relação entre a tensão (v 2 ) e a variação de fluxo magnético no tempo (db/dt) utiliza-se a expressão (11), que expressa à tensão induzida (e) obtida pela variação de fluxo no tempo. e = N dφ dt (11)

6 Para uma densidade de fluxo uniforme na seção reta do circuito magnético, tem-se a seguinte relação entre o fluxo (φ) e a densidade de fluxo (B). φ = B A c (12) Onde A c é a área da seção reta do circuito magnético, que será considerada constante. Substituindo (12) em (11) tem-se: e = N A c db dt (13) A tensão induzida é v 2 e o número de espiras para o enrolamento 2 é N 2. A área da seção reta do circuito magnético é um retângulo, formado pelo empilhamento de n chapas de espessura, na Figura 4 tem-se a ilustração desta seção reta. Figura 4: Seção reta do circuito magnético. w nδ c) Portanto a área é de: A c = n w Onde w é a largura do circuito magnético. Deste modo a relação entre v 2 e db/dt é: v 2 = N 2 n w db dt Para determinar a relação entre v 0 e a densidade de fluxo, utiliza-se a expressão (14). v 0 = G v 2 dt (14) Substituindo o valor de v 2 encontrado no item b em (14) tem-se: v 0 = G N 2 n w db dt dt v 0 = G N 2 n w db

7 v 0 = G N 2 n w db Resolvendo a integral imprópria tem-se a relação entre v 0 e B: v 0 = G N 2 n w B

8 Problema 1.37 a) Dados: =3,0 mm R i =80 mm R e =90 mm w = R e R i =10 mm(largura do circuito magnético) n =15 chapas f =50 Hz E máx = 20 V N 2 =10 espiras G =1000 v 0 =7,5 V Para calcular o número necessário de espiras N 1 necessária para atingir uma densidade de fluxo de pico de 1,8 T utiliza-se novamente a expressão (7). b) E máx = 2π f N A c B máx Como já foi discutido, a área é calculada conforme a seguinte expressão: Portanto no número de espiras é de: N 1 = A c = n w E máx 20 = 2π f n w B máx 2π ,8 = 78,595 São necessárias aproximadamente 79 espiras. (i) Para calcular a densidade de fluxo na pilha de chapas utiliza-se da relação obtida no item c do problema v 0 = G N 2 n w B B = v 0 G N 2 n w = 7, = 1,6666 T

9 (ii) A amplitude da tensão (V 1 ) aplicada ao enrolamento de excitação é calculada da seguinte forma: V 1 = 2π f N 1 A c B máx V 1 = 2π ,666 = 18,6132 V

10 B (T) Problema 1.39 a) Na Figura 5 tem-se o gráfico do laço de histerese simétrico de 60 Hz para uma amostra de aço magnético. Figura 5: Laço de Histerese H (A/m) b) Para obter a área no Matlab do laço de histerese da Figura 5, utiliza-se o seguinte comando: ÁREA = trapz(h, B) Utilizando este comando se obtém o valor de 190,95 Joules para a área do laço de histerese completo, lembrando que o mesmo é simétrico. c) As perdas em cada ciclo do laço de histerese são proporcionais à área do mesmo, assim para determinar as perdas por unidade de massa, basta dividir a área obtida do ciclo de histerese pela massa do núcleo (M), que pode ser obtida através da densidade. Como não é fornecido o volume do núcleo este cálculo não é possível, deixando em termos de variáveis somente. P c (W/kg) = 190,95/M

11 Problema 1.40 Dados: A c = 27 cm²; g =2,4 mm; B ef =1,1 T; l c =70 cm N =95 espiras f =60 Hz ρ = 7,65 g/cm³ = 7, kg/m³ (Densidade do Aço) a) b) Para obter a tensão eficaz do enrolamento utiliza-se a expressão 15. E ef = 2π f N A c B ef (15) E ef = 2π ,1 = 106,3680 V As perdas no núcleo P c são calculadas através da densidade de fluxo máxima e também através do gráfico das perdas no núcleo a 60 Hz em W/kg para o aço elétrico de grão orientado do tipo M-5, como visto na Figura 6. Figura 6: Perdas no núcleo a 60 Hz em W/kg para o aço elétrico de grão orientado do tipo M- 5.

12 Antes de calcular P c determina-se o volume do núcleo (V) e também a massa (M) do mesmo utilizando a densidade. (Em todos cálculos despreza-se o entreferro). V = A c l c = =1890 cm³ = 1, m³ M = ρ V = 7, , = 14,45 kg O valor de P c é dado através da densidade de fluxo máxima, que nesse caso é de: B máx = 2 B ef = 2 1,1 = 1,555 T Através da Figura 6 verifica-se que para uma densidade de fluxo de 1,555 T tem-se um valor de P c de 1,3 W/kg. c) O P c total (perdas totais no núcleo) é de: P c = 1,3 14,45 = 18,785 W A corrente eficaz (I φ ) é obtida através dos volt-ampères eficazes de excitação por unidade de massa (P a ). O valor de P a é dado através da densidade de fluxo máxima e também através do gráfico volt-ampères eficazes de excitação por unidade de massa para o aço do tipo M-5, como exposto na Figura 7. Figura 7: Volts-ampères eficazes de excitação por quilograma a 60 Hz para o aço elétrico de grão orientado do tipo M-5.

13 Através da Figura 7 verifica-se que para uma densidade de fluxo de 1,555 T tem-se um valor de P a de 1,6 VA/kg. O P a total é de: P a = 1,6 14,45 = 23,12 VA A corrente eficaz (I φ ) é calculada de acordo com a expressão (16). Onde VA ef é calculado de acordo com a expressão (17). I φ = VA ef E ef (16) VA ef = P c 2 + Q 2 (17) Onde Q é a potência reativa total incluindo o efeito do entreferro, calculada conforme a expressão (18). Q = Q núcleo + Q entreferro (18) A potência reativa no núcleo é calculada utilizando a expressão (19) e a do entreferro utilizando (20). Q núcleo = P a 2 P c 2 (19) Q entreferro = 2π f g A c B ef 2 μ 0 (20) Agora se aplicam estas fórmulas para determinar a corrente eficaz. Utilizando (19) e (20) tem-se: Q núcleo = 23, ,785 2 = 13,478 var Q entreferro = 2π f 2, ,1 2 4π 10 7 Substituindo estes valores em (18) tem-se: Portanto VA ef assume o valor de: Q = 13, ,24 = 2365,72 var VA ef = 18, ,72 2 = 2365,79 VA Finalmente a corrente de excitação é de: = 2352,24 var

14 I φ = 2365,79 = 22,2415 A 106,3680