LOQ Fenômenos de Transporte I

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1 LOQ Fenômenos de Transorte I FT I 04 Pressão e Estática dos fluidos Prof. Lucrécio Fábio dos Santos Deartamento de Engenharia Química LOQ/EEL Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reroduzidas estritamente com fins didáticos.

2 Objetivos Ao concluir esta Unidade você deverá ser caaz de: Determinar a variac a o da ressa o em um fluido em reouso; Calcular as forc as exercidas or um fluido em reouso em suerfi cies submersas lanas ou curvas; Analisar o emuxo

3 Introdução Esta unidade trata dos fluidos em reouso. Nesta situação, as tensões de cisalhamento são nulas e as únicas forças que atuam nestas suerfícies são as rovocadas ela ressão. O rincial objetivo é o estudo da ressão, de como ela varia no meio fluido e seu efeito sobre suerfícies submersas. A ausência das tensões de cisalhamento simlifica muito a modelagem dos roblemas e, como veremos, nos ermite obter soluções relativamente simles ara muitos roblemas de engenharia. 3

4 Pressão A ressão é definida como uma força normal exercida or um fluido or unidade de área. Unidade: N m N 1 1Pa m Outras três unidades de ressão muito utilizadas na rática, rincialmente, na Euroa são: bar, atmosfera adrão e quilograma-força or centímetro quadrado. 1bar 10 1atm Pa 101,35KPa 1,0135bar 1kgf 1kgf 1kgf / cm / cm / cm 5 Pa 0,1M Pa 100KPa 9,807N / cm 0,9807bar 0,9679atm 9,807x10 4 N / m 9,807x10 4 Pa 4

5 Pressão absoluta e ressão relativa A ressão é uma grandeza escalar que ode ser medida em relação a qualquer referência arbitrária. Duas referências são utilizadas na medida de ressão: O vácuo absoluto 1 ; e A ressão atmosférica local ( atm, local ) Assim, definem-se: Pressão absoluta aquela que tem como referência o vácuo absoluto, abreviada or abs ; e Pressão relativa (efetiva, manométrica ou iezométrica) aquela que tem como referência a ressão atmosférica local, abreviada or rel. 1 Vácuo absoluto é a região do esaço onde não há matéria, inclusive ar atmosférico 5

6 Graficamente: Pressão no reservatório 1 P rel 1 > 0 P abs 1 > 0 P rel < 0 P atm, adrão (nível do mar) 1 atm = 760 mmhg P atm, local (< P atm, adrão ) Pressão barométrica P abs > 0 Pressão no reservatório Vácuo absoluto (P abs = 0) Associação de níveis e ressões ara definição de ressão absoluta e ressão relativa (efetiva) abs = atm local + rel (1) 6

7 Graficamente: Pressão no reservatório 1 P rel 1 > 0 Suondo: P abs 1 > mmhg P rel < mmhg P abs > 0 P atm, adrão 1 atm = 760 mmhg P atm, local (< P atm, adrão ) Qual será a P rel? Pressão no reservatório Vácuo absoluto (P abs = 0) abs = atm local + rel 7

8 Pressão em um onto Considere o elemento fluido com formato de cunha mostrado na Figura abaixo. Vamos alicar a segunda lei de Newton ara as direções x e z, em que o volume é ΔV = (ΔxΔyΔz)/. z Por questão de simlicidade as forças atuando na direção y não são aresentadas e o eixo z é vertical. x Δz Δy Δz Δy Δs ρgδv s Δs Δy θ θ x y Δx z Δx Δy Forças atuando em um elemento fluido 8

9 9 Ao alicar a segunda lei de Newton ao elemento, ara as direções: x e z. sen s z cos s x x s x x x a z y x y sen s y z ma F () z s z z z a z y x y cos s z y x g y x ma F (3) x a x s x (4) z g) (a z s z (5) Qual o significado disso??? x F m Analisando a geometria da figura, tem-se: Substituindo os valores de Δz e Δx nas equações () e (3), resectivamente, tem-se:

10 Note que, no limite em que o elemento diminui até um onto: x 0 z 0 O lado direito das equações (3) e (4) vão a zero, mesmo ara fluidos em movimento, resultando que, em um onto, x z s Obs.: Como θ é arbitrário, essa relação é valida ara todos os ângulos em um onto. O lano xy também oderia ser analisado e, então, concluiríamos que x = y = z = s. Ou seja, a ressão no fluido é constante em um onto (a ressão é uma função escalar). Ela age igualmente em todos as direções em um determinado onto, tanto ara um fluido estático como ara um fluido em movimento na ausência de tensões de cisalhamento. 10

11 Variação da ressão com a rofundidade Para obter uma relação da variação da ressão com a rofundidade, considere um elemento fluido retangular de altura Δz, largura Δx e rofundidade unitária, em equilíbrio, como mostra figura abaixo: Um balanço de forças na direção z resulta em: ΣF = m.a P Δx P 1 Δx ρgδxδz = 0 (6) Onde W = mg = ρgδxδz é o eso do elemento fluido. Dividindo or Δx e reorganizando, temos: ΔP = P P 1 = ρgδz = γδz (7) Diagrama de coro livre de um elemento fluido retangular em equilíbrio 11

12 Δ P = ρgδz = γδz (7) Para um determinado fluido, a distância vertical Δz às vezes é usada como medida de ressão e é chamada de carga de ressão. Para gases, devido à sua baixa densidade, ara equenas à moderadas distâncias, a variação da ressão com a altura é desrezível, Se considerarmos o onto 1 na suerfície livre de um líquido aberto ara a atmosfera (figura ao lado), no qual a ressão é a ressão atmosférica (P atm ), então a ressão a uma altura h da suerfície livre é dada or: P = P atm + ρgh ou P man = ρgh (8) A ressão em um líquido em reouso aumenta linearmente com a distância da suerfície livre

13 Caso que g ode ser considerada constante: m g = 9,764 m/s de 0,4% g = 9,807 m/s Nível do mar Para fluidos cuja densidade varia significativamente com a altitude, a relação ara a variação da ressão com a altitude ode ser obida dividindo-se a equação 6 or ΔxΔz e tomando o limite quando Δz 0, resulta em: dp dz = -ρg A equação 9 mostra que não há variação de ressão nas direções x e y, ou seja, no lano horizontal. A ressão varia aenas na direção z. Nota: d é negativo se dz ositivo, ou seja, a ressão diminui conforme ocorre o movimento ara cima e aumenta quando o movimento é ara baixo. (9) 13

14 Quando a variação da densidade com a altitude é conhecida, a diferença de ressão entre os ontos 1 e ode ser determinada ela integração como: (10) Para o caso de densidade e aceleração gravitacional constante, essa relação se reduz a equação 7 (ΔP = - ϒΔz). z ou z cte ou z cte (11) A quantidade (/ϒ + z) é muitas vezes chamada de carga iezométrica. 14

15 A ressão de um fluido em reouso não deende da forma ou da seção transversal do contêiner. Ela varia com a distância vertical, mas ermanece constante em outras direções (Figura abaixo). Em h 1 : a = b = c = d Em h : A = B = C D ϒ HO ϒ Hg Pressão em diferentes ontos, abaixo de uma suerfície livre Este rincíio foi ublicado or Simon Stevin ( ) e ficou conhecido como rincíio (lei) de Stevin. 15

16 Teorema de Stevin Sejam dois ontos arbitrários Q e R. P Q = ρh Q g P R = ρh R g A diferença entre as ressões dos dois ontos é: P R P Q = (ρh R g) (ρh Q g) P R P Q = ρg (h R h Q ) A diferença de ressão entre dois ontos num fluido em equilíbrio é igual ao roduto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as rofundidades destes ontos. P = ρg h

17 Teorema de Stevin 17

18 Exemlo: 1. Calcule a ressão, em atm, em um onto a 30 metros abaixo da suerfície de um lago, localizado ao nível do mar. Considerando P atm local = 10 5 Pa, ρ = 10 3 kg/m 3 e g = 9,81 m/s. Resosta: 3,89 atm 18

19 Solução: Dados: P atm local = 10 5 Pa P =? ρ = 10 3 kg/m 3 g = 9,81 m/s h = 30 m = atm local + ϒh = atm local + ρgh 10 5 Pa 10 3 kg m 3. m 9,81 s. 30m 10 5 Pa kg m.s Pa 394,3kPa 394,3kPa 1atm 101,35kPa 3,89atm 19

20 . A ressão atmosférica é dada como 680 mmhg em uma localização montanhosa. Converta esta ara quiloascal e metros de coluna d água. Calcule também o decréscimo da ressão devido a um incremento de 500m de altitude, começando numa elevação de 000 m, assumindo uma massa esecífica constante. Dados: SG Hg = 13,6; g = 9,81 m/s ; ρ ar, atm-adrão, a 000m = 1,007 kg/m 3 (tabelado) Solução: Equação básica: Hg h Hg.g. h kg ( m m x9,81 )x0,680m s Pa ou 90,7kPa Para convertê-la em metros de coluna d água, temos: h HO ,5m de água lembrando kg.m N ; s N Pa m que : 0

21 Para achar o decréscimo de ressão, usamos a equação (7) e uma tabela de massa esecífica. ar z,atmadrão ar,atmadrão gz 1,007 kg 3 m x m 9,81 s x 500m 4940Pa 1

22 Lei de Pascal Uma consequência da ressão de um fluido ermanecer constante na direção horizontal é que a ressão alicada a um fluido confinado aumenta a ressão em todo o fluido na mesma medida. Essa é a lei de Pascal. É isso que nos ermite elevar um automóvel facilmente com um braço, como mostra a figura ao lado. E como isso acontece? Alicação da lei de Pascal

23 Não é comlicado!!! Observando que P 1 = P, já que ambos os istões estão no mesmo nível, a relação entre a força de saída e a força de entrada é determinada or: P 1 P F1 A 1 F A A relação entre as áreas A / A 1 é chamada de ganho mecânico ideal do elevador. F F 1 A A 1 (1) Por exemlo, usando uma relação A / A 1 = 10 uma essoa ode elevar um automóvel de kg alicando uma força de aenas 1000 kgf (= 9813 N) 3

24 O barômetro de mercúrio O barômetro é um instrumento ara medir a ressão atmosférica (Figura abaixo). Seu idealizador foi Evangelista Torricelli (1643). = 760 mmhg Exeriência ara determinação da ressão atmosférica local com o barômetro de mercúrio 4

25 Manômetros São instrumentos destinados a medir ressão. Os manômetros de tubo são equacionados com base na lei de Stevin. O estudo dos manômetros é conhecido como manometria. Na Figura ao lado, a coluna de fluido diferencial de altura h está em equilíbrio estático e aberto ara a atmosfera. Assim, a ressão no onto é determinada diretamente ela equação 8. P = P atm + ρgh ou P man = ρgh Manômetro básico 5

26 o Manômetro metálico ou de Bourdon O manômetro de Bourdon mede a ressão de forma indireta, or meio da deformação de um tubo metálico, daí seu nome (Figura abaixo ). Manômetro metálico ou de Bourdon 6

27 (a) Medidor de ressão de Bourdon e (b) esquema do medidor de ressão

28 O tubo, or estar externamente submetido à ressão atmosférica local, somente se deformará se a ressão tomada for maior que aquela. Quando este manômetro ocua um ambiente onde a ressão é diferente da ressão atmosférica local, a ressão indicada ( indicada ) é dada or: P indicada = tomada ambiente (13) Onde: ambiente : ressão no ambiente onde está o manômetro; tomada : ressão na tomada de ressão. Quando: ambiente = atm local indicada = relativa 8

29 Equação manométrica É a exressão que ermite, or meio de um manômetro, determinar a ressão de um reservatório ou a diferença de ressão entre dois reservatórios. Considere o esquema da figura abaixo: ϒ A A B ϒ B h 1 h h 3 4 ϒ LM h fe fd Pressão entre dois reservatórios A ressão no fundo do lado esquerdo é dada or: fe = A + ϒ A.(h 1 h ) + ϒ LM.h A ressão no fundo do lado direito é dada or: fd = B + ϒ B.(h 4 h 3 ) + ϒ LM.h 3 9

30 Como o fluido está em equilíbrio, então a ressão no mesmo nível deve ser a mesma. Logo, no fundo: fe = fd Então: A + ϒ A.(h 1 h ) + ϒ LM.h = B + ϒ B.(h 4 h 3 ) + ϒ LM.h 3 Isolando B, tem-se: B = A + ϒ A.(h 1 h ) ϒ B.(h 4 h 3 ) ϒ LM (h 3 h ) (14) 30

31 EQUAÇÃO MANOMÉTRICA REGRA!!! Começando do lado esquerdo, soma-se à ressão A a ressão das colunas descendentes e subtrai-se aquela das colunas ascendentes. Observar que as cotas são dadas até a suerfície de searação de dois fluidos do manômetro.

32 Exemlo: 3. A instalação da figura abaixo fornece os seguintes dados: ressão no manômetro de Bourdon indicada =,5 kgf.cm - e o eso esecífico do mercúrio ϒ Hg = 1, kgf.m -3 (MK*S). Determinar a ressão no reservatório 1. Resosta: P = 4,54 kgf/cm Instalação contendo dois reservatórios, um manômetro de Bourdon e um tubo com mercúrio 3

33 4. Dado o esquema da figura abaixo, ede-se: a) Qual é a leitura no manômetro metálico? b) Qual é a força que age sobre o too do reservatório? M Área do too = 10 m Ar 10 cm Óleo ϒ O = N/m 3 atm 0 cm H O ϒ HO = N/m 3 30 o Resosta: a) P = 00 N/m b) F = 000 N 60 cm 33

34 Resolver a lista de exercícios desta Unidade.