Microeconomia II - Gabarito Lista 3 - Monopólio

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1 Microeconomia II - Gabarito Lista 3 - Monoólio Tiago Ferraz 1 de outubro de Nicholson - Questão 14.5 a) Se A = 0, a demanda inversa será Q = 0 P P = 0 Q E a função custo C = 10Q + 15 O roblema do monoolista é escolher a quantidade Q m que irá imizar o seu lucro Q Substituindo na demanda inversa: 0 Q)Q 10Q 15 = 10Q Q Q 15 CP O : 10 Q = 0 Q m = 5 O lucro desta firma será P = 0 Q m = 0 5 P m = 15 π = π m = 10 b) Agora, o roblema da firma será escolher Q e A que imizam o seu lucro. A demanda inversa é Portanto, o roblema da firma é P = 0 Q 1 + 0, 1A 0, 01A 0Q Q 10Q 15 A Q,A 1 + 0, 1A 0, 01A Q,A 10Q Q 1 + 0, 1A 0, 01A 15 A Note que agora são duas variáveis de escolha, ortanto recisamos de duas condições de 1

2 rimeira ordem: Q) : 10 Q 1 + 0, 1A 0, 01A = , 1A 0, 01A ) = Q 10 1) Substituindo a equação 1) em ) Q.0, 1 0, 0A) A) : 1). 1 0, 1A 0, 01A ) 1 = 0 ) Q.0, 1 0, 0A) 4Q 100 = 100Q 4Q.0, 1 0, 0A) 1 = 0, 5 0, 5A 1 = 0 A = Substituindo o valor de A na equação 1) Q A = 3 = 1 + 0, 3 0, 09 Q = 5.1, 1 Q = 6, 05 Substituindo estes valores na demanda inversa e na função lucro encontramos P = 15 π = 1, 5. a) Um subsídio lum sum não afeta a escolha ótima do monoolista, ois estamos simlesmente adicionando uma constante ao roblema. q q).q + T cq) A condição de rimeira ordem deste roblema é a mesma do caso em que não existe o subsídio CP O : q).q + q) cq) = 0 q q }{{}}{{} RMg CMg b) O subsídio or unidade de roduto equivale a um deslocamento ara baixo da curva de oferta. O exemlo abaixo é ara uma demanda linear. Mas a ideia ode ser generalizada ara qualquer formato.

3 c) Com o subsídio or unidade, o roblema do monoolista é q A condição de rimeira ordem neste caso é CP O : q) q q) + t).q cq).q + q) + t cq) = 0 q q).q + q) q }{{} RMg = cq) q }{{} CMg Note que odemos reescrever a receita marginal como t [ RMg = q). 1 + q) q. q ] O segundo termo da soma é simlesmente o inverso da elasticidade-reço: 1 = q) q, q Portanto, [ RMg = q) ] q, Substituindo na exressão da CPO: [ q) ] = CMg t q, 3

4 Sabemos que na escolha socialmente ótima = CMg. Portanto, + q, = t t = 1 q, 3. a) O roblema do monoolista é escolher a quantidade q m que imiza o seu lucro q a bq)q cq F = q a c)q bq F Substituindo na demanda Portanto, o lucro do monoolista será CP O : a c) bq = 0 q m = a c b = a b. a c b m = a + c πq m ) = a c) a c b ) a c b F πq m ) = b a c) 4b b) Podemos usar o gráfico da questão anterior ara analisa esta questão. A erda de eso morto é dada ela área do triângulo destacado. A área do triângulo é dada or F DW = 1.m )q q m ) Já encontramos os valores ara m e q m e sabemos que no equilíbrio cometitivo = CMg. Portanto, só recisamos encontrar uma exressão ara a quantidade de equilíbrio cometitivo q. Como = Cmg, temos Portanto, a erda de eso morto deverá ser DW = 1. a + c a bq = c q = a c b ) a c c. a c ) = 1 ) a c a c b b.. b DW = 1 ) a c b. Como o enunciado nos diz que b > 0 e a > c, sabemos que o eso morto será necessariamente ositivo. c) No caso em que m = = CMg, o lucro do monoolista será πq) = c)q F = )q F = F ) 4

5 No longo razo, se a firma oera com retornos constantes de escala, o custo fixo F deixa de existir orque no longo razo todos os fatores são variáveis). Neste caso, a firma teria lucro econômico π = 0 e a olítica oderia ser sustentada. Mas, se a firma oerar com retornos crescentes de escala, sabemos que ela terá custo marginal decrescente, o que significa que o custo médio será também decrescente. Neste caso, no longo razo a firma assa a ter rejuízo e deixará de oerar. 4. a) Como existem 100 indivíduos de cada tio, odemos escrever as demandas inversas como q 1 = = 30 q 1 q = 3 = 15 1 q Para obter a demanda total de mercado, recisamos somar as duas demandas dadas. Mas, note que como os intercetos são diferentes, teremos um caso esecial em que a demanda total é quebrada Note que como o interceto do mercado é = 15, ara qualquer reço acima deste nível a demanda total será dada somente ela demanda do mercado 1. Para qualquer reço menor ou igual a 15, a demanda agregada é a soma das demandas nos dois mercados. Assim, a função demanda inversa é definida or 30 q, se q 15 = 0 1 q, se q 15 3 Portanto, a receita total da firma é dada or 30q q, se q 15 RT = 0q 1 3 q, se q 15 5

6 E, ortanto, a receita marginal é 30 q, se q < 15 RMg = 0 q, se q > 15 3 Note que em q = 15 a receita marginal sequer está definida nem oderia, já que a demanda inversa não é diferenciável neste onto). Sabemos que ara imizar o lucro, a firma monoolista irá escolher a quantidade q m tal que RMg = CMg. Portanto, 30 q = 1 q m = 18 = 9 < q = 1 qm = 4 = 1 < 15 Note que na rimeira equação, a quantidade encontrada q m reseita a restrição, mas na segunda não. Portanto, a quantidade ótima ara o monoolista é q m = 9, o que imlica que o reço cobrado será m = 1. b) Se o monoolista uder discriminar reços, seu roblema será escolher as quantidades que irá ofertar em cada mercado ara imizar o seu lucro total: πq 1, q ) = 30 q 1 )q ) q 1,q q q 1q 1 + q ) q 1,q 18q 1 q 1 + 3q 1 q Como são duas variáveis de escolha, temos duas condições de rimeira ordem: q 1 ) : 18 q 1 = 0 q m 1 = 9 q ) : 3 q = 0 q m = 3 Portanto, os reços cobrados em cada mercado serão 1 = 30 9 = 1 = 15 3 = 7 c) No caso da tarifa em duas artes o monoolista irá cobrar em cada mercado um reço or unidade, i, mais uma arcela fixa, a i. Para que consiga extrair o máximo de excedente do consumidor, EC, ele irá cobrar i = CMg e como arcela fixa, a i = EC i. Sabemos que em cada mercado, i = 1. Para calcular EC i recisamos encontrar em cada mercado a quantidade qi que imiza o excedente total, ou seja, a quantidade de equilíbrio cometitivo. Para isto, basta igualar as demandas inversas ao custo marginal e resolver ara q i 6

7 1 = 1 30 q 1 = 1 q 1 = 18 = q = 1 q = 6 Sabemos então que a arte fixa da tarifa será, ara cada consumidor, o seu excedente. Isto é, a área de cada triângulo: a 1 = )18 = 16 a = )6 = 9 Como cada mercado é comosto or 100 indivíduos, a arcela fixa é dividida igualmente entre eles. Portanto, as tarifas cobradas serão: T 1 q 1 ) = a q 1 = 1, 6 + 1q 1 T q ) = a + q = 0, q Note que este resultado é eficiente, orque o monoolista irá extrair todo o excedente. 7

8 d) Para que ossa extrair todo o excedente dos consumidores o monoolista continua cobrando = CMg. O que ele recisa decidir agora é qual será a arcela fixa que irá cobrar de cada consumidor. O que restringe o valor que ele ode cobrar é o tamanho do excedente do consumidor com maior elasticidade-reço da demanda. Se o monoolista cobra uma arcela fixa muito alta ele irá exulsar estes consumidores do mercado. Mas, note que isto não é necessariamente um roblema, desde que o excedente dos consumidores que ermanecem no mercado, aqueles de tio 1, for suficientemente grande ara comensar a erda do tio. O monoolista irá decidir ela tarifa que ermita que seu lucro seja o mais alto ossível. Como ele define = CMg, sabemos que seu lucro será π m = a + c)q m = a Se definir uma taxa de entrada que atenda a ambos os consumidores, o máximo que ele oderá cobrar é o excedente do consumidor de tio. Como são 00 consumidores agando a mesma arcela fixa, seu lucro será π m = 00.0, 09 = 18 Por outro lado, se ele decidir or uma taxa de entrada mais alta, ele deve cobrar o excedente dos consumidores do tio 1. Neste caso, como a tarifa exulsa do mercado os consumidores de tio, restam aenas 100 indivíduos consumindo. Neste caso, seu lucro será π m = 100.1, 6 = 16 Como esta situação ermite que ele obtenha um lucro mais alto, a tarifa que ele irá cobrar é T q) = 1, 6 + 1q Este resultado não é eficiente, ois está exulsando do mercado os consumidores do tio, que gostariam de consumir o bem se a tarifa fosse mais baixa. 5. Em rimeiro lugar, sabemos que em equilíbrio demanda é igual à oferta, ortanto: y 1 = x 1 1, ) y = x 1, ) Como a função custo é searável, temos que c 1 y 1 ) = c 1 x 1 ) c y ) = c x ) 8

9 Derivando as funções custo em relação a x i, obtemos os custos marginais: Sabemos que o roblema do monoolista é CMg 1 = c 1x 1 ) x 1 CMg = c x ) x 1 x 1 1, ) + x 1, ) c 1 x 1 1, )) c x 1, )) 1, Como são duas variáveis de escolha, recisamos de duas condições de rimeira ordem não se esqueça da regra da cadeia!): 1 ) : x 1 1, ) + 1 x x 1 c 1 x 1 x 1 1 c x x 1 = 0 x 1 1, ) + x [ 1 1 c ] 1 + x [ c ] = 0 1) 1 x 1 1 x ) : x 1, ) + x 1 + x 1 c 1 x 1 x 1 c x x = 0 x 1, ) + x [ 1 1 c ] 1 + x [ c ] = 0 ) x 1 x Podemos reescrever a equação ) como: c x }{{} CMg = x 1, ) x } {{ } a [ x 1 1 c 1 x 1 x ] } {{ } b 3) A questão nos ede ara verificar em que condições a firma ode escolher oerar abaixo do custo marginal na rodução do bem. Neste caso, o lado esquerdo da equação 3) deve ser negativo. Em rimeiro lugar, sabemos que na escolha ótima da firma x 0 e que, como os bens são comuns, x < 0, o termo a será não negativo. Isto significa que o termo b deve ser negativo e maior em módulo) do que a. [ Para ver que isto é verdade, note que 1 c ] 1 > 0, do contrário a firma estaria oerando com x 1 rejuízo em ambos os bens. Como já falamos antes, o denominador desta fração é negativo bem comum), ortanto, ara que o termo b seja negativo é reciso que x 1 < 0. Ou seja, a demanda elo bem 1 deve cair quando aumentar o reço do bem. Em outras alavras, os bens 1 e devem ser comlementares. 9

10 A intuição or trás deste resultado é que, como os bens são comlementares, ao reduzir o reço do bem, mesmo oerando com rejuízo neste roduto, o monoolista irá ser comensado elo aumento na demanda do bem. 6. a) O roblema do monoolista é y 70 y)y 6y y 64y y b) O novo roblema do monoolista é CP O : 64 y = 0 y m = 3 = 70 y m = 70 3 m = 38 y 70y y 0, 5y + 5y 300 c) Agora, o roblema do monoolista é y 75y 5 4 y 300 CP O : 75 5 y = 0 ym = 30 = 70 y m = m = 40 y 70y y 0, 0133y 3 + 5y 50 y 75y y 0, 0133y 3 50 CP O : 75 y 0, 04y = 0 y = ± , 08 = ± 4 0, 08 Como não faz sentido ensar em quantidades negativas, odemos descartar uma das raízes desta equação. Portanto, y = y m = 5 = 70 5 m = O objetivo desta questão é mostrar o que acontece com a decisão do monoolista se for relaxada a hiótese de não arbitragem. a) Neste item estamos suondo que é válida a hiótese de não arbitragem. Ou seja, o monoolista estabelece reços distintos em cada mercado e não se reocua com ossibilidade de que alguém ossa comrar no mercado com reço mais baixo e vender no mercado com reço mais alto. 10

11 As funções demanda inversa deste monoolista são a = 55 y A B = 35 1 y B O roblema deste monoolista é escolher as quantidades y A e y B que imizam o seu lucro 55 y A )y A ) y A.y B y B y B 5y A + y B ) y A,y B 50y A y A + 30y B 1 y B Como são duas variáveis de escolha, recisamos de duas condições de rimeira ordem Substituindo nas demandas: y A ) : 50 y A = 0 y m A = 5 y B ) : 30 y B = 0 y m B = 30 A = 55 5 = 30 B = = 0 π m = π m = 1075 b) Agora, começamos a relaxar a hiótese de não arbitragem. Suondo que haja aenas um custo de transorte de R$ 5,00 entre ambas as cidades, o monoolista já não será mais livre ara estabelecer o reço que quiser, orque se a diferença de reços for suficientemente alta, os consumidores do mercado que tem reço mais alto odem se deslocar ao mercado com reço mais baixo. Neste caso, o equilíbrio seria o monoolista surir a demanda de ambos os mercados, mas ao reço mais baixo. Para resolver este roblema, o que fazemos é adicionar uma restrição ao roblema do monoolista. Sabemos que o monoolista irá cobrar um reço mais alto no mercado que for mais inelástico, ou seja, naquele em que os consumidores são menos sensíveis a variações nos reços. É fácil ver que neste caso, trata-se do mercado A a curva de demanda inversa no mercado A tem inclinação maior do que a do mercado B). Assim, sabemos que nossa restrição deverá ser A B + 5 Como a função lucro é crescente no reço, a restrição irá valer com igualdade Portanto, o roblema do monoolista será A = B

12 y A,y B A c)y A + B c)y B s.t. A = 5 + B Usando as demandas inversas nesta restrição, vamos estabelecer uma relação entre y A e y B e simlificar o roblema: A = 5 + B 55 y A = 40 1 y B y A = y B Portanto, odemos resolver o roblema do monoolista como y B 35 1 ) y B ) y B ) y B y B y B 3 4 y B + 40y B + 55 CP O : 3 y B + 40 = 0 y m B = 80 3 B = m B = 65 3 A = m A = 80 3 Neste caso o lucro do monoolista será q A = qm A = 85 3 π m = 3 4 ) πm = 1058, 33 Note que o lucro do monoolista diminuiu em relação ao item anterior, como seria de se eserar uma vez que ele erde a liberdade de escolher o reço que quiser. c) Neste item a lógica é exatamente a mesma do item anterior. Ao zerar o custo de transorte, estamos obrigando o monoolista a cobrar o mesmo reço em ambos os mercados. Caso contrário, alguém oderia se aroveitar da diferença de reços ara arbitrar. Assim, o roblema do monoolista agora é y A,y B A c)y A + B c)y B s.t. A = B Resolveremos exatamente da mesma forma anterior: A = B 55 q A = 35 1 q B q A = q B 1

13 Assim, o roblema do monoolista é 30 1 ) y A,y B y B ) y B ) y B y B y B 3 4 y B + 35y B CP O : 3 y B + 35 = 0 y m B = 70 3 B = m B = m A = 70 3 q A = qm A = 95 3 π m = 3 4 ) πm = 1008, 33 Como era eserado, sem custos de transorte o lucro do monoolista cai ainda mais, orque agora ele já não ode discriminar reços entre os mercados. 8. Com a discriminação de segundo grau, o monoolista irá oferecer dois acotes diferentes. Para o consumidor do tio 1, ele oferece um acote com x 1 unidades or um reço 1. Para o consumidor do tio, um acote com x unidades or um reço. Assim, o roblema deste monoolista é 1 x 1 ) + x ) cx 1 + x ) 1, Como as demandas inversas são contínuas e diferenciáveis, sabemos que elas também são integráveis. Portanto, odemos reescrever o roblema do monoolista como x1 x 1,x 0 1 q)dq } {{ } 1 x1 + 0 x 1 q)dq + x 1 } {{ } q)dq cx 1 + x ) Note que, como 1 q) < q) q, o acote do consumidor tio vai custar mais caro do que o acote do consumidor tio 1. Agora, recisamos encontrar as condições de rimeira ordem. A Regra de Leibniz nos diz que a derivada da integral é simlesmente o integrando avaliado no limite suerior menos o integrando avaliado no limite inferior não esqueça a Regra da Cadeia). Ou seja, derivando a função lucro em relação a x 1 e x temos x 1 ) : 1 x 1 ) ) + 1 x 1 ) ) x 1 ) c x 1 + x ) = 0 1 x 1) c x 1 + x ) = x 1) 1 x 1) 1) 13

14 x ) : x ) c x 1 + x ) = 0 x ) = c x 1 + x ) ) A equação ) nos mostra que o reço or unidade que o monoolista irá cobrar é igual ao custo marginal de rodução. Já a equação 1) mostra a relação que é edida ela questão: a diferença entre o reço do acote do tio 1 e o custo marginal é igual à diferença entre as demandas dos dois tios. 9. a) O roblema deste monoolista é α β) cα β) α β αc + βc CP O : α + βc β = 0 m = α + βc β x m = α β. α + βc β x m = α βc O índice de Lerner é dado or L = 1, onde η é a elasticidade-reço da demanda. Lembrando η que a elasticidade é O índice de Lerner será η = dx d x = β. α + βc β α βc = α + βc α βc L = 1 η = α βc α + βc Para calcular o eso morto, como já temos os reços e quantidades de monoólio, recisamos aenas encontrar a quantidade de equilíbrio cometitivo, x. Como o reço cometitivo é = CMg, sabemos que x = α β x = α βc Assim, como a demanda é linear, sabemos que o eso morto será a área do triângulo DW = 1 m )x x m ) = 1 [ α + βc β DW = 1 [ ] [ ] α βc α βc DW = β ] [ c α βc α βc ] α βc) 8β 14

15 b) Agora, o roblema do monoolista é A elasticidade-reço da demanda é t)α β) cα β) α + βt + βc) β αc + t) CP O : α + βt + c) β = 0 m = α + βt + c) β α + βt + c) x = α β. x m α βt + c) = β E o índice de Lerner η = dx d x = β. α + βt + c) β α βt + c) α + βt + c) η = α βt + c) L = 1 η L = α βt + c) α + βt + c) As condições de equilíbrio cometitivo não mudam, ortanto o eso morto é DW = 1.m )x x m ) = 1 [ α + βt + c) β ] [ c α βc ] α βt + c) DW = 1 [ α βc+ + t ] [ α βc + t ] DW = β α βc) 8β + t 8 Como era de se eserar, agora o eso morto é maior, orque o monoolista não consegue reassar todo o imosto ara o consumidor. A fração do imosto que é reassada é simlesmente a diferença no reço do monoolista nas situações com e sem imosto: 10. a) O roblema do monoolista é m m t = α + βc β α + βt + c) β.α c.α = t α 1 c.α CP O : 1 ) α + c. α 1 = 0 1 ) + c = 0 m = c. Note que lim 1 m < 0 e lim 1+ m = +. Como os limites laterais são diferentes, o reço não 15

16 está bem definido ara 1. Esta é a formalização matemática, ara este caso em articular, de um conceito que nos é familiar: o monoolista não roduz no trecho inelástico da demanda. b) No item anterior, encontramos o reço cobrado elo monoolista, m. quantidade roduzida, basta substituir na curva de demanda: A elasticidade-reço desta demanda é Portanto, o índice de Lerner é x) = α x m ) = α c ) η = dx d x = α 1 α = 1 1) = Para encontrar a L = 1 η = 1 A erda de eso morto é a ineficiência causada elo monoólio, ao roduzir uma quantidade diferente daquela que seria roduzida em equilíbrio cometitivo. Ou seja, é a área abaixo da curva de demanda e acima do custo marginal, entre a quantidade de monoólio e a quantidade cometitiva. Como esta demanda não é linear, não odemos mais calcular a área de um triângulo. Temos que integrar a função demanda inversa, entre estes dois intervalos e subtrair a área do retângulo de base x x m ) e altura. A área sob a curva de demanda é x x m x)dx = x x m α ) 1 x dx = α 1 x 1 1 = α x x m [x 1 1 ] x x m 1) Sabemos que no equilíbrio, = CMg, ortanto E como já vimos no item anterior x = αc 16

17 ) c x m = α Basta substituir estes valores na equação 1) ara obter α 1 [ αc ) 1 c α ] ) 1 = α 1 [ [ ] )] αc ) 1. 1 α ) c ) 1 1 [ ] ) ) Esta é a medida de toda a área abaixo da curva de demanda. Agora, vamos calcular a área do retângulo. x x m ) = [ αc α ) ] [ ] )] c c = [αc 1 c = [ ] ) αc 1 1 Portanto, a erda de eso morto é dada ela diferença entre as equações ) e 3): 3) DW = α ) c ) 1 1 [ ] [ ] ) [ ] ) [ ) αc = α 1 c + 1) c1 c) Com o imosto, o roblema do monoolista é t).α c.α α 1 α c + t) CP O : 1 ) α + α 1 c + t) = 0 1 ) + c + t) = 0 m = c + t) Note a semelhança com o item a) acima. A única diferença é que estamos acrescentando ao custo, c, o imosto, t. Assim, temos que a quantidade roduzida será x m = α m [ = α c + t) A erda de eso morto também se resolve de maneira semelhante, aenas acrescentando ao custo, c, o imosto, t. Deste modo, ] 17

18 DW = α 1 [ ] ) [ ] 1 c + t)1 c + t) + 1) A elasticidade-reço da demanda não muda, o que significa que o índice de Lerner também não vai mudar. η = dx m d m x = α 1 m m α m = 1 1) = m m L = 1 η = 1 Este resultado não tem nada de surreendente. Não há nenhuma razão ara eserar que a introdução do imosto afete o oder de mercado do monoolista. Para ver qual a fração do imosto que o monoolista reassa ao consumidor, vamos simlesmente fazer a diferença de reços nas duas situações, dividida elo imosto, t. c + t) F m = c = t t t = Como vimos no item a), ara que o reço esteja definido, > 1, ortanto, a fração reassada elo monoolista, F m é necessariamente maior do que 1. Ou seja, o monoolista se aroveita do imosto ara aumentar seu reço ainda mais. No caso do equilíbrio cometitivo, como = CMg, a introdução do imosto faz com que o custo marginal aumente em t. Portanto, a fração reassada ao consumidor será 11. Sabemos que a função lucro do monoolista é F c = c + t c t = 1 πx m ) = m c)x m Já vimos na questão anterior que o reço escolhido elo monoolista é m = c. Para um dado valor de x m = x, temos que o lucro deende de somente através do efeito que este arâmetro tem no reço. Logo, π = = c ) Isto significa que quanto maior for o arâmetro, ou seja quanto mais reço-elástica for a demanda, menor o reço que o monoolista ode cobrar e, ortanto, menor o seu lucro. 18

19 1. O roblema do monoolista deste monoolista é q).q cq) t.q q 0 Como a função lucro é côncava em q, sabemos que a condição de rimeira ordem é uma condição suficiente ara imizar a função. Assim, CP O : q).q + q) c q) t = 0 Queremos encontrar o imosto ótimo t tal que a quantidade roduzida elo monoolista seja a quantidade eficiente q. Como sabemos, a quantidade eficiente é tal que = CMg, ou seja, tal que q ) = c q ). Portanto, q ).q q + ) c q ) t = 0 t = q ).q } {{} 0 19