Controle Não Linear. CEFET/RJ Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Rio de Janeiro

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1 Controle Não Linear CEFET/RJ Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Rio de Janeiro 1

2 Fundamentos da Teoría de Lyapunov Dadas as características dos sistemas não-lineares características, incluindo a estabilidade, não é possível aplicar os conceitos desenvolvidos em sistemas lineares. Neste capítulo novas ferramentas matemáticas e definições que podem resolver são apresentados este tema. Os conceitos mais importantes estão associados à estabilidade local e global. Sem dúvida, a teoria de Lyapunov apresentado aqui é o desenvolvida para estes casos. 2

3 Conceitos de Estabilidade. Antecedentes Preliminares. Um sistema naõ-linear puede-ser representado : X(t)= f (x, t) (1) Esta expresão, ainda não contem u, que pode apresentar um sistema onde u = g(x, t), por tanto, a x(t) = f (x,u,t) = f (x,g(x,t),t) Um sistema é autónomo se (1) não depende do tempo, ou seja, x(t) = f (x). A grande diferença entre eles é que um sistema autônomo tem um plano de estados que não é uma função do tempo. Finalmente, um estado Xo é um estado de equilíbrio (ou ponto de equilíbrio) do sistema se fazendo x(t) = xo, este permanece no punto para todo tempo futuro. 3

4 Estabilidade e Instabilidade A estabilidade é definida: Def:. O ponto de equilíbrio Xo = 0 é estável se, para qualquer R> 0, existe um r> 0, de tal modo que satisfaz X (0) <r, então x (t) <R para todos os t 0, no caso contrário, o ponto de equilíbrio é estável (estabilidade no sentido de Lyapunov). 4

5 Estabilidade Asintótica y Estabilidade Exponencial Def: Um ponto de equilíbrio Xo = 0 é assintoticamente estável se ele é estável e se, além disso, há alguns r> 0 tal que x (0) <r implica que x (t) 0 quando t. Algumas implicações importantes são as seguintes: (a) A esfera Br é conhecida como o domínio de atracção, que corresponde a o lugar de pontos que convergem para a origem, Figura (a) ; (b) um ponto de equilíbrio que é estável, mas não assintoticamente estável é chamado marginalmente estável, Figura (a), Analisando a figura (a) verifica-se que: (i) curva 1: assintoticamente estável, (ii) curva 2: marginalmente estável, e (iii) curva 3: instável; (c) A convergência dos estados não implica estabilidade. Por exemplo, na figura (b), um ponto de partida dentro R = 1 converge para x = 0, mas sempre sai de R = 1, de modo que o origen não é estável no sentido de Lyapunov. 5

6 (a) (b) 6

7 Def: Um ponto de equilíbrio xo = 0 é exponencialmente estável se existem dois números estritamente positivo α e λ tal que t> 0, x (t) α x (0) e-λt em uma esfera Br em torno da origem. Alguns âmbitos são: (a) o número λ positivo é geralmente conhecido como a razão para a convergência exponencial, (b) a estabilidade exponencial implica estabilidade assintótica, mas o inverso não é necessariamente verdade. 7

8 Estabilidade Local y Estabilidade Global. As definições acima são válidas para caracterizar o comportamento de sistemas locais. Ou seja, como o sistema evolui após o início perto do ponto de equilíbrio. Def:. Se a estbilidade Assintóticas (ou exponencial) é válida para qualquer condição inicial, o ponto equilíbrio É estável E assintótico (ou exponencial) globalmente. 8

9 Linearização e estabilidade local. O método de linearização de Lyapunov refere-se à análise de estabilidade local. Uma vez que todos sistemas físicos pode ser considerado não linear, em certa medida, este método serve como justificação para a utilização de técnicas lineares em sistemas nãolineares. A linearização do sistema, x(t) = f (x,u), y = h(x,u), en torno a o ponto uo, xo, yo é dada por: 9

10 São variaçoes de x,u y em torno a o ponto Xo, Uo, Yo 10

11 Teorema: Método de Linearização de Lyapunov. (A) Se o sistema linearizado é estável (isto é, se todos os valores próprios de A está no meio esquerda do plano complexo), então o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável. (B) Se o sistema linearizado é instável (ou seja, pelo menos um autovalor de A é no meio direita do plano complexo), então o ponto de equilíbrio é instável. (C) Se o sistema linearizado é marginalmente estável (ou seja, todos os valores próprios de A estão no p lano esquerdo, mas pelo menos um está no eixo jw), então não pode concluir nada sobre o ponto de equilíbrio (de facto, o ponto de equilíbrio pode ser estável, assintoticamente estável ou instável). 11

12 Exemplo 2.1 Estudar a estabilidade do sistema x (t) = ax + b x 5 a e b São constantes Claramente o ponto de equilíbrio é xo = xo = 0 e a linearização é x (t) = ax. Se: (i) a <0, então o xo = 0 é assintoticamente estável, (ii) a> 0, entao o xo = 0 é instável (ii) a = 0, nada pode ser dito; na verdade, o que realmente acontece depende da constante b. 12

13 Estabilidade 13

14 14

15 Estabilidade dos pontos de operaçao do reator 15

16 Como pode ser visto, o teorema acima não é suficiente, são várias perguntas sem resposta. Entre os mais importantes são: (a) o que dizer de estabilidade quando as raízes estão em o eixo imaginário? e (b) no caso de ser estável o origen, qual é o domínio de atracção?. 16

17 Exemplo 2.2. Estudo da estabilidade do ponto de funcionamento do reactor exotérmica. R/ A. Para estes fins, são plotados os valores próprios da matriz A para diferentes pontos de operação. Isso é equivalente a traçar o L.G.R. sistema mas, dependendo do ponto de funcionamento. A Fig. Anterior (a) mostra o L.G.R. do reactor. Sem dúvida que, para certos valores de T o sistema apresenta valor próprio instável, de modo que eles têm ponto de funcionamento estável. Este é o caso do rango de T entre 335 e 379 K. Deve-se ter cuidado com este tipo de caso em sistemas não-lineares como um ponto de funcionamento instável pode significar a existência de ciclos limites. Este é o caso da faixa mostrada na Figura 2.3 (b) e (c). em que para as entradas entre Tc = 303 e 306 podem ter um único ponto de funcionamento é instável. No entanto, o simulação mostrados na Fig mostra a existência de um ciclo limite para esta entrada. Da mesma forma que as entradas To menor do que 303 sistema de viagem para um único ponto de operação instável. 17

18 Simulação reactor exotérmica Tc = 311 ( u (t-3) u (t-6)). A linha sólida representa a simulação do sistema original é segmentado e a simulação do sistema linearizado. 18

19 Método direito de Lyapunov Este método é uma extensão natural de uma observação física fundamental: Se o total de energia de um sistema é continuamente dissipada, em seguida, o sistema (linear ou não linear) deve atingir eventualmente um ponto de equilíbrio. Uma vez que a energia é um escalar, a análise de estabilidade deve ser reduzida para a análise de uma função escalar. 19

20 Por exemplo, a caixa da mola, ilustrada na fig. 1 pode ser aproximada pela equação: Para un analise mais rigoroso A energia é função da x e x Definase A equação V(x,x ) pode ser escrita: 20

21 A expressão acima mostra que: (a) a energia zero corresponde a um ponto de equilíbrio (x1 = 0, x2 = 0), (B) a estabilidade assintótica implica a convergencia da energia a zero, e (c) instabilidade emvolve um crescimento da energia. Além disso, a taxa de variação da energia durante o movimento de sistema é obtido por diferenciação V (x) em relação a t: 21

22 V (x) =-b x2 3 é sempre negativo, o sistema perde energia até V (x) = 0 x2 = 0. O método direto de Lyapunov é uma generalização do problema anterior. Ouseja, deve-se encontrar uma função energia V(x) tipo energia e analizar a função escalar no tempo. 22

23 A Funções definidas positivas e função de Lyapunov A função de energia V (x) no exemplo acima, cumple com: i) é estritamente positivo (exceto para x1 = 0, x2 = 0) função definida é positiva. ii) monótona decrescente função de Lyapunov. Def:. Uma função escalar V (x) é definida positiva localmente se V (0) = 0 e em uma region Bro cumple-se x 0 V (x)> 0. Se V (0) = 0 e a propriedade anterior cumples-se em todo o espaço estado, emtao V (x) é definida positiva globalmente. 23

24 Exemplo 2.3 Fig 1. Determine-se se são definidas positivas locais ou global: (a) es localmente porque para x1 = 2π la función V(x) se faz zero novamente, (b) é globalmente, y (c) não é 24

25 (a) definida positiva localmente, (b) definida positiva globalmente, (c) não é definida positiva. 25

26 Def:. Uma função V (x) é definida negativa se -V (x) é definida positiva. Def:. Uma função V (x) é semi-definida positiva, se V (0) = 0 e V (x) 0 para x 0. Def.: Una función V (x) es semi-definida negativa si V (x) es semi-definida positiva. 26

27 Semi indica a possibilidade que V(x) seja zero para x 0 e Ou seja, os pontos de equilíbrio também satisfaz v (x)=0, v (x) depende só de x Um caso especial é quando v (x) é negativa 27

28 Def:. Se em uma region bro a função V (x) é definida positiva e tem derivadas parciais contínuas e sua derivada temporal ao longo das trajetórias dos estados do sistema é semidefinida negativa; ou seja V (x) 0, então V (x) é uma função para o sistema de Lyapunov. 28

29 B Teorema para os pontos de equilibrio Teorema: Lyapunov Estabilidade Local: Se em uma region Bro, existe uma função escalar V (x) com as primeiras derivadas parciais continuas de modo que: V (x) é definida positiva (localmente no Bro) V (x) é semi-definida negativa (localmente no Bro) emtao o ponto de equilíbrio xo = 0 é estável. Se a derivada v (x) é localmente definida negativa em Bro, então a estabilidade é assintótica. 29

30 Exemplo 2.4 Estude a estabilidade para: O qual tem o ponto de equilíbrio em xo=0 Seja uma função de Lyapunov, então então Por tanto como v(x) é globalmente definida positiva, e sua derivada localmente definida negativa, o ponto x0 é asintoticamente estável. Figura derivada de Lyapunov 30 Exemplo2.5.

31 Teorema: Lyapunov para a estabilidade global Teorema: Lyapunov para a estabilidade global Assumir que existe uma função escalar V (x), com derivada de primer ordem contínua de tal forma que: V(x) é definida positiva V (x) é definida negativa V(x) inf x ->inf Então o ponto de equilibrio xo é globalmente asintoticamente estável. Estude a estabilidade do sistema Exemplo

32 C. Teoremas doss Conjuntos Invariantes. No caso de se encontrar V (x) semi definida, permite concluir respeito a caracteristica asintotica do ponto de equilibrio. Teorema: conjuntos invariantes local: Considere um sistema autônomo x = f (x) com f contínua, e V (x) uma função escalar com primeiras derivadas parciais contínuas. Suponha que: Para l>0, a region Ωl defiinida pro V(x) < l delimitada. V (x) 0 para todo x en Ωl 32

33 Seja R um conjunto de pontos dentro Ωl onde V (x) =0 e M o mais grande conjunto invariante em R, Então, cada solução de x(t) que inicie em Ωi tende a M a medida que t Conjunto invariante Exemplo