RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 Marcel Merlin dos Santos

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Valentina Castelo Marinho
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1 03/11/017 RESISTÊNIA DOS MATERIAIS Marcel Merlin dos Santos TENSÃO EM EIXOS QUE SE DEVE À ARGA AXIAL E À TORÇÃO Ocasionalmente os eios circulares são submetidos a efeitos combinados de carga aial e torção. Desde que o material ermaneça linear-elástico e esteja sujeito aenas a equenas deforações, odemos usar o rincíio de suerosição ara obter a tensão resultante no eio devida a ambas as cargas. As tensões rinciais são determinadas tanto elas equações de transformação de tensão como elo círculo de Mohr. EXERÍIO Uma força de 900 N e um torque de,50 Nm estão alicados ao eio mostrado na figura. Suondo que o eio tenha diâmetro de 40mm, determinar as tensões rinciais do onto P de sua suerfície. 1

2 03/11/017 VARIAÇÕES DE TENSÃO AO LONGO DE UMA VIGA PRISMÁTIA As vigas resistem tanto ao cisalhamento como ao momento fletor, logo a análise deverá considerar a alicação das equações vistas na rimeira arte do semestre. Vamos analisar o comortamento da viga quando sujeita a carga P na etremidade. τ σ EXERÍIO A viga em balanço (engastada com seção retangular está submetida a uma força de 5 ki. Determinar as tensões rinciais no onto A.

3 03/11/017 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES O estado geral de deformações é reresentado ela combinação de três comonentes normais (,,z e três comonentes de cisalhamento (,z,z. Estas comonentes são obtidas através de etensômetros, os quais medem as comonentes em esecíficas direções. Para se obter as deformações em outras direções, recisa-se transformar os dados. Lembrem-se que estamos falando de deformações esecíficas (adimensionais ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES Esecificamente vamos desconsiderar as comonentes z, z e z. Assim, teremos duas comonenter normais ( e e uma comonente de cisalhamento (. Observe que as deformações normais são roduzidas or mudanças no comrimento nas direções e, e a deformação or cisalhamento é roduzida ela rotação relativa de dois lados adjacentes do elemento. Aesar de o estado lano de deformação e o estado lano de tensão ter 3 comonentes no mesmo lano, deve-se entender que o estado lano de tensão não causa um estado lano de deformação ou vice-versa, or conta do efeito de Poisson 3

4 03/11/017 onhecidas as comonentes das deformações e, é imortante estabelecer equações de transformação que odem ser usadas ara determinar as comonentes de deformação normal e or cisalhamento em e. Isso é feito, basicamente, usando relações geométricas e requer as relações de deformações e rotações entre segmentos de linha que reresentam os lados dos elementos. onvenção de sinal: deformações normais ositivas -> alongamento ao longo dos eios e ; deformações de cisalhamento ositivas se o ângulo AOB for menor que 90o. O roblema aqui será determinarmos ara um onto as deformações normal e cisalhamento, e em relação aos eios e, se conhecermos, e, medidas em relação aos eios,. Se o ângulo entre os eios e for θ, então, será ositivo se o sentido for anti-horário. 4

5 03/11/017 A fim de desenvolver a equação de transformação de deformação da deformação ara determinar,devemos determinar o alongamento de um segmento de reta d, localizado ao longo de e submetido aos comonentes de deformação,,. As comonentes da reta d ao longo dos eios e são: d d' cosθ d d' senθ Quando ocorre a deformação normal ositiva, a reta d é alongada d, o que rovoca o alongamento d cosθ da reta d. Da mesma maneira, quando ocorre uma deformação, a reta d alonga-se d, o que rovoca o alongamento d sen θ da reta d. Finalmente, suondo que d ermaneça fia, a deformação or cisalhamento, que consiste na mudança de ângulo entre d e d, rovoca o deslocamento d ara a direita do too da linha d. Essa condição rovoca o alongamento d cos θ de d. Se os três alongamentos forem somados, o alongamento resultante de d será: δ' d + d senθ + d 5

6 03/11/017 Sabe-se que: δ' d d ' ; cosθ ; senθ d' d' d' δ' d d d + senθ + d' d' d' d' cos θ + sen θ + senθ ; ' 1+ cos sen( θ senθ cosθ;cos θ + ' + cos ( θ ( θ + sen( θ ;cos θ + sen θ 1 A equação ara encontrar é desenvolvida considerando a intensidade da rotação que cada segmento de reta d e d sofre quando submetido aos comonentes da deformação,,. Primeiramente vamos considerar a rotação de d, definida elo ângulo no sentido anti-horário α mostrado. A rotação em d ode ser obtida através de δ, usando-se αδ /d. Para obter δ, considera-se as 3 comonentes de deslocamento na direção, formando: δ' d senθ + d d senθ α ( + senθ sen θ d d cosθ ; senθ d' d' δ' d d d senθ + senθ d' d' d' d' α senθ + senθ sen θ 6

7 03/11/017 A reta d gira β. Podemos determinar este ângulo substituindo θ+90 or θ. Usando as identidades sen (θ+90 cos (θ, cos (θ+90 -sen (θ, temos: ( + senθ cos θ β omo α e β reresentam a rotação dos lados d e d de um elemento infinitesimal cujos lados estavam orientados inicialmente ao longo dos eios e e β tem direção oosta a α, a deformação or cisalhamento ode ser determinada or: α β senθ + cos θ sen θ ' ' ( ( 1+ cos sen( θ senθ cosθ ;cos θ ' ' ( sen ( θ ( θ + cos( θ ;cos θ + sen θ 1 Para encontrarmos a equação de, basta substituir o ângulo θ+90 em θ na equação de, obtendo: + ' + cos + ' + cos + ' ' cos [ ( θ + 90 ] + sen[ ( θ + 90 ] ( θ sen( θ ( θ sen( θ 7

8 03/11/017 DEFORMAÇÕES PRINIPAIS omo na tensão, a orientação do elemento em um onto é determinada de modo que a deformação do elemento seja reresentada or deformações normais, sem deformação or cisalhamento. Quando isso ocorre, as deformações normais são denominadas deformações rinciais e, se o material for isotróico, os eios ao longo dos quais elas ocorrem coincidem com os eios que definem os lanos de tensão rincial. Da mesma forma que: σ + σ σ σ σ 1, + τ ± ( θ τ σ σ Podemos reescrever a equação em função das deformações da seguinte maneira: 1, + ± + ( θ ( DEFORMAÇÕES PRINIPAIS Da mesma forma que: ( θ σ σ τ σ σ τ ma + τ ² Podemos reescrever a equação em função das deformações da seguinte maneira: ( θ ( σ ma + med σ + σ med + 8

9 03/11/017 EXERÍIO O elemento infinitesimal que reresenta um onto do material está sujeito ao estado lano de deformações 500(1e-6, -300(1e-6 e 00(1e- 6, o qual tende a torcê-lo como mostra a figura. Determinar as deformações equivalentes que atuam sobre um elemento orientado a no onto a 30o no sentido horário em relação à osição original. ' ' EXERÍIO o 500 ; 300 ; 00 ; θ 30 + ' + cos ' + ' cos ' ' ' ( sen ' ' 793 ( θ + sen( θ ( θ sen( θ ( θ + cos( θ ( sen( 60 + cos( cos cos 00 ( 60 + sen( ( 60 sen( ,4 9

10 03/11/017 EXERÍIO O elemento infinitesimal que reresenta um onto do material está sujeito ao estado lano de deformações -350(1e-6, 00(1e-6 e 80(1e- 6, o qual tende a torcê-lo como mostra a figura. Determinar as deformações rinciais e a orientação do elemento a elas corresondente. EXERÍIO 350 ; 00 ; ( θ 80 6 ( ( o θ 8,8 ;θ 171,7 o θ 4,14 ; θ 85,9 o o 80 ( θ θ 40,9; θ 130,9 ( ( θ 81,7; θ 61,7 80 med ma ma

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