Cálculo II Exame de 1 a Época, 29 de Maio de 2000

Transcrição

1 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Cálculo II Exame de a Época, 9 de Maio de 000 O exame é constítuido por cinco perguntas. Responda a cada questão em folhas separadas. Não se esqueça de identi car todas as folhas. Não serão feitos esclarecimentos individuais sobre as questões durante o exame. A duração do exame é de horas. Bom trabalho!. Seja f : <! < uma função de classe C e homogénea de grau. Considere a função composta: h(x; y; z) = f(g(x; y; z)) onde < u = xz (u; v) = g(x; y; z) : : v = yz Fixe o ponto (x; y; z) = (; ; ) e admita que (; ) = e (; ) =. (a) ( val.) Veri que se a função h é homogénea. Caso a rmativo qual é o seu grau de homogeneidade? (b) ( val.) Calcule (; ; ), (c) ( val.) Calcule h(; ; ). (; ; ) e (; ; ).. Considere o problema de optimizar sem restrições a função f(x; y) = yg(x a) + xh(by); em que a; b R e g e h são funções de classe C. Sabe-se que g(0) = 0 e g 0 (0) =. (a) ( val.) Escreva as condições de primeira ordem do problema. (b) (,5 val.) Mostre que o sistema da alínea anterior de ne a função (y(a; b); x(a; b)) de classe C aplicando a vizinhança de (a; b) = (; 0) na vizinhança de (x; y) = (; h(0)).

2 (c) ( val.) Calcule a matriz jacobiana da função (y(a; b); x(a; b)) no ponto (; 0).. A venda de ménires em Roma continua a expandir-se e Asterix está a pensar instalar uma fábrica perto de Roma, para evitar os elevados custos de transporte dos ménires. Está claro que o gestor desta nova fábrica será Economiades (nestes tempos de paz entre Roma e Gália, ele tem que ter alguma ocupação!). O Asterix sabe, da sua experiência de produtor na Gália, que a produção de ménires envolve learning by doing : os custos de produção decrescem ao longo do tempo, à medida que se tem mais experiência na produção do bem. Suponha que se pode dividir o tempo em dois períodos: período (é o presente) e período (é o futuro). Os custos de produção, nos períodos e são dados por: C = q, C = q q 0q onde q e q são as quantidades produzidas nos períodos e, respectivamente. A procura de ménires no período i é dada por: q i = 00 p i, i = ; : Economiades quer maximizar o valor actualizado do lucro, sendo este dado por + onde e são os lucros no períodos e, respectivamente, e é o factor de desconto. Assuma que =. Infelizmente, a escolha do Economiades está condicionada por algumas restrições. Por um lado a capacidade máxima da fábrica em cada período é de unidades. Por outro lado, para aumentar a sua popularidade o imperador de Roma, decretou que o preço do produto não pode exceder 50 u.m., em nenhum dos períodos. (a) (,5 val.) Formalize o problema do Economiades, usando q e q como variáveis de decisão. Escreva as condições de Kuhn-Tucker do problema. (b) ( val.) Comente a seguinte a rmação: A solução do problema do Economiades de certeza que satisfaz as condições de Kuhn-Tucker. Para além disso, só existe um ponto que satisfaz as condições de Kuhn-Tucker, já que neste problema aquelas condições são su cientes para termos um máximo global estrito.

3 (c) ( val.) Embora ainda não tenha veri cado as condições de Kuhn-Tucker, o Economiades já tem um palpite sobre a solução do seu problema. Ele está convencido que a restrição de capacidade só é activa no primeiro período, e que se o preço máximo imposto pelo imperador aumentasse ligeiramente isso não teria qualquer efeito sobre o lucro. Veri que se o palpite do Economiades está correcto, e se estiver correcto encontre os valores das variáveis de decisão e dos multiplicadores, que lhe estão associados. (d) ( val.) Qual é o valor máximo que o Economiades estaria disposto a pagar por um aumento de 0; 0 na capacidade produtiva? 4. ( val.) Considere o problema minf(x) s.a. g(x) b, x 0, com x < n, b < m e onde x f e g j (j = ; ; ; m) são de classe C em < n. Demonstre a seguinte proposição: Se f é convexa e g j (j = ; ; ; m) são côncavas, então um ponto (x ; ) que satisfaça as condições de Kuhn-Tucker é mínimo global condicionado. (Sugestão: Veri que se a função Lagrangeana é convexa ou côncava e lembre-se que se h é uma função diferenciável e convexa então h(x) h(x 0 ) + rh(x 0 )(x x 0 ) ). 5. Considere o seguinte integral: Z Z p x 0 p x f(x; y)dydx + Z Z p x x f(x; y)dydx (a) (,5 val.) Represente gra camente a região de integração e inverta a ordem de integração. (b) (,5 val.) Calcule a área da região representada na alínea anterior.

4 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Cálculo II Resolução do Exame de a Época, 9 de Maio de 000. (a) h é uma função homogénea de grau se h(tx; ty; tz) = t h(x; y; z); quaisquer que sejam (x; y; z) < e t <. Vejamos então se a função h é homogénea: h(tx; ty; tz) = f(g(tx; ty; tz)) = f(txtz; tytz) = f(t xz; t yz) Como f é homogénea de grau, h(tx; ty; tz) = f(t xz; t yz) = t f(xz; yz) = t f(g(x; y; z) = t h(x; y; z): Concluimos, deste modo, que a função h é homogénea de grau. (b) Pretendemos determinar as derivadas parciais da função h no ponto (; ; ). Ora como a função a função h resulta da composição das funções f e g, essas derivadas encontram-se através da aplicação da regra da derivação da função composta: (x; y; z) = (u; v) = z (u; v) (x; y; z) + (u; v) (x; y; z) = (x; y; z) = (u; v) = z (u; v) (x; y; z) + (u; v) (x; y; z) = (x; y; z) = = x (u; v) (x; y; z) + (u; v) + y (u; v) (u; v) (x; y; z) =

5 Para determinarmos o valor numérico destas expressões no ponto (x; y; z) = (; ; ), precisamos de obter o valor de e no ponto (u; v) = (4; 4). Como f é homogénea de grau, sabemos que as suas derivadas parciais serão homogéneas de grau - = 0. Ou seja, Sendo assim, (; ) =. Então, (tu; tv) = (u; v) e (tu; tv) = (u; v) (4; 4) = (4 ; 4 ) = (; ) =. De forma análoga, (4; 4) = (; ; ) = (4; 4) = (; ; ) = (4; 4) = (; ; ) = (4; 4) + (4; 4) = (c) Como a função h é uma função diferenciável (pois trata-se da composição de duas funções diferenciáveis: f C e g é uma função vectorial cujas componentes são funções polinomiais) e é uma função homogénea de grau, então veri ca a identidade de Euler: h(x; y; z) = x No ponto (x; y; z) = (; ; ) logo h(; ; ) = 4. h(; ; ) = = (x; y; z) + y (; ; ) + (x; y; z) + z (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) (a) As condições de primeira ordem do problema são < = 0 < : = 0, yg 0 (x a) + h (by) = 0 : g (x a) + xh 0 (by) b = 0 (b) Comecemos por de nir a função vectorial F : < F (x; y; a; b) yg 0 (x a) + h (by) : F (x; y; a; b) = g (x a) + xh 0 (by) b

6 As condições que garantem que o sistema da alínea anterior de ne a função (y(a; b); x(a; b)) de classe C aplicando a vizinhança de (a; b) = (; 0) na vizinhança de (x; y) = (; h(0)) são: i. F é de classe C Dado que g e h são de classe C, g 0 e h 0 são de classe C. Então, quer F quer F (x; y; a; b) são de classe C. ii. O sistema (F ; F ) = (0; 0) é satisfeito no ponto (x; y; a; b) = (; h(0); ; 0): < F (; h(0); ; 0) = 0 < : F (; h(0); ; 0) = 0, h(0)g 0 (0) + h (0) = 0 : g (0) = 0 onde usamos o facto de g(0) = 0 e g 0 (0) =. iii. Finalmente, terá que se y) 6= 0 (; h(0);;0) yg, 00 (x a) g 0 (x a) + h 0 (by) b g 0 (x a) + h 0 (by) b xh 00 (by) b h(0)g, 00 (0) g 0 (0) g 0 6= 0 (0) 0 (; h(0);;0) 6= 0 (; h(0);;0), (g 0 ) (0) 6= 0, 6= 0 logo, podemos concluir que o sistema da alínea anterior de ne a função (y(a; b); x(a; b)) de classe C.

7 (c) Pelo teorema da função implicíta sabemos b) (; h(0);;0) = 4 h(0)g00 (0) g 0 (0) 5 g 0 (0) 0 4 yg00 (x a) h 0 (by) y 5 g 0 (x a) xh 00 (by) yb + xh 0 (by) = 4 0 g 0 (0) 5 = g 0 (0) h (0) g00 (0) (g 0 ) (0) 4 h 0 (0) g 0 (0) 0 h(0)h 0 (0) g 0 (0) g 00 (0) g 0 (0) 5 (; h(0);;0) 4 h(0)g00 (0) h(0)h 0 (0) g 0 (0) h 0 (0) 5 (a) A função objectivo do Economiades é q p q {z } + q p q q 0q {z } Da curva da procura do período i (com i = ; ) podemos calcular p i como função de q i : q i = 00 Substituindo na função objectivo, obtemos: p i, q i = 00 p i, p i = 00 q i (q ; q ) = q (00 q ) q + q (00 q ) q + q + 0q O problema do Economiades pode formalizar-se da seguinte forma: max q (00 q ) q q ;q + q (00 q ) q + q + 0q s:a: >< >: 00 q q 50 q q q 0; q 0 4

8 A função lagrangeana deste problema é: L(q ; q ; ; ; ; 4 ) = q (00 q ) q + q (00 q ) q + q + 0q + ( q ) + ( q ) + ( q ) + 4 ( q ) As condições de Kuhn-Tucker do problema = 00 q q 4q + q ; q = 00 q q 4q + 4 0; q 0; = 50 + q = 50 + q = q 0; 4 = q 0; 4 o que, simplin cando, é equivalente = 0 7q + 0; q 0; = 00 q + 4 0; q = 50 + q = 50 + q = q 0; 4 = q 0; 4 (b) Analisemos a primeira parte da a rmação: A solução do problema do Economiades de certeza que satisfaz as condições de Kuhn-Tucker.... Isto é verdade porque as restrições do problema são todas lineares o que garante que as condições de Kuhn-Tucker são necessárias. Ou seja, o ponto óptimo tem que satisfazer as condições de Kuhn-Tucker. Quanto à segunda parte: pelo teorema da su ciência de Kuhn-Tucker sabemos que, se a função objectivo for estritamente côncava e as restrições forem convexas então um ponto que satisfaça as condições de Kuhn-Tucker é máximo global estrito. Quanto às restrições elas são lineares, logo são convexas e diferenciáveis. Analisemos a matriz hessiana da função objectivo: :

9 Ou seja, a matriz hessiana é a mesma para todos os pontos (q ; q ). Os valores próprios desta matriz são 7 e, logo a matriz é de nida negativa, em todos os pontos do conjunto de oportunidades. Mas, isto implica que a função objectivo é estritamente côncava. Logo, é verdade que um ponto que satisfaça as condições de Kuhn-Tucker é máximo global estrito. (c) O palpite do Economiades implica que: i. q =, já que a restrição de capacidade é activa no período. Note-se que, q = > 0 implica = 0 (pela condição de complementaridade = 0). ii. 4 = 0. De facto, se a restrição q não é activa temos que q <. Mas então, pela condição de complementaridade: concluimos que 4 = 0. 4 = 0, 4 ( q 4 {z } >0 iii. = 0 e = 0, já que o preço máximo imposto pelo imperador não tem qualquer efeito sobre o lucro. Embora o palpite não dê indicações sobre q ser positivo ou nulo, a = 50+q 0 é equivalente a q 5, logo sabemos que q > 0. O que, pela condição de complementaridade, = 0, implica = 0. Usando a informação = = 0 = 00 q + 4 = = q = 0 >: 4 = 0 = 0 = 4 >< q = 5, q = >: 4 = 0 Este ponto satisfaz as condições de não negatividade. Vejamos se satisfaz as restantes condições = = 0 q = > = 00 5 = 0 q = 5 > 0; = 50 + = 6 = 50 = = 4 > 4 = 5 = > 0; 4 4 6

10 Como todas as condições são satisfeitas, o ponto que encontramos é máximo global estrito. (d) Designemos a capacidade produtiva por q, e consideremos q um parâmetro do problema. A função lagrangeana pode escrever-se: L(q ; q ; ; ; ; 4 ; q) = q (00 q ) q + q (00 q ) q + q + 0q + Pelo teorema do envelope, ( q ) + ( q ) + (q q ) + 4 (q q ) = + 4 = = 4: Logo, se q aumentar 0; 0, a variação aproximada no lucro máximo é: d dq = 4 0; 0 O máximo que o Economiades estaria disposto a pagar seria 0; 4.. A função lagrangeana do problema min x f(x) s.a. g(x) b, x 0 é: L(x; ) =f(x ; x ; ; x n ) + mx j (b j g j (x ; x ; ; x n )) j= Comecemos por mostrar que, para xo =, a função lagrangeana é convexa em x. A função f é convexa, por hipótese. Para além disso, as funções g j (x ; x ; ; x n (j = ; ; ; m) são côncavas, o que implica que as funções g j (x ; x ; ; x n ) são convexas. Como, pelas condições de Kuhn-Tucker, j 0, temos que as funções j g j (x ; x ; ; x n ) são convexas. funções convexas. Mas, então a função lagrangeana é convexa, já que resulta da soma de A função lagrangeana é diferenciável uma vez que, por hipótese, a função objectivo e as restrições g j são diferenciáveis. Como a função lagrangeana é convexa e diferenciável sabemos que: L(x; ) L(x; ) + rl(x; )(x x); para todo x; x no quadrante positivo. Em particular a desigualdade anterior veri ca-se para x = x : L(x; ) L(x ; ) + rl(x ; )(x x ); 7

11 A expressão anterior é equivalente a: L(x; ) L(x ; )+ L(x; ) L(x ; )+ nx i= nx i= i (x ; )(x i x i ), i (x ; )x i nx i= i (x ; )x i Mas, como (x ; ), satisfaz as condições de Kuhn-Tucker sabemos que i (x ; )x i = 0 (condição de complementaridade). Logo, o último termo da expressão anterior é zero. Para além, também das condições de Kuhn-Tucker, sabemos que i (x ; ) 0. E como, para um ponto pertencer ao conjunto de oportunidades, x i 0, concluímos que, para qualquer ponto pertencente a X, i (x ; )x i 0, o que implica que o segundo termo do lado direito da inequação é não negativo. Mas, então: L(x; ) L(x ; )+ termo não negativo ) L(x; ) L(x ; ); para todo x X Já mostramos que L(x ; ) é um mínimo da função lagrangeana relativamente às variáveis de decisão. equivalente a: Para mostrar que f(x ) é mínimo basta notar que L(x; ) L(x ; ) é f(x) + mx j (b j g j (x)) f(x ) + j= Ora, pelas condições de complementaridade, j (b j mx j (b j g j (x )) j= g j (x )) = 0, pelo que o último do segundo membro da inequação é nulo. Sabemos ainda que, para qualquer ponto x X, temos (b j g j (x)) 0, e pelas condições de Kuhn-Tucker j 0. Isto implica que j (b j g j (x)) 0. Então: f(x) + termo não positivo f(x ) ) f(x) f(x ) para todo x X: O que mostra que f(x ) é mínimo global do problema. (a) A região de integração está representada na gura seguinte: Invertendo a ordem de integração obtemos o seguinte integral: Z Z +y y f(x; y)dxdy (b) Para calcularmos a área da região D, basta calcularmos o valor do seguinte integral: A = Z Z +y y dxdy = 9 4