Hidrostática: parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o fluido em repouso. Hidrostática

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1 Hidrostática

2 Hidrostática: parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o fluido em repouso. Hidrostática

3 rincípio de ascal Em um fluido parado, a pressão exercida sobre uma área aumenta de acordo com a altura da coluna de líquido sobre a área em estudo. rincípio de ascal gh Logo: b > a

4 rincípio de ascal Balanço de Força de um Elemento Fluido Força Resultante = Força de Campo + Força Superficial Aplicando a Lei de Newton p g 0 Força de Campo (gravitacional) df B g dm gdv Z dm =.d dx dy Força Superficial (pressão) Y dz g df S p dx dydz X

5 rincípio de ascal p g 0 Campo gravitacional atua apenas na vertical O gradiente de pressão será zero nas direções horizontais A variação de pressão gerada pela gravidade é no sentido e direção da gravidade e todo o ponto de um mesmo fluido, com mesma altura, tem pressões iguais

6 ressão absoluta e manométrica Manômetro de Membrana p manométrica = p absoluta - p atmosférica

7 Exemplo 1 pág. 1) Manômetros de Bourdon são colocados no sistema dado a seguir. Se as pressões manométricas A, B e C forem respectivamente 3,0 atm,,8 atm e,0 atm, sabendo-se que a pressão atmosférica é 1 atm qual é a pressão absoluta do recipiente A? a) atm b) 5 atm c) 6 atm d) 6,8 atm e) 8,8 atm

8 Resolução - Exemplo 1 pág. O manômetro C mede a pressão de atm acima da atmosférica (1 atm), o manômetro B mede a pressão,8 atm acima da pressão C e o manômetro A mede 3 atm acima do anterior. Logo a pressão absoluta fica: c = pressão relativa no ponto C, que é a pressão dada pelo manômetro de Bourdon ( c = atm) a = pressão absoluta no ponto A. c = c - atm b = b - c a = a - b a+ b+ c = a - atm a = a + b+ c + atm a = 3+,8++1 a =8,8 atm alternativa e).

9 Exemplo pág. ) A figura ao lado representa um tanque fechado e pressurizado, exposto ao ar atmosférico, contendo ar e óleo (eso específico igual a 8 kn/m³). O tanque possui uma janela de inspeção quadrada com 0,5 m de lado cuja borda superior está localizada m abaixo da superfície do óleo. Um manômetro instalado no topo do tanque indica uma pressão de 64 ka. Nessa situação, afirma-se que o módulo da força resultante (kn) que atua na janela é de: a) 19,5 b) 0 c) 0,5 d) 45,5 e) 8

10 Resolução - Exemplo A janela se encontra em uma região, onde existe apenas óleo A força resultante atuando sobre a janela pode ser calculada como a pressão atuando no meio da janela vezes a sua área. F =.A. A pressão no meio da janela é a pressão medida pelo manômetro (que está sujeito à pressão atmosférica assim como a janela e, portanto essa influência se anula na força sobre a janela) somada com a coluna de óleo acima dela: ρgh Distribuição de ressão na Janela atm g ressão no meio da janela

11 Resolução - Exemplo or que a pressão no meio da janela? 1) A janela tem largura uniforme; ) A janela não está inclinada; Distribuição de ressão na Janela 0,5m 0,5m ressão no meio da janela 0,5m 0,5m ressão no meio da janela

12 Resolução - Exemplo 0,5m 0,5m ka gh 6410 a 810, 5 a 810 A força resultante é: 3 a 3 F A 810 a 0, 5 m 0,5 kn Alternativa c)

13 Manômetros

14 Manômetros

15 Exemplo 3 pág. 3 3) Considere o sistema abaixo: Qual a condição que deve existir para que a pressão manométrica em A seja igual a gl B? a) p A >>> p B b) p B >>> p A c) p A = p B d) l 1 = l e) l 1 >>> l

16 Resolução - Exemplo 3 pág. 3 A pressão manométrica em B é: p B B gl or comparação, para obter o valor desejado para a pressão em A, é preciso que ela seja igual à pressão em B. Alternativa c).

17 Exemplo 4 pág. 4 4) Uma corrente de solução salina (μ = 1100 kg/m³) tem sua vazão medida por um medidor de orifício dotado de manômetro invertido, como se verifica no esquema acima. Qual a queda de pressão corresponde à leitura manométrica indicada em a, sabendo-se que o fluido manométrico é um óleo com massa específica igual a 900 kg/m³ e que g = 10 m/s²? a) 180 b) 00 c) 400 d) 1800 e) 00

18 Resolução - Exemplo 4 pág. 4 Seguindo o procedimento apresentado anteriormente: 1) Indique cada ponto relevante com um índice. Os pontos importantes são os pontos a serem medidos, as interfaces entre fluidos ou pontos com a mesma altura de outros pontos. A A h B 1 Os pontos 1 e se referem aos pontos a serem medidos. Os pontos A e B representam a interface entre a solução salina e o óleo, e o ponto A representa o ponto de mesma altura de A e, portanto de mesma pressão.

19 Resolução - Exemplo 4 pág. 4 ) Indique a diferença de pressão entre cada pontos vizinhos utilizando o rincípio de ascal A A h B 1 1 B A A B salina óleo salina g h g 0, g A B 1 A g h g 0, h 0, g h 0, salina óleo B salina

20 Resolução - Exemplo 4 pág. 4 3) Some todas as equações que foram encontradas no passo. A A h B A 1 óleo B A g 0, salina B g h salina salina g h g 0, 1

21 Resolução - Exemplo 4 pág. 4 4) O lado esquerdo indicará a diferença de pressão entre os pontos a serem medidos e o lado direito seu valor numérico. A A h B 1 g 0, 10. 0, óleo salina a 1 Alternativa c)

22 ressão Estática

23 ressão de Estagnação

24 Exemplo 5 pág. 5 5) O esquema acima descreve um Tubo de itot localizado no centro de um duto de 00 mm de diâmetro, empregado para transferência de gasolina. Considerando o coeficiente do medidor como unitário e a razão entre as velocidades média e máxima como 0,8 para o intervalo de interesse, a vazão de gasolina, em m³/s, é: a) 0,05 b) 0,035 c) 0,04 d) 0,050 e) 0,065 (Dados: ρ Água = 1000 kg/m 3 ρ gasolina = 667 kg/m 3 g = 10m/s²)

25 Resolução - Exemplo 5 pág. 5 O tubo de pitot, nesse caso, não apresenta nenhum orifício ou tomada que meça a pressão estática; ode-se assumir que o equipamento mede apenas a pressão total ou de estagnação, que será dada pelo manômetro acoplado ao tubo de pitot. gh estag H O manom , 1000a

26 Resolução - Exemplo 5 pág. 5 A pressão estática é dada pela altura da tomada do tubo de pitot até a parede do cilindro pela qual passa o instrumento. O tubo de pitot está medindo no centro do tubo, a altura que deve ser utilizada para o cálculo da pressão estática é D/. Assim, a pressão estática é dada por: D g estat gasolina , 667a

27 Resolução - Exemplo 5 pág. 5 Sabendo que: estag = estat + dinam e que: dinam 1 gasolina V Temos que: V ( ) estag estat ( ) V 1m / s gasolina 667

28 Resolução - Exemplo 5 pág. 5 A partir da informação de que a razão entre a velocidade média e a velocidade máxima é 0,8, temos que: Vmedio 0, 8 V 0, 81 0, 8m / medio V max s Uma vez que o tubo de pitot mede a velocidade no centro do tubo, pode-se considerar que a velocidade medida será a máxima. or fim, a vazão média de gasolina será: Q gasolina V media A 0, 0, 8 4 0, 05 m 3 / s Alternativa a)

29 Empuxo e Estabilidade elo rincípio de ascal: cima gh cima baixo gh baixo h baixo > h cima baixo cima Utilizando a definição de pressão: Temos que: F F A A F F cima baixo cima baixo A A

30 Empuxo e Estabilidade Como há diferença de valor entre as pressões, chegamos a: F F baixo cima A diferença entre essas duas forças é chamada de Empuxo.

31 Empuxo e Estabilidade F E p baixo p cima A F E g h baixo h cima A F E gh A Sendo: V h A F E fluido gv imerso

32 Empuxo e Estabilidade F E fluido gv imerso

33 Empuxo e Estabilidade O empuxo em geral ajuda na estabilidade destes corpos. Isto acontece porque o empuxo aplicado pelo fluido no corpo é sempre aplicado no centro de massa do fluido deslocado.

34 Equação para a Estabilidade Empuxo e Estabilidade

35 Exercício 3 pág. 6 Caiu no Concurso! (ETROBRAS Engenheiro de etróleo 010) 3- Uma pedra de massa 0, kg está em equilíbrio, totalmente submersa na água e parcialmente sustentada por um dinamômetro, que marca 1,5 N. Sabendo-se que a densidade da água é 1000 kg/m³ e considerando-se que a gravidade local igual a 10 m/s², o volume da pedra, em cm³, vale a)30 b)35 c)40 d)45 e)50

36 Resolução - Exercício 3 pág. 6 Diagrama Corpo Livre F 0 T E 0 Enunciado T 1,5N E Vg mg 1,5 Vg mg 0 T E V mg 1,5 g 0,[kg]x10[m / s 1000[kg / m 3 ] 1,5[N] ]x10[m / s ] 5x10 5 [m 3 ] Sabendo que 1m 3 = 1x10 6 cm 3 Então, V = 50 cm 3 Alternativa e)

37 Exercício 4 pág. 7 (ETROBRAS Engenheiro de rocessamento 010) 4) A figura a cima representa quatro recipientes diferentes preenchidos com um mesmo líquido, à mesma temperatura. Sabendo-se que os quatro recipientes estão abertos para a atmosfera, conclui-se que a(s) pressão(ões) no fundo do(s) recipiente(s) a)x é maior que no fundo dos demais recipientes. b)y é maior que no fundo dos demais recipientes. c)z é maior que no fundo dos demais recipientes. d)q é maior que no fundo dos demais recipientes. e)x,y,z e W são iguais.

38 Resolução - Exercício 4 pág. 7 1) Todos os recipientes têm a mesma altura de fluido h x = h y = h z = h w ) Todos os recipientes estão abertos para a atmosfera 3) Todos estão preenchidos com o mesmo fluido, à mesma temperatura Todos têm atm ρ x = ρ y = ρ z = ρ w Sabendo que a ressão no fundo do recipiente é calculado por: fundo atm gh elas observações acima, podemos concluir que: x = y = z = w Alternativa E)

39 Exercício 5 pág. 7 Caiu no Concurso! (ETROBRAS Engenheiro de Equipamentos Mecânico 010) 5) A figura ao lado ilustra um manômetro com tubo em U, muito utilizado para medir diferenças de pressão. Considerando que os pesos específicos dos três fluidos envolvidos estão indicados na figura por γ 1, γ e γ 3 a diferença de pressão A - B corresponde a a) b) c) d) e) 1h1 h 3h3 1h1 h 3h3 h 3h3 1h1 h h h ( h h ) / h

40 Resolução - Exercício 5 pág B 3 3 B A 1 1 A h h h h h h Aplicando o rincipio de ascal: Somando as equações acima, temos: A B B 4 A h h h h h h B A h h h Alternativa C)

41 Exercício 1 ág. 90 Caiu no Concurso! (ETROBRAS Terminais e Dutos 008) 1) A diferença de pressões devida ao atrito entre duas seções de uma tubulação que conduz água é monitorada por um manômetro de mercúrio, conforme mostrado na figura. Considerando que as massas específicas de água e do mercúrio são ρ Hg e ρ HO, respectivamente, a diferença de pressões A B vale a) (ρ Hg ρ HO )gh b) (ρ Hg + ρ HO )gh c) ρ Hg gh d) ρ HO gh e) ρ Hg gh/

42 Resolução Exercício 1 ág. 90 elo esquema, sabe-se que: h h h = h 1 h 1' 1 Aplicando o rincipio de ascal: gh gh 1 A H O 1 A 1 H O 1 gh gh B H O B H O gh gh 1 Hg 1 Somando as equações acima: gh gh gh A 1 B 1 H O 1 H O Hg Hg

43 Resolução Exercício 1 ág. 90 elo esquema, sabe-se que: h h 1 1 h = h 1 h gh gh gh A 1 B 1 H O 1 H O Hg A B HOg h h 1 Hg gh h gh A B Hg H O Alternativa A)

44 Exercício ág. 100 Caiu no Concurso! (ETROBRAS Terminais e Dutos 010) ) A figura abaixo mostra um manômetro diferencial colocado entre as seções e Q de um tubo horizontal no qual escoa água (peso específico igual a 10 kn/m 3 ). A deflexão do mercúrio (peso específico igual a 136 kn/m³) no manômetro é de 500 mm, sendo o mais baixo dos níveis o mais próximo de. Com base nessas informações, conclui-se que a pressão relativa em a) excede a pressão relativa em Q em 6,3 metros de coluna d água. b) excede a pressão relativa em Q em 7,3 metros de coluna d água. c) excede a pressão relativa em Q em 63 metros de coluna d água. d) Q excede a pressão relativa em em 6,3 metros de coluna d água. e) Q excede a pressão relativa em em 7,3 metros de coluna d água

45 Resolução Exercício ág eso específico da água igual a 10 kn/m 3. eso específico do mercúrio igual a 136 kn/m³ 3. Deflexão da coluna de mercúrio de 500 mm 4. O mais baixo dos níveis está mais próximo de > Q Q Q Q Hg ka H 0 h 0,5 ara calcular a pressão em coluna da água basta dividi-la pelo peso específico da água / 63 ka / 6, 3 m de coluna d água Q H O H O Alternativa A)

46 Exercício 3 - ág. 84 3) Uma esfera metálica oca flutua com 1/3 do seu volume acima da água. Qual a fração de volume da esfera ocupada pelo metal? Dados: densidade da água ρ água = 1,0 x 10 3 kg/m 3 densidade do metal ρ metal = 8,0 x 10 3 kg/m 3 (A) 1,0 (B) 0,66 (C) 0,017 (D) 0,083 (E) 0 Caiu no Concurso! (ETROBRAS Eng. de Equipamentos Júnior - Terminais e Dutos - 01)

47 Resolução Exercício 3 - ág. 84 Forças na vertical 0 E Volume submerso mg água g água g 3 V R V V g R r metal Volume da Casca

48 Resolução Exercício 3 - ág. 85 água g 3 V R V V g R r metal V V V V r R r R 3 água 1x metal 3 8x10 0,917 Fração da arte Oca Fração da Metal é dada por: V V Metal V Metal V R R 1 V V r R 0,083 Alternativa D)

49 Exercício 54 - ág. 88 Caiu no Concurso! (ETROBRAS Engenheiro de Equipamentos Júnior - Eletrônica - 01) 54) Duas pequenas janelas de observação são instaladas em um reservatório de água cilíndrico, conforme mostrado na figura. Sendo g a aceleração da gravidade local, a diferença entre as pressões atuantes nas janelas e 1 (p p 1 ) é (A) ρ HO gh (B) ρ HO g(h 1 +h ) (C) ρ HO g(h 1 +h 3 ) (D) ρ HO g(h +h 3 ) (E) ρ HO g(h 1 +h +h 3 )

50 Resolução Exercício 54 - ág. 88 ressão Exercida por uma coluna d água: gh água A diferença (p - p 1 ) p p gh h 1 água 3 p p gh h h 1 água 3 3 p p gh 1 água água gh 3 Alternativa A)

51 Exercício 7 - ág. 81 7) Uma partícula de massa 140,0 g é vista afundando, totalmente submersa, em um copo de água, com a aceleração de 7,0 m/s. A força de resistência ao movimento, em Newtons, que atua na partícula é: Dado: considere g = 10,0 m/s. (A) 0,4 (B) 0,98 (C) 1,40 (D),40 (E) 4,60 Caiu no Concurso! (ETROBRAS Engenheiro de Equipamentos Júnior - Mecânica - 01)

52 Resolução Exercício 7 - ág. 81 Forças atuantes no corpo ma eso Força resistiva m a Força resistiva eso m a r F m g a F 0,14 kg 10 7 m / s F r r 0, 4 N Alternativa A)

53 Exercício 0 - ág. 100 Caiu no Concurso! (ETROBRAS Terminais e Dutos- 010) g p 0) A equação da hidrostática representa o comportamento da pressão p, em uma massa fluida incompressível (ρ constante). Nessa equação, Δ representa o operador a) Divergente e é expresso por ˆ ˆ ˆ b) Divergente e é expresso por 0 i j k x y z x y z c) Gradiente e é expresso por d) Gradiente e é expresso por ˆ i ˆ j kˆ x y z x y z e) Rotacional e é expresso por ˆ i ˆ j kˆ x y z

54 Resolução Exercício 0 - ág. 100 Vetores unitários e operações vetoriais: n vw roduto escalar de dois vetores roduto vetorial de dois vetores ( v w) vw cos vw [ v w] { vw sen } n vw vw Vetor perpendicular a v e w Assim temos: {lembrem-se cos(0 ) = 1; cos(90 )=0} iˆiˆ1 ˆj ˆj 1 kˆkˆ1 iˆ ˆj 0 ˆjkˆ 0 kˆ iˆ 0 Operador vetorial diferencial nabla ˆ i ˆ j kˆ x y z

55 Resolução Exercício 0 - ág. 100 Gradiente é obtido aplicando-se o operador nabla à função e indica o sentido e a direção de maior alteração (máximo) no valor de uma quantidade por unidade de espaço. p ˆ p i p ˆ j p kˆ x y z Divergente é a multiplicação escalar do operador nabla pela função vetorial. É um operador que mede magnitude da fonte ou poço/sorvedouro de um campo vetorial em um dado ponto. Ele pode ser entendido como o escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto. F F iˆ F ˆ j F kˆ, campo vetorial x y z ˆ ˆ ˆ F i j k F ˆ ˆ ˆ xi Fy j Fzk x y z F F x y Fz F x y z

56 Resolução Exercício 0 - ág. 100 Rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja, multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela função vetorial. Este operador calcula o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a uma superfície infinitesimal. F F iˆ F ˆ j F kˆ campo vetorial x y z ˆ ˆ ˆ F i j k F ˆ ˆ ˆ xi Fy j Fzk x y z iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj F x y z x y F F F F F x y z x y Determinante F Fy z ˆ F F x Fz ˆ y F x F i j kˆ y z z x x y

57 Resolução Exercício 0 - ág. 100 ˆ i ˆ j kˆ x y z a) Divergente e é expresso por errado x y z b) Divergente e é expresso por errado ˆ i ˆ j kˆ x y z c) Gradiente e é expresso por certo x y z d) Gradiente e é expresso por errado ˆ i ˆ j kˆ x y z e) Rotacional e é expresso por errado Alternativa C)