EEL7531: FUNDAMENTOS DE CONTROLE INTRODUÇÃO AO CONTROLE NÃO-LINEAR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA EEL7531: FUNDAMENTOS DE CONTROLE INTRODUÇÃO AO CONTROLE NÃO-LINEAR Professor: Aguinaldo Silveira e Silva

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3 Sumário 1 Introdução Modelo matemático Existência e solução de equações diferenciais Pontos de equilíbrio Exemplos de sistemas não-lineares Sistema elétrico de potência Ecologia Sistemas de segunda ordem Introdução Plano de estado Campo vetorial Sistemas lineares Sistemas não-lineares Teorema de Hartman-Grobman Teoria de estabilidade de Lyapunov Introdução Definições de estabilidade Funções definidas em sinal Teoremas de estabilidade Determinação da região de atração Métodos para a construção de funções de Lyapunov Método de Krasovskii Funções tipo Lur e Aplicações do método de Lyapunov Estabilidade transitória de sistemas elétricos Soluções periódicas e ciclos limite Introdução Soluções periódicas e ciclos limite Sistemas de segunda ordem Teorema de Bendixson Teorema de Poincaré-Bendixson

4 ii SUMÁRIO Teoremas usando o conceito de índice Funções descritivas Estabilidade e existência de soluções periódicas usando funções descritivas Métodos de controle não-linear Introdução Controle a modos deslizantes Controle de estrutura variável Incertezas do modelo Superfícies de deslizamento Lei de controle Chattering Exemplo Controle linearizante Introdução Linearização entrada-estado Etapas para a aplicação da linearização entrada-estado Exemplo Considerações finais

5 CAPÍTULO 1 Introdução Modelos lineares são usados em vários campos da ciência para representar uma amplo espectro de sistemas. No entanto, sistemas reais apresentam algum tipo de não-linearidade. Em muitos casos a faixa de operação limitada do sistema faz com que o efeito destas não-linearidades seja limitado sendo que o modelo linear é adequado para uma análise qualitiva e mesmo quantitativa suficientemente precisa. O fato de que engenheiros procurem sempre modelos lineares é explicado pelo fato de que a teoria de sistemas lineares é bem consolidada e os resultados são gerais. Já no caso de sistemas não-lineares, os resultados são mais limitados e freqüentemente aplicáveis somente a classes de sistemas não-lineares. Em muitas aplicações reais, onde as não-linearidades tem grande influência no comportamento do sistema tem-se que aplicar técnicas de análise e síntese derivadas da teoria de sistemas não-lineares. Neste capítulo são apresentados alguns conceitos fundamentais de sistemas não-lineares e definições básicas. Conceitos matemáticos essenciais usados na formalização de resultados são então apresentados. Finalmente alguns exemplos de sistemas físicos não-lineares são discutidos para ilustrar a vasta gama de aplicações da teoria de sistemas não-lineares. 1.1 Modelo matemático Sistemas não-lineares podem são representados por um sistema de equações diferenciais da forma 1 = f 1 (t,x 1,x 2,...,x n,u 1,u 2,...,u m ) (1.1.1) 2 = f 1 (t,x 1,x 2,...,x n,u 1,u 2,...,u m ) (1.1.2). (1.1.3) n = f 1 (t,x 1,x 2,...,x n,u 1,u 2,...,u m ) (1.1.4) (1.1.5) No sistema dado pela Equação x 1,x 2,...,x n são os estados do sistema e u 1,u 2,...,u m são entradas externas no sistema. Podemos escrever este sistema de uma forma bastante compacta se definirmos o vetor de estados x = x 1 x 2. x n

6 2 Capítulo 1: Introdução o vetor de funções não-lineares e o vetor de funções de entrada ou forçantes f = u f 1 f 2. f n f 1 f 2. f n O vetor f é conhecido como campo vetorial, por razões que são discutidas no próximo capítulo. Com estas definições a Equação pode ser escrita como ẋ = f(t,x,u) (1.1.6) É importante observar que os estados e as entradas são funções do tempo, ou seja, rigorosamente deveríamos escrever x(t) = [x 1 (t)x 2 (t)... x n (t)] T e u(t) = [u 1 (t)u 2 (t)...,u m (t)] T, mas para facilitar a notação não representamos esta dependência. Observa-se ainda que a Equação depende explicitamente do tempo. Isto significa que admitimos que parâmetros do sistema possam variar com o tempo. Exemplo Seja o circuito elétrico A entrada u caracteriza um sistema forçado. Se U não aparece explicitamente na equação então o sistema é não-forçado, dado pela Equação ẋ = f(t,x) (1.1.7) O sistema não-forçado ocorre mesmo quando existe uma entrada mas esta entrada é uma função do estado x do sistema ou ainda se tivermos uma entrada constante. A entrada constante comporta-se como um parâmetro e não aparece explicitamente na equação. O interesse neste curso será em sistemas que não dependem explicitamente do tempo. Um sistema que depende explicitamente do tempo é chamado não-autônomo. Um sistema que não depende explicitamente do tempo é chamado de sistema autônomo. Na continuação deste curso nos concentraremos em sistemas não-forçados autônomos. Portanto a partir de agora consideraremos sistemas descritos pela Equação ẋ = f(x) (1.1.8) 1.2 Existência e solução de equações diferenciais A solução do Sistema será o vetor de funções do tempo x(t). Para cada condição inicial no tempo t 0, x 0 = x(t 0 ), teremos uma solução. Vamos admitir que esta solução existe e é única para cada condição inicial. A solução será uma curva em um espaço de dimensão n + 1. Para um sistema de segunda ordem a solução que passa por x 0 e t 0 é mostrada na Figura 1.1(a). Se considerarmos que para o mesmo tempo t 0 podemos ter qualquer ponto no plano transversal ao eixo dos tempos como condição inicial, podemos pensar na solução do Sistema como uma família de curvas, algumas das quais são mostradas na Figura 1.1(b). Representamos estas soluções como φ t = φ(x,t) que indica que para cada valor de t temos um valor associado do estado x(t). Esta família de soluções constitui um fluxo φ t. O fluxo

7 EEL-UFSC 3 x2 x2 U x0 x1 x0 x1 t0 t t0 t (a) Solução que passa por x 0 em t 0 (b) Fluxo de um sistema Da Equação segue que para um conjunto U R n e um intervalo I = (a,b) R dφ dt (x,t) = f(φ(x,τ)) (1.2.1) τ para todo x U e τ I Para uma dada condição inicial em t = 0 dada por x(0) = x 0 procura-se a solução φ(x 0,t) tal que φ(x 0,0) = x 0. Esta solução também é denotada por x(x 0,t) ou x(t). A solução φ(x 0,.) define uma curva solução, trajetória ou órbita da equação diferencial Quando consideramos o Sistema 1.1.8, uma questão que surge é em que condições este sistema possui uma solução. Ou seja dada uma condição inicial x 0 = x(t 0 ) existe um vetor x(t) que satisfaz esta para algum intervalo de tempo [t 0,t)? Ainda mais, será que esta solução é única? Como o nosso interesse é usar o Sistema para representar o comportamento de sistemas reais, vemos que uma resposta afirmativa a estas questões é crucial para que o modelo matemático tenha utilidade. Do ponto de vista matemático a condição de existência e unicidade de solução para o Sistema é dada pela condição de Lipschitz: f(y) f(x) K x y para algum K < (constante de Lipschitz). Para modelos que representam sistemas físicos, a condição de Lipschiz é sempre satisfeita. 1.3 Pontos de equilíbrio Os pontos de equilíbrio, também chamados pontos fixos ou zeros, são soluções da equação diferencial para as quais o campo vetorial se anula. Para a Equação 1.1.8, os pontos de equilíbrio são dados por f(x) = 0 A solução da Equação 1.3 por si só pode apresentar considerável dificuldade. Deve-se ainda observar que um sistema não-linear pode apresentar um único, vários, infinitos ou nenhum ponto de equilíbrio. No caso de sistemas lineares o sistema tem um ou inifinitos pontos de equilíbrio. Em muitos casos vamos supor que o ponto de equilíbrio é a origem. Por exemplo, para um sistema de segunda ordem, o ponto x = [0 0] T, também representado por (0,0) é o equilíbrio. Ou seja, f(0,0) = [ f1 (0,0) f 2 (0,0) ] = 0 A suposição de que a origem é um ponto de equilíbrio não constitui perda de generalidade. Realmente, cada ponto de equiíbrio pode ser transladado para a origem.

8 4 Capítulo 1: Introdução Supondo o sistema: ẋ = f(x) (1.3.1) com ponto de equiíbrio x e, ou seja, f(x e ) = 0. Definindo-se novas variáveis de estado tais que y = x x e, tem-se x = y + x e. Substituindo-se em 1.3.1, tem-se ẏ = f(y + x e ) (1.3.2) É fácil de verificar que o ponto y = [0 0] é agora um ponto de equiíbrio de A mudança de variáveis de estado corresponde a uma translação de eixos, sendo que o novo sistema de coordenadas tem a sua origem no ponto de equilíbrio que se deseja transladar para a origem. 1.4 Exemplos de sistemas não-lineares Nesta seção estudaremos alguns exemplos de sistemas não-lineares encontrados não só em engenharia elétrica mas também em outras áreas. Mostraremos que técnicas de análise não-linear não são suficientes para analisar todos os aspectos do comportamento destes sistemas Sistema elétrico de potência O sistema elétrico é um exemplo de um sistema não-linear, bem conhecido por sua importância social e econômica e que mostra a importância de técnicas de análise não-linear para o estudo de seu desempenho. Vamos considerar um sistema constituído de uma única máquina síncrona conectada a uma barra infinita, representado na Figura 1.2. Embora este possa parecer um modelo muito simples, ele pode ser usado para descrever uma usina (a máquina síncrona) conectada a uma grande rede (a barra infinita). E q δ V 0 o jx Figura 1.1: Sistema máquina barra-infinita Usaremos um modelo simples para a máquina, que será representada pelas equações que descrevemo movimento do rotor (equações de Newton para o movimento rotacional). Estas equações são: δ = ω M ω = P m Dω P max senδ onde P max = E qv, é a máxima potência transmitida pela linha, M é a inércia da máquina, D é um X coeficiente de amortecimento, ω é a velocidade do rotor e δ é o ângulo da máquina. Podemos imediatamente, a partir dos conceitos apresentados na seção anterior concluir que este é um sistema não-linear e autônomo. Os pontos de equiilíbrio são dados por sendo portanto dados por 0 = ω 0 = P m Dω P max senδ e δ e = sen 1 P m P max ω e = 0

9 EEL-UFSC 5 Observa-se que o sistema tem infinitos pontos de equilíbrio, pois existem infinitos arcos que atendem à condição sobre o ângulo δ. No entanto, do ponto de vista físico, temos interesse em três pontos dados por (δ e,0), com δ e ( π,π), (π δ e,0) e π (δ e,0). Vamos aplicar uma pequena perturbação que desloque o sistema do seu ponto de equilíbrio e logo a seguir retiraremos a perturbação. A trajetória do sistema no espaço de fase é apresentada na Figura. E q δ V 0 o jx Figura 1.2: Sistema máquina barra-infinita Observa-se que o sistema retorna ao ponto de equilíbrio δ e. Vamos agora aumentar o período em que a perturbação permanece no sistema. A trajétória se afasta do ponto de equilíbrio e não retorna mesmo após a retirada da perturbação. Vamos agora simular uma trajetória como uma condição inicial muito próxima do ponto de equilíbrio (π δ e,0). O sistema se afasta deste ponto de equilíbrio e portanto o ponto de equlíbrio é instável. Este comportamento do sistema está associado aos conceitos de estabilidade transitória e estabilidade para pequenas perturbações de sistemas elétricos. Ferramentas da teoria de sistemas lineares permitem a análise e a determinação de ações de controle para manter a estabilidade do sistema Ecologia Uma das aplicações de sistemas não-lineares é o estudo de modelos que representam sistemas ecológicos e equilíbrio em sistemas envolvendo presas e predadores. Um modelo bem conhecido é a equação de Lotka-Volterra. Este modelo foi desenvolvido pelo matemático italiano Volterra para modelar a relação entre peixes predadores e peixes presas. 1 = x 1 + x 1 x 2 (1.4.1) 2 = x 2 x 1 x 2 (1.4.2) Esta equação descreve um sistema ecológico onde x 1 é o número de predatores e x 2 é o número de presas. Se x 2 = 0 (nenhuma presa) então da equação 1 = x 1 segue que a solução é x 1 = x 10 e t, ou seja, a população de predadores cai exponencialmente a zero. Por outro lado, se x 1 = 0 (o número de predadores é zero) então da equação 2 = x 2 segue que a solução é x 2 = x 20 e t, ou seja, a população de presas aumenta exponencialmente. Como veremos no Capítulo 4, a solução desta equação, em um sistema com predatores e presas, é periódica e a existência de soluções periódicas é um dos tópicos da teoria de sistemas não-lineares. Esta teoria encontra ampla aplicação a sistemas biológicos.

10 6 Capítulo 1: Introdução Exercícios 1. Para o sistema de controle da figura, sem o tacômetro (chave S aberta) faça o gráfico da trajetória para uma condição inicial e(0) = 2, (e)(0) = 0. Dados: τ m = 0,5 seg; k = 8; δ = 0,5 Considere agora o tacômetro (k t = 0,5), ou seja, chave S fechada. Plote a trajetória e comente sobre o efeito da realimentação tacométrica. Figura 1.3: Exercício 3 2. O sistema de controle a relé da figura usa um relé com zona morta e um laço de realimentação derivativa. Desenhe um conjunto de isóclinas e plote a trajetória para entrada zero e condições iniciais c(0) = 2, ċ(0) = 5. Calcule o tempo de resposta o sistema. Determine o erro em regime permanente. Figura 1.4: Exercício Considere o sistema ẍ (0,1 103 ) ẋ ẋ ẋ + x + x 2 = 10 a) Encontre os pontos de equilíbrio. b) Estude a estabilidade de cada um deles. 1. Determine os pontos de equilíbrio e a natureza destes pontos, para os sistemas:

11 EEL-UFSC 7 { { ẍ = 2xy 4y 8 ẍ = 4y a) ÿ = 4y 2 x 2 b) 2 x 2 ÿ = 2y 2 { ẍ = 4 4x 2y c) ÿ = xy 2. Com amortecimento incluído, a equação de uma máquina síncrona ligada a uma barra infinita é dada por H δ + k δ = P m P e sen(δ) onde H,k e P e são constantes positivas. Linearize as equações de estado ao redor de um ponto fixo correspondente a um valor fixo de P m, para os pontos de equilíbrio estável e instável, e calcule as funções de transferência entre P m e δ em cada caso.

12 8 Capítulo 1: Introdução

13 CAPÍTULO 2 Sistemas de segunda ordem 2.1 Introdução Neste capítulo estudaremos sistemas de segunda ordem. O estudo destes sistemas apresenta vantagens já que as soluções de sistemas de segunda ordem podem ser representadas por curvas no plano, e como resultado muitos conceitos relacionados a sistemas não-lineares tem uma interpretação geométrica simples. Por outro lado, nem todos os resultados válidos para sistemas de segunda ordem podem ser estendidos para sistemas de ordem superior. 2.2 Plano de estado O sistema de segunda ordem pode ser representado de forma genérica por por 1 = f 1 [t,x 1 (t),x 2 (t)] 2 = f 2 [t,x 1 (t),x 2 (t)] (2.2.1) Consideraremos apenas sistemas autônomos e também não representaremos explixitamente a dependência no tempo das variáveis de estado. O sistema a ser considerado então é 1 = f 1 (x 1,x 2 ) 2 = f 2 (x 1,x 2 ) (2.2.2) Representado uma solução [x 1,x 2 ] de no plano x 1,x 2 resulta em um gráfico no espaço de estado chamado trajetória. No caso especial onde a primeira equação em é o espaço de estado é chamado plano de fase. 1 = x 2 (t) 2.3 Campo vetorial Dado o sistema de segunda ordem autônomo a cada vetor [x 1 [f 1 (x 1,x 2 ) f 2 (x 1,x 2 )] T chamado campo vetorial. x 2 ] T pode-se associar um vetor

14 10 Capítulo 2: Sistemas de segunda ordem Definição 1 Um campo vetorial é uma função contínua f : R 2 R 2. A direção do campo vetorial f no ponto x R 2 é dada por θ t = tan 1 f 2(x 1 x 2 ) f 1 (x 1,x 2 ) De segue que dx 2 dx 1 = f 2(x 1 x 2 ) f 1 (x 1,x 2 ) e portanto o vetor f(x) é tangente à trajetória em x. (2.3.1) 2.4 Sistemas lineares Nesta seção desenvolveremos um estudo de sistemas lineares. A primeira vista parece que estamos deixando de lado uma classe mais geral de sistemas para abordar um caso particular. No entanto, um importante resultado, apresentado no final desta seção permite relacionar o comportamento das trajetórias de um sistema não-linear em uma vizinhança dos pontos de equilíbrio com o comportamento de um sistema linear obtido a partir deste sistema não-linear. Ou seja, aparti deste último podemos obter informações sobre a natureza dos pontos de equilíbrio e forma das trajetórias de um sistema não-linear. Na seqüência estudaremos a forma das trajetórias de um sistema linear. Seja o sistema linear autônomo de segunda ordem dado por com condições iniciais dadas por O sistema pode ser escrito na forma matricial onde x = [x 1 x 2 ] T e 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 (2.4.1) x 1 (0) = x 10 x 2 (0) = x 20 (2.4.2) ẋ = Ax x(0) = x 0 (2.4.3) [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 Uma solução de pode ser obtida facilmente se a matriz A for diagonalizada. Isto permite desacoplar as duas equações, resolvendo-as uma de cada vez e obtendo a forma das trajetórias. A diagonalização de A pode ser feita por uma transformação de similaridade. Isto significa obter um novo vetor de estado z z = M 1 x (2.4.4) onde M é uma matriz conveniente. Usando em chega-se facilmente à nova equação de estado ż = M 1 AM x (2.4.5) Com uma escolha adequada de M a matriz M 1 AM é diagonal e dada por [ ] M 1 λ1 0 AM = 0 λ 2 (2.4.6)

15 EEL-UFSC 11 onde λ 1 e λ 2 são os autovalores reais de A. λ 1 e λ 2 não são necessariamente distintos mas a matriz diagonal pode ser obtida no caso de autovalores iguais se autovetores linearmente independentes puderem ser obtidos. No caso em que os autovalores são repetidos e autovetores linearmente independentes não puderem ser obtidos pode-se ainda obter a forma de Jordan [ ] M 1 λ1 1 AM = (2.4.7) 0 λ 2 Se os autovalores forem complexos conjugados dados por α ± jβ pode-se obter a forma [ ] M 1 α β AM = β α (2.4.8) A análise das formas diagonalizadas permite o estudo da forma das soluções. De e segue que com condições iniciais z 1 = λ 1 z 1 z 2 = λ 2 z 2 (2.4.9) As soluções são dadas por z 1 = z 10 z 2 = z 20 z 1 z 2 = z 10 e λ 1 t = z 20 e λ 2 t Supondo λ 1 0 tem-se ln z 1 ln z 2 = ln z 10 + λ 1 t = ln z 20 + λ 2 t Eliminando-se o tempo nestas equações tem-se ( ) λ 2 z1 λ 1 z 2 = z 20 (2.4.10) z 10 Quando λ 1 e λ 2 são complexos conjugados, dados por λ 1,2 = α ± β o sistema pode ser escrito como com condições iniciais z 1 = αz 1 + β z 2 (2.4.11) z 2 = β z 1 + α 2 z 2 (2.4.12) z 1 (0) = z 10 z 2 (0) = z 20 A forma das trajetórias pode ser obtida facilmente com uma transformação de coordenadas para a forma polar.

16 12 Capítulo 2: Sistemas de segunda ordem Definindo-se: Derivando-se com relação ao tempo tem-se r = (z z 2 2) 1 2 (2.4.13) φ = tg 1z 2 z 1 (2.4.14) ṙ = α(z2 1 + z2 2 ) (z z2 2 )1 2 ou ṙ = αr (2.4.15) Derivando-se com relação ao tempo tem-se Portanto, o sistema obtido é φ = β (2.4.16) ṙ = α r (2.4.17) φ = β (2.4.18) O comportamento das trajetórias pode ser estudado usando a Equação , para o caso onde os autovalores são reais, ou a Equação , para o caso onde os autovalores são complexos conjugados. Dependendo de λ 1 e λ 2 vários casos podem ocorrer. 1. Caso onde λ 1 e λ 2 reais de mesmo sinal e negativos Se λ 2 < λ 1 < 0 então as trajetórias são dadas pela Figura 2.1(a) Se λ 2 < λ 1 < 0 então as trajetórias são dadas pela Figura??. Estes dois casos caracterizam um ponto de equilíbrio chamado nó estável. z2 z2 z1 z1 (a) λ 1 > λ 2 (b) λ 1 < λ 2 Figura 2.1: Nó estável 2. Caso λ 1 e λ 2 reais de mesmo sinal e positivos Se λ 2 > λ 1 > 0 então as trajetórias são dadas pela Figura 2.2(a). Se λ 1 > λ 2 > 0 então as trajetórias são dadas pela Figura 2.2(b). Neste caso o ponto de equilíbrio é um nó instável

17 EEL-UFSC 13 z2 z2 z1 z1 (a) λ 1 > λ 2 (b) λ 1 < λ 2 Figura 2.2: Nó instável z2 z2 z1 z1 (a) λ 1 > λ 2 (b) λ 1 < λ 2 Figura 2.3: Ponto de sela 3. Caso onde λ 1 e λ 2 reais de sinais opostos No caso onde λ 1 < 0 < λ 2 as trajetórias são mostradas na Figura 2.3(a). No caso onde λ 1 > 0 > λ 2 as trajetórias são mostradas na Figura 2.3(b). Estes casos caracterizam um ponto de sela. 4. Caso onde λ 1 e λ 2 são complexos conjugados com α < 0. A forma das trajetórias é mostrada pela Figura 2.4(a). O ponto de equilíbrio neste caso é chamado um foco estável. 5. Caso onde λ 1 e λ 2 são complexos conjugados com α > 0. A forma das trajetórias é mostrada pela Figura 2.4(b). O ponto de equilíbrio é chamado neste caso de foco instável. 6. Caso onde α = 0. Os autovalores são complexos puros. A forma das trajetórias é mostrada na Figura 2.5. O ponto de equilíbrio é chamado de centro.

18 14 Capítulo 2: Sistemas de segunda ordem z2 z2 z1 z1 (a) λ 1 > λ 2 (b) λ 1 < λ 2 Figura 2.4: Foco z2 z1 Figura 2.5: Centro 2.5 Sistemas não-lineares Nesta seção serão considerados sistemas autônomos dados por 1 = f 1 (x 1,x 2 ) (2.5.1) 2 = f 2 (x 1,x 2 ) (2.5.2) O sistema não-linear pode ser linearizado em torno do ponto de equilíbrio. Um resultado importante é que, em geral, pode-se determinar o comportamento das trajetórias do sistema não-linear em uma vizinhança do ponto de equilíbrio, a partir do comportamneto das trajetórias do sistema linear, a não ser em alguns casos especiais. A formalização deste resultado será apresentada mais adiante. No desenvolvimento a seguir (0,0) é considerado o ponto de equilíbrio do sistema 2.5.2, ou seja 0 = f 1 (0,0) (2.5.3) 0 = f 2 (0,0) (2.5.4) Isto sempre pode ser feito, através de uma translação de eixos, como mostrado na Seção. Na vizinhança do pode de equilíbrio (0,0) pode-se expandir f 1 e f 2 em série de Taylor. f 1 (x 1,x 2 ) = f 1 (0,0) + f 1(x 1,x 2 ) dx 1 x 1 + f 1(x 1,x 2 ) (0,0) dx 2 x 1 (2.5.5) (0,0) + + termos de ordem mais elevada (2.5.6) f 2 (x 1,x 2 ) = f 2 (0,0) + f 2(x 1,x 2 ) dx 1 x 1 + f 2(x 1,x 2 ) (0,0) dx 2 x 1 (2.5.7) (0,0) + + termos de ordem mais elevada (2.5.8)

19 EEL-UFSC 15 Tabela 2.1: Pontos de equilíbrio para o sistema linearizado e não-linear Sistema linearizado Sistema não-linear Ponto de equilíbrio y 1 = 0,y 2 = 0 Ponto de equilíbrio x 1 = 0,x 2 = 0 Nó estável Nó estável Nó instável Nó instável Ponto de sela Ponto de sela Foco estável Foco estável Foco Instável Foco instável Centro Nada se afirma Desde que f 1 (0,0) = f 2 (0,0) = 0 e desprezando-se os termos restantes da série pode-se definir o sistema linear: onde y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 (2.5.9) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 (2.5.10) a 11 = f 1(x 1,x 2 ) (0,0) d x 1 a 12 = f 1(x 1,x 2 ) d x 2 a 21 = f 2(x 1,x 2 ) d x 1 (0,0) a 22 = f 2(x 1,x 2 ) d x 2 A relação entre as trajetórias do sistema linearizado e as trajetórias do sistema não-linear em uma vizinhança do ponto de equilíbrio é dada pela Tabela 2.1 Portanto, a não ser que a matriz [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 tenha autovalores com parte real zero, pode-se determinar o comportamento das trajetórias do sistema não-linear em uma vizinhança do ponto de equilíbrio a partir das trajetórias do sistema linearizado. No caso de centro no sistema linearizado observa-se que as oscilações não crescem ou decrescem. Os termos desprezados na série de Taylor é que vão indicar se há crescimento ou decrescimento das oscilações. Portanto nada se pode concluir sobre o sistema não-linear. Se o ponto de equlíbrio é tal que a matriz jacobiana calculada neste ponto de equilíbrio não tem autovalores com parte real zero, então o ponto de equilíbrio é chamado hiperbólico ou não-degenerado. 2.6 Teorema de Hartman-Grobman Os resultados da seção anterior podem ser resumidos através do importante teorema de Hartman- Grobman. Este teorema é aplicável a sistemas de qualquer ordem e portanto generaliza os resultados anteriores. Teorema 1 Se a matriz jacobiana do sistema linearizado não tem autovalores zero ou imaginários puros então existe um homeomorfismo definido em alguma vizinhança U de (0,0) em R n que leva localmente órbitas do fluxo não-linear de àquelas do fluxo linear de O homeomorfismo preserva o sentido das órbitas e pode ser escolhido para preservar a parametrização no tempo. Em termos mais simples podemos interpretar este resultado dizendo que a cada solução do sistema linearizado existe um mapeamento (homeomorfismo) que leva a uma órbita do sistema não-linear. O sentido é preservado, ou seja, se a orbita do sistema linear se aproxima ou se afasta do ponto de equilíbrio a órbita do sistema não-linear também se aproximará ou afastará, respectivamente, do ponto de equilíbrio. (0,0) (0,0)

20 16 Capítulo 2: Sistemas de segunda ordem

21 CAPÍTULO 3 Teoria de estabilidade de Lyapunov 3.1 Introdução O método direto de estudo da estabilidade de um ponto de equilíbrio é de natureza distinta dos métodos baseados em linearização. Nestes estuda-se a estabilidade para pequenas perturbações e o enfoque é em termos locais. No caso do método direto a caracterização da solução não é necessariamente em termos locais. A origem do método direto encontra-se na mecânica clássica onde esta caracterização não local aparece das leis da estática e dinâmica. Assim, Torricelli ( ) apresentou o enunciado de que Corpos pesados conectados não podem começar a mover-se se o centro comum de gravidade deles não mover-se para baixo. Lagrange ( ) por sua vez apresentou o enunciado de que Um sistema mecânico que está em um estado onde sua energia potencial tem um mínimo isolado, está em um estado de equilíbrio estável. Estas idéias de estabilidade em mecânica foram generalizadas por Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, então professor na Universidade de Kharkov, em sua tese de doutorado submetida à Universidade de Moscou em 1892 e intitulada O problema geral da estabilidade do movimento. O método proposto por Lyapunov teve uma imensa influência na teoria da estabilidade de sistemas dinâmicos e continua como um dos fundamentos daquela teoria. A idéia básica do método de Lyapunov pode ser resumida pelo desenvolvimento a seguir, no qual consideraremos apenas sistemas autônomos. No entanto o método é geral e aplica-se a sistemas nãoautônomos. Seja o sistema descrito por ẋ = f(x) (3.1.1) sem forças externa atuando. Seja 0 um dos pontos de equilíbrio deste sistema (ou, possívelmente, o único ponto de equilíbrio). Supondo que a energia deste sistema possa ser definida por uma função V tal que V (0) = 0 (minímo global) e V (x) > 0 para x 0. Dada uma condição inicial X 0 0, então V (x 0 ) > 0. Se a dinâmica do sistema é tal que dv dt = 0 então a energia não aumenta e dependendo de V isto pode indicar a estabilidade do ponto de equilíbrio O. Se dv dt =< 0 então a energia se reduzirá a zero e pode-se concluir a estabilidade do ponto de equilíbrio O. A teoria de estabilidade de Liapunov permite a escolha da função V para um determinado sistema. Ou seja, a função V não precisa ser necessariamente a energia associada ao sistema. A seguir serão

22 18 Capítulo 3: Teoria de estabilidade de Lyapunov apresentados os teoremas básicos sobre estabilidade, estabilidade assintática e instabilidade, que formam o núcleo do método direto de Liapunov. No final do capítulo alguns métodos para a geração de funções de Liapunov são apresentados assim como exemplos aplicando os métodos. A questão da determinação de domínios de estabilidade também é abordada. 3.2 Definições de estabilidade Nesta seçào são apresentadas as definições de estabilidade no sentido de Lyapunov. No desenvolvimento a seguir será considerado que 0 é o ponto de equilíbrio, o que sempre pode ser feito com uma mudança de referência. Definição 2 O ponto de equilíbrio 0 é estável se, dado um ǫ > 0, existe um δ(ǫ) tal que para qualquer condição inicial x(t 0 < δ(ǫ) tem-se que x(t,x 0 < ǫ. A Figura 3.1 ilustra esta definição no plano de fase 3.1(a) e a trajetória 3.1(b). x 2 x e ǫ δ x(0) x 0 ǫ δ t x 1 (a) Espaço de estado (b) Resposta no tempo Figura 3.1: Ponto de equilíbrio estável Um ponto de equilíbrio é instável se ele não for estável. Analisando esta definição concluimos que o ponto de equilíbrio estável implica que a trajetória não se afastará do ponto de equilíbrio mas também não precisará retornar ao mesmo. Em muitas aplicações a trajetória deve retornar ao ponto de equilíbrio. Definição 3 O ponto de equilíbrio 0 é assintóticamente estável se as duas condições seguintes forem atendidas: 1. ele é estável 2. x(t,x 0 ) 0 quando t. A Figura 3.2 ilustra esta definição no plano de fase 3.2(a) e a trajetória 3.2(b). Os conceitos de estabilidade vistos até aqui são essencialmente conceitos locais. Para um sistema com vários pontos de equilíbrio cada ponto de equilíbrio terá uma condição de estabilidade. Porisso fala-se da estabilidade de pontos de equilíbrio e não da estabilidade de sistemas. Um conceito global de estabilidade será visto mais adiante com a definição de estabilidade assintótica global. Definição 4 O ponto de equilíbrio 0 é assintóticamente estável globalmente se ele for assintóticamente estável para qualquer x 0 R n. Observação 1 Todas as definições acima podem ser estendidas para sistemas não-autônomos. Consulte, por exemplo, as referências

23 EEL-UFSC 19 x 2 ǫ x e δ x(0) x 0 ǫ δ t x 1 (a) Espaço de estado (b) Resposta no tempo 3.3 Funções definidas em sinal Figura 3.2: Ponto de equilíbrio assintóticamente estável Nesta seção apresentaremos a definiçào de funções de sinal definido, que serão usadas nos teoremas de estabilidade de Lyapunov. Definição 5 Uma função V (x) é definida positiva localmente em uma vizinhança ω da origem se ela é definida e contínua em ω, V (0) = 0 e V (x) > 0 para x 0 e x ω. é definida positiva. Esta função é representada na Fi- Exemplo A função V (x) = x x2 2 gura 3.3(a). V (x) V (x) x 1 x 1 x 2 x 2 (a) Função definida postiva (b) Função definida negativa Figura 3.3: Funções definidadas em sinal Definição 6 Uma função V (x) é definida negativa localmente em uma vizinhança ω da origem se ela é definida e contínua em ω, V (0) = 0 e V (x) < 0 para x 0 e x ω. Exemplo A função V (x) = (x x2 2 ) é definida negativa. Esta função é representada na Figura 3.3(b). As definições seguintes introduzem a idéia de funções semi-definidas em sinal, que tornam menos severas as exigências de sinal na vizinhança permitindo que as funções sejam zero ao invés de estritamente positivas ou negativas.

24 20 Capítulo 3: Teoria de estabilidade de Lyapunov Definição 7 Uma função V (x) é semi-definida positiva localmente em uma vizinhança ω da origem se ela é definida e contínua em ω, V (0) = 0 e V (x) 0 para x 0 e x ω. Exemplo A função V (x) = x 2 1 é semi-definida positiva. Para qualquer x = (0,x 2) a função é zero. Esta função é representada na Figura 4.2(a). V (x) V (x) x 1 x 2 x 1 x 2 (a) Função semi-definida positiva (b) Função semi-definida negativa Figura 3.4: Funções semi-definidas Definição 8 Uma função V (x) é semi-definida negativa localmente em uma vizinhança ω da origem se ela é definida e contínua em ω, V (0) = 0 e V (x) 0 para x 0 e x ω. Exemplo A função V (x) = x 2 1 é semi-definida negativa. Para qualquer x = (0,x 2) a função é zero. Esta função é representada na Figura 4.2(b). 3.4 Teoremas de estabilidade Nesta seção são apresentados os teoremas que fundamentam a teoria de estabilidade Liapunov. É importante novamente ressaltar que abordaremos apenas o caso de sistemas autônomos mas a teoria é geral e não se limita a este tipo de sistema. Não serão apresentadas demonstrações para estes teoremas, mas estas podem ser encontradas em muitas referências. Teorema 2 Seja o sistema Se em uma vizinhança U do ponto de equilíbrio 0 existe uma função escalar V (x) com as primeiras derivadas parciais contínuas e tal que 1. V (x) é definida positiva em U 2. V (x) é semi-definida negativa em U então o ponto de equilíbrio 0 é estável. Esta teorema apenas assegura a estatabilidade do ponto de equilíbrio, mas não assegura que a trajetória retorna ao ponto de equilíbrio, ou seja, que a estabilidade é assíntótica. Isto é assegurado pelo próximo teorema. Teorema 3 Seja o sistema Se em uma vizinhança U do ponto de equilíbrio 0 existe uma função escalar V (x) com as primeiras derivadas parciais contínuas e tal que 1. V (x) é definida positiva em U 2. V (x) definida negativa em U

25 EEL-UFSC 21 então o ponto de equilíbrio 0 é assintóticamente estável. O próximo teorema fornece as condições para determinar se o ponto de equilíbrio é instável. Teorema 4 Seja o sistema Se em uma vizinhança U do ponto de equilíbrio 0 existe uma função escalar V (x) com as primeiras derivadas parciais contínuas e tal que 1. V (x) é definida positiva em U 2. V (x) definida positiva em U então o ponto de equilíbrio 0 é instável. Os teoremas apresentados indicam apenas a estabilidade local do ponto de equilíbrio. O teorema seguinte apresenta as condições para a estabilidade global. Teorema 5 Seja o sistema Se existe uma função escalar V (x) com as primeiras derivadas parciais contínuas e tal que 1. V (x) é definida positiva 2. V (x) definida negativa 3. V (x) quando x então o ponto de equilíbrio 0 é globalmente assintóticamente estável. Neste caso qualquer que seja a condição inicial, a trajetória retornará ao ponto de equilíbrio. As condições de estabilidade assintótica local ou global exigem que a derivada da função V (x) seja definida negativa. No entanto, um resultado devido a LaSalle permite que, com algumas restrições adicionais, a função precise ser apenas semi-definida negativa. Teorema 6 Seja o sistema 3.1.1, com f contínua, e seja V (x) uma função escalar com as primeiras derivadas parciais contínuas e tal que em uma vizinhança U da origem se tenha 1. V (x) é definida positiva localmente 2. V (x) é semi-definida negativa 3. o conjunto R definido por V (x) = 0 não contem nenhuma trajetória de além da trajetória trivial x 0 então o ponto de equilíbrio 0 é assintóticamente estável. Uma versão deste teorema existe também para a estabilidade assintótica, mas não será apresentado aqui. Observação 2 Uma função V (x) a ser considerada para testar a estabilidade de um um ponto de equilíbrio é chamada uma função candidata de Lyapunov. Se esta função comprova a estabilidade do ponto de equilíbrio ela é chamada de função de Liapunov. Na continuação deste texto usaremos comumente função de Lyapunov sem distinguir os casos anteriores. Observação 3 É interessante notar que os teoremas não indicam como a função V (x) pode ser determinada. Este é um problema apresentado pelo método mas em alguns caso pode-se seguir um procedimento sistemático para construir tais funções.

26 22 Capítulo 3: Teoria de estabilidade de Lyapunov Observação 4 Uma vez que tenhamos determinado que um ponto de equilíbrio é assintóticamente estável, só sabemos que existe uma vizinhança deste ponto para a qual trajetórias que partem desta vizinhança retornam ao ponto de equilíbrio. Seria muito útil se o conjunto de todas as condições iniciais para as quais a trajetória volta ao ponto de equilíbrio pudesse ser determinado. Uma estimativa deste conjunto pode realmente ser conseguida usando funções de Lyapunov como será visto na próxima seção. A esta altura é conveniente analisarmos melhor o significado da derivada da função V (x). Esta é uma função escalar (o valor de V (x) R) de várias variáveis (o vetor x = [x 1 x 2 x n ] T ). Para calcular a derivada devemos então fazer V (x) dt = V (x) x 1 V (x) 1 + x 2 V (x) x n n (3.4.1) ou ainda V (x) dt [ V (x) = x 1 V (x) x 2 + V (x) x n Considerando que o gradiente de V (x), é dado por [ V (x) V (x) V (x) = + x 1 x 2 1 ] 1. 1 ] V (x) ] T x n (3.4.2) e a Equação tem-se que V (x) = T V (x).f(x) (3.4.3) ou seja, oa derivada de V (x) é o produto escalar do gradiente de V (x) com o campo vetorial. A Equação indica que estamos calculando a derivada de V (x) ao longo das trajetórias do sistema 3.1.1, o que é mostrado pelo fato de termos usado o vetor f no calculo desta derivada. A derivada de uma função escalar em uma direção (aqui a direção dada pelo campo vetorial) é chamada derivada de Lie. A Equação permite ainda uma interpretação do significado do método de Lyapunov. Lembrando que o gradiente dá a direção de máximo crescimento da função em cada ponto, ele será perpendicular às curvas de nível da função V (x). Lembrando ainda que o produto escalar é negativo se o ângulo entre os dois vetores é maior do que 90, a derivada da função será negativa se o campo vetorial (tangente às trajetórias) entrar na curva de nível de V (x) da direção de curvas de nível de menores valores. A seguir analisaremos alguns exemplos de aplicação do método de Lyapunov. Exemplo Seja o sistema linear dado por 1 = x 2 (3.4.4) 2 = x 1 (3.4.5) O ponto de equilíbrio é dado por [00] T, ou seja é a própria origem. Temos que procurar uma candidata à função de Lyapunov, o que não é uma tarefa simples. Uma boa tentativa é uma função quadrática dada por Esta função atende aos requisitos para ser uma função de Lyapunov V (x) = x x2 2 (3.4.6) V (0) = 0 (3.4.7) V (x) > 0 x R 2 (3.4.8)

27 EEL-UFSC 23 A derivada em relação ao tempo desta função é calculada por V (x) = V dx 1 x 1 ddt + V dx 2 x 2 ddt = 2x x 2 2 Substituindo-se as derivadas 1 e 2 obtidas do sistema obtem-se que V (x) = 2x 1 x 2 2x 2 x 1 = 0 Portanto a origem é um ponto de equilíbrio estável. Observe que não é possível concluir sobre a estabilidade assintótica já que a derivada de V (x) é apenas semi-definida negativa. Exemplo Seja o sistema dotx 1 = x 1 (x x 2 2 1) x 2 (3.4.9) 2 = x 1 x 2 (x x 2 2 1) (3.4.10) A origem é um ponto de equilíbrio deste sistema. Vamos analisar a sua estabilidade. Novamente a função quadrática V (x) = x x 2 2 será considerada para esta análise. A derivada em relação ao tempo desta função é V (x) = 2(x x 2 2)(x x 2 2 1) Pode-se facilmente verificar que para uma vizinhança da origem esta função é definida negativa. Esta vizinhança é dada por x x x2 2 < 1. esta função é definida negativa Portanto 0 é assintoticamente estável. Exemplo Neste exemplo vamos usar o teorema de LaSalle para provar a estabilidade assintótica de um ponto de equilíbrio. Seja o sistema dado por δ = ω (3.4.11) ω = 1 M (P m P max sen δ) D M ω (3.4.12) Estas equações descrevem o comportamento de uma máquina síncrona conectada a uma barra infinita, como visto no Capítulo 1. O objetivo é estudar a estabilidade do ponto de equilíbrio dado por (δ e 0). Uma candidata para função de Lyapunov deste sistema é V (x) = 1 M M ω2 + δ δ e (P m P max sen delta) dδ (3.4.13) Esta função é do tipo energia e corresponde à soma da energia cinética e potencial da máquina. A função pode ainda ser escrita como Calculando-se V (x) tem-se V (x) = 1 M M ω2 + P m M (δ δ) + P max M (cos δ cos δe ) (3.4.14) V (x) = D ω 2 (3.4.15) Portanto a função é apenas semi-definida negativa o que permite apenas concluir a estabilidade do ponto de equilibrio. No entanto, a função é zero no eixo horizontal dado por omega = 0. Se uma trajetória atingir este eixo, da equação verifica-se que δ = 0, mas ω 0, e portanto a trajetória cruza este eixo. Somente no ponto de equilíbrio tem-se ω = 0. Usando-se o teorema de LaSalle conclui-se que o ponto de equilíbrio é realmente assintoticamente estável.

28 24 Capítulo 3: Teoria de estabilidade de Lyapunov Determinação da região de atração Os resultados anteriores permitiram determinar se um ponto de equilíbrio é assintoticamente estável, como ilustrado pelos exemplos apresentados. Se o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável, isto apenas assegura que existe uma vizinhança do ponto de equilíbrio, que pode ser muito pequena, onde as trajetórias que se originam dentro desta vizinhança retornam ao ponto de equilíbrio. Uma questão importante nas aplicações é saber qual o conjunto de condições iniciais para as quais as trajetórias retornam para o ponto de equilíbrio. Este conjunto constitui o domínio de atração do sistema. O seguinte lema dá algumas propriedades da região de atrção. Teorema 7 Se x = 0 é uma ponto de equilíbrio estável assintoticamente de então seu domínio de atração é um conjunto aberto invariante e a fronteira deste conjunto é formado por trajetórias do sistema A determinação do domínio de atração exato de um sistema não é fácil. Simulação pode ser usada para determinar este domínio. Determinação analítica do domínio de atração só é possível para alguns sistemas simples. Mas pode-se obter uma estimativa do domínio de atração usando funções de Lyapunov. O seguinte teorema permite estimar o domínio de atração. Teorema 8 Seja V (x) uma função escalar e D R n um conjunto aberto e suponha que U = x / V (x) < K com U D, é um conjunto compacto (limitado e aberto). Seja V (x) a derivada de V (x) ao longo das trajetórias de??, e 0 U um ponto de equilíbrio de Se V (0) = 0 V (x) > 0 para x 0, x U V (x) < 0 para x 0, x U V (x) = 0 para x = 0 então a origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável e todas as trajetórias que partem de U convergem para a origem quando t. O teorema pode ser usado para estimar o domínio de atração como indicado na Figura 3.5. V (x) < 0 V (x) = 0 V (x) > 0 Limite da região de atração V (x) = K Figura 3.5: Domínio de atração Nesta figura o conjunto V (x) = 0 separa o D em duas regiões, uma em que V (x) < 0 e outra em que V (x) > 0. A maior curva de nível de V (x) na região onde V (x) < 0 corresponde ao conjunto U e é uma estimativa do domínio de atração. Note que poderia se pensar que todo o conjunto onde V (x) > 0 e V (x) < 0 pertence ao domínio de atração, mas isto não é verdade. Uma trajetória que parte de um ponto externo à eqüipotencial V (x) = K, mesmo com V (x) < 0 pode se deslocar para a região onde V (x) > 0. Isto não ocorrerá para uma trajetória que parta de um ponto que esteja no interior da eqüipotencial, pois, como a derivada de V (x) é negativa, a trajetória tenderá a eqüipotenciais de menor valor, até o ponto de equilíbrio.

29 EEL-UFSC Métodos para a construção de funções de Lyapunov O método de Lyapunov não indica como funções que provem a estabilidade ou não do ponto de equilíbrio podem ser construidas. As funções não são únicas e distintas funções podem ser funções de Lyapunov para um ponto de equilíbrio. Na literatura vários métodos foram desenvolvidos para permitir uma procura sistemática por funções de Lyapunov. Aqui, apenas dois métodos são apresentados visando dar uma idéia de tais métodos. Uma consulta à literatura é recomendável para ser ter uma visão mais completa dos métodos disponíveis Método de Krasovskii Seja o sistema dado por com f(0) = 0, ou seja, a origem é o ponto de equilíbrio de interesse. Seja a candidata a função de Lyapunov onde P é simétrica definida positiva. A derivada de V é dada por Desde que f = f x x t e denotando por J a matriz jacobiana, ou seja, J = f x chega-se a Seja a matriz ẋ = f(x) (3.5.1) V = f T P f (3.5.2) V = f T P f + f T P f (3.5.3) (3.5.4) V = f T J T P f + f T P J f (3.5.5) = f T (J T P + P J)f (3.5.6) Q = J T P + P J (3.5.7) Se condições puderem ser impostas para garantir que Q é definida negativa (ou semi-definida negativa) e desde que V é definida positiva (pois é quadrática e P é definida positiva, então V será uma função de Lyapunov para a estabilidade da origem de Exemplo Funções tipo Lur e Um problema que originou muitos trabalhos, foi a questão da estabilidade de um sistema linear, dado por uma função de transferência G(s), com uma realimentação não-linear f(.), como mostrado na Figura??. A função não-linear f(.) atende a uma condiçào de setor como mostrado na Figura??. O sistema é descrito pelas equações ẋ = Ax f(σ) (3.5.8) σ = c T x (3.5.9) Este problema gerou uma série de trabalhos e Lur e demonstrou que uma candidata a função de Lyapunov para esta classe de sistemas é dada pela soma de uma função quadrática e a integral da não-linearidade: σ V (x) = x T P x + f(σ) dσ (3.5.10) O teorema de Kalman-Yakubovich permite determinar a matriz P. Com isto uma candidata a função de Lyapunov pode ser determinada, mas não avançaremos além deste ponto. 0

30 26 Capítulo 3: Teoria de estabilidade de Lyapunov 3.6 Aplicações do método de Lyapunov O método de Lyapunov constitui um dos fundamentos da teoria da estabilidade de sistemas dinâmicos e é uma ferramente útil em muitas casos para demonstrar a estabilidade de pontos de equilibrio e estimar domínios de estabilidade além de ser uma importante ferramenta teórica usada para derivar resultados. Nesta seção daremos alguns exemplos do uso imediato do método de Lyapunov como ferramenta de análise de sistemas em engenharia e inclusive sintese de controladores Estabilidade transitória de sistemas elétricos O ponto de equilíbrio de um sistema elétrico pode ser estável mas o sistema quando sujeito a uma grande perturbação, um curto-circuito por exemplo, pode ser instável. Um sistema elétrico pode estar sujeito a muitas perturbações (falta é o termo técnico usado na área), como curto-circuitos, perdas de linhas e perda de geração. Para a operação segura do sistema, deve-se verificar se estas faltas causam a perda da estabilidade do sistema, para que ações possam ser tomadas de modo a evitar esta condição. Usualmente esta verificação é feita através da simulação do sistema para cada possível falta crítica. Isto envolve um grande número de simulações já que em grandes sistemas milhares de possíveis faltas devem ser consideradas. Além do tempo computacional envolvido as curvas resultantes de cada simulação devem ser analisadas para verificar se realmente indicam instabilidade. O problema da estabilidade transitória pode ser analisado facilmente pelo método direto de Lyapunov. O que realmente estamos querendo saber é se o estado do sistema, após a retirada da falta, pertence ao domínio de atração do ponto de equilíbrio pós-falta. Este ponto de equilíbrio pode ser diferente do pontos antes da falta (ponto de equilíbrio pré-falta), por exemplo, no caso em que há uma mudança de topologia como conseqüência da perda de uma linha. Poderíamos então resolver o problema de estabilidade transitória seguindo o seguinte procedimento. 1. Estimar o domínio de atração de um ponto de equilíbrio pós-falta. 2. Simular o sistema sob falta desde o ponto de equilíbrio pré-falta até o instante em que a falta é retirada. Este último é o estado do sistema pós=falta. 3. Verificar se o estado do sistema pós-falta pertence ao domínio de atração estimado do ponto de equilíbrio pós-falta. 4. Se o estado pós-falta pertence à estimativa do domínio de atração, o sistema é estável. Caso contrário nada se pode afirmar, já que não se tem o domínio exato de atração e portanto o sistema ainda pode ser estável. Neste caso deve-se simular o sistema para verificar se o mesmo é estável ou instável. O método apresentado permite uma filtragem, identificando os casos que são realmente estáveis e separando-os daqueles que necessitam ser simulados. Isto pode representar uma considerável redução do esforço de análise da estabilidade transitória. Muitas vezes o problema é saber que o máximo tempo que uma falta pode permanecer no sistema sem que haja perda da estabilidade transitória. Um curto-circuito, por exemplo, pode permancer por algum tempo antes de ser isolado. O mesmo procedimento anterior pode ser usado neste caso. A única diferença é que o sistema sob falta seria simulado até o momento em que a fronteira do domínio de atração estimado. O tempo correspondente é o tempo crítico de retirada da falta. No caso de um curto-circuito, este seria o tempo em que o curto-circuito deveria ser retirado. Assim o método pode ser usado para ajuste das proteções do sistema. Os grandes obstáculos ao amplo uso desta abordagem em sistemas reais são a necessidade de usar modelos simplificados do sistema para tornar nfacilitar a determinaçao de uma função de Lyapunov e a dificuldade de conseguir estimativas do domínio de atração que não sejam muito pessimistas com relação ao domínio exato de atração do sistema.

31 EEL-UFSC 27 Como a estabilidade transitória de sistemas de potência envolve um horizonte de tempo bastante curto, em geral da ordem de 1 segundo, a modelagem simplificada é em geral satisfatória. Mesmo assim a presença atualmente no sistema de equipamentos rápidos que influenciam a estabilidade transitória pode tornar necessária a modelagem de tais equipamentos. A simpificação do modelo da rede também tem sido usada e isto pode levar a resultados conservadores (pessimistas). O problema de determinar uma melhor estimativa do domínio de atração é mais complexo. Métodos aproximados tem sido usados que conduzem a bons resultados. Ainda assim este ainda é um problema em aberto, que é objeto de pesquisa. Na UFSC foi desenvolvido o programa SLEP, para análise da estabilidade transitória de sistemas elétricos. Este progrma foi usado na análise do sistema interligado brasileiro, permitindo filtrar um grande número de contingências estáveis. Exercícios 1. Considere o sistema x (0,1 103 ) ẋẋ ẋ + x + x 2 = 10 (3.6.1) Encontre os pontos de equilíbrio. Estude a estabilidade de cada um deles. 2. Considere o sistema descrito por 1 = x 2 a(x x 2 2) (3.6.2) 2 = x 1 ax 2 (x x2 2 (3.6.3) com a > 0. Use V (x) = x x2 2 assintoticamente estável. como candidata à função de Lyapunov e verifique se a origem é 3. Considere o sistema: 1 = x 2 3x 3 x 1 (x 2 2x 3 ) 2 (3.6.4) 2 = 2x 1 + 2x 3 x 2 (x 1 + x 3 ) 2 (3.6.5) 3 = 2x 1 x 2 x 3 (3.6.6) Verifique é a função V (x) = 2x 2 1 +x2 2 +3x2 3 é uma função de Lyapunov para a análise da estabilidade da origem deste sistema. 4. Considere o sistema dado por 1 = 3x 2 x 1 + x 3 1 (3.6.7) 2 = 2x 2 + x 1 x 3 1 (3.6.8) Escolha V (x) = 2x 2 1 2x 1 x 2 +3x 2 2 e determine uma estimativa da região de atração para a origem. 5. Seja o sistema Determine os pontos de equilíbrio. 1 = x 2 (3.6.9) 2 = 2bx 1 ax 2 3x 2 1 (3.6.10) Examine a estabilidade da origem usando V (x) = bx x3 1 + x2 2 2 Lyapunov. como candidata a função de