Conjunto de Valores. A Função de Probabilidade (fp)

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. htt:// Bernoulli Binomial Binomial Negativa ou Pascal Geométrica Hiergeométrica Uniforme Poisson Eerimento Qualquer um que corresonda a aenas dois resultados. Estes resultados são anotados or ou fracasso e ou sucesso. A robabilidade de ocorrência de sucesso é reresentada or e a de insucesso or q. Conjunto de Valores X(S) {, } f () P(X ) se se

2 A Função de Distribuição (FD),,8,6,4, F() P(X ) q se < se < se, Função de Distribuição Características Eectância ou Valor Eserado E(X).f ().q +. Variância q V ( X ( ).q + E ( X. ) ) - E(X) ( ) q Suonha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com robabilidade,. Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste. Determine a distribuição de X. Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com %, assim a distribuição é:,9 f () P(X ), se se

3 Eerimento Como eistem aenas duas situações: A ocorre e A não ocorre, ode-se determinar a robabilidade de A não ocorrer como sendo q. A VAD definida or X número de vezes que A ocorreu nas n reetições de E é denominada BINOMIAL. Conjunto de Valores X(S) {,,, 3,..., n} n f () P(X ) q n,8,6,4,,,8,6,4, A Função de Distribuição (FD) n k F() P(X ) q k k n-k se < se n se > n Função de Distribuição,,9,8,7,6,5,4,3,,

4 Características Eectância ou Valor Eserado n n E(X).f (). q n Variância V(X) E(X ) - E(X) n n E(X ). q n(n -) + n V(X) E(X ) - E(X) n(n ) + n (n) n + n n( ) nq Assim: E (X) σx n nq Suonha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com robabilidade,. Seja X o número de circuitos rejeitados em testes. Determine a distribuição de X. Como se tratam de testes a variável X é Binomial com %, assim a distribuição é: f () P(X ) (,) ara.(,9),,,..., Uma fábrica recebe um lote de eças das quais cinco são defeituosas. Suonhamos que a fábrica aceite todas as eças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de eças selecionadas ara inseção. Determinar a robabilidade de o lote ser aceito. Tem-se: n e 5/,5 f() P(X ),5 59,87%,95 4

5 Tem-se: n e 5/ 5% Então: f () P(X ).(,5).(,95) 59,87% Eerimento A distribuição Geométrica, também, está relacionada com o eerimento de Bernoulli. A diferença é que, agora, o que é fiado é o rimeiro sucesso e não o número de tentativas, isto é, X número de tentativas realizadas até se conseguir o rimeiro sucesso. Conjunto de Valores X(S) {,, 3,...} f () P(X ) q,4 A Reresentação Gráfica A Função de Distribuição (FD), F() P(X ) - q se < se A distribuição G(,4) 5

6 A Função de Distribuição (FD),,8,6,4, A distribuição acumulada da G(,4) Características Eectância ou Valor Eserado E(X).f ().q Variância V(X) E(X ) - E(X) q V(X). q Suonha que um jogador de futebol converta 3 de cada 4 enalidades cobradas. Determine a robabilidade de ele tentar 4 enalidades até converter a rimeira? Neste caso, tem-se: (3/4) 75% e q (/4) 5% X Número de tentativas antes do rimeiro sucesso, é, então, uma G(,75) f() P(X ),75.,5 - ara,, 3, Portanto: f(4) P(X 4),75.,5 3,7% 6

7 Eerimento A distribuição binomial negativa é também conhecida como de Pascal ou de Pólya. Ela fornece o número de falhas até um número fio de sucessos. Um eerimento que aresenta uma distribuição binomial negativa satisfaz as seguintes condições: Condições Cada tentativa aresenta aenas dois resultados: sucesso ou fracasso; O eerimento consiste de uma seqüência de tentativas indeendentes; A robabilidade de sucesso ermanece constante em todas as tentativas; Conjunto de Valores O eerimento continua até que um total de r sucessos sejam observados, onde r é um valor inteiro maior do que um, fiado de antemão. X(S) {r, r +, r +,...} f () P(X ) r r q r,6 A Reresentação Gráfica A Função de Distribuição (FD),4, F() k - r q k r r - k r se se < r r A distribuição BN(3;,4) 7

8 A Função de Distribuição (FD),,8,6,4, A distribuição acumulada da BN(;,4) Características Eectância ou Valor Eserado r r E(X).f (). q r r r Variância V(X) E(X ) - E(X) r r r rq V(X). q r r r Suonha que um jogador de basquete acerte 4 a cada 5 lances livres. Seja X o número de tentativas ara obter o terceiro acerto. Determine a robabilidade que ele recise fazer 6 lances, isto é, P(X 6). Neste caso, tem-se: r 3, (4/5) 8% e q % X Número de tentativas ara obter o terceiro acerto é, então, uma BN(3;,8) f () P(X ),8, r 3 3 onde 3, 4, 5, 6,, 7, f (6) P(X 6),8., 5 3 3,8.,,4 4,% Observações: Eiste uma relação entre a Binomial e a Pascal (Binomial Negativa). Na Binomial fia-se o tamanho da amostra (número de rovas de Bernoulli) e observa-se o número de sucessos. 8

9 Na Binomial Negativa fia-se o número de sucessos e observa-se o tamanho da amostra (número de rovas de Bernoulli) necessário ara obter o número fiado de sucessos. Eerimento: A distribuição Binomial é deduzida com base em n reetições de um eerimento de maneira indeendente (isto é, constante), ou retiradas com reosição de uma oulação finita. Se a eeriência consistir na seleção de objetos, sem reosição, de uma oulação finita, de tamanho N, onde r aresentam uma característica N r não aresentam esta característica, então eistirá deendência entre as reetições. Conjunto de Valores Neste caso a variável aleatória X número de objetos com a característica r em uma amostra de tamanho n, terá uma distribuição denominada de Hiergeométrica. : má{, n N+r},..., mín{r, n} r f () P(X ) N n N n r 9

10 ,3,,,,, H(; 5; 5) A Função de Distribuição (FD) se < j r N r k n F( ) P ( X ) se j k j N n se > k onde j má{, k mín{r, n - N + r} n},,9,8,7,6,5,4,3,, Função de Distribuição H(; 5; 5) σ X Características Eectância ou Valor Eserado E (X) Desvio Padrão nq n N n N Onde r N Uma fábrica recebe um lote de eças das quais cinco são defeituosas. Suonhamos que a fábrica aceite todas as eças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de eças selecionadas ara inseção. Determinar a robabilidade de o lote ser aceito. Pela Hiergeométrica: N, r 5, n f () P(X ) 58,38%

11 Pela Binomial: n e 5/ 5% f() P(X ).(,5).(,95) 59,87% Eerimento: A distribuição uniforme é a mais simles das variáveis discretas. A variável assume os valores:,,..., n semre com igual robabilidade. Definição: Uma variável aleatória X que assume os valores,,..., n édita uniforme discreta se todos os valores ocorrem com a mesma robabilidade, isto é, f( i ) /n. Conjunto de Valores X(S) {,,..., n },,5 A Reresentação Gráfica f (i) P(X i) / n A distribuição U()

12 A Função de Distribuição (FD) A Função de Distribuição (FD), F( i) P( i) i n se < se i,8,6,4, A distribuição acumulada da U() Características Eectância ou Valor Eserado Variância n E(X) i.f ( i) i V(X) E(X ) - E(X) (X) [ n n ( ) ] V i i n n i i Suonha que um dado honesto é lançado. Seja X valor da face voltada ara cima. Determinar a distribuição de X Σ f() /6 /6 /6 /6 /6 /6

13 Eerimento Na Binomial a variável que interessa é o número de sucessos em um intervalo discreto (n reetições de um eerimento). Muitas vezes, entretanto, o interesse é o número de sucessos em um intervalo contínuo, como o temo, área, suerfície, etc. Para determinar a f() de uma distribuição deste tio, será suosto que: (i) Eventos definidos em intervalos não sobreostos são indeendentes; (ii) Em intervalos de mesmo tamanho as robabilidades de um mesmo número de sucessos são iguais; (iii) Em intervalos muito equenos a robabilidade de mais de um sucesso é desrezível; (iv) Em intervalos muito equenos a robabilidade de um sucesso é roorcional ao tamanho do intervalo. Definição: Se uma variável satisfaz estas quatro roriedades ela é dita VAD de POISSON. Se X é uma VAD de POISSON, então a função de robabilidade de X é dada or: f () ara P(X ),,,.... λ! λ é denominada de taa de sucessos e λ - P(),5,,9,6,

14 A Função de Distribuição (FD) Função de Distribuição - P(),,9 F() P(X ) k -λ e. λ k! k se < se,8,7,6,5,4,3,, Características: Eectância ou Valor Eserado E(X) λ Desvio Padrão σx λ O número de consultas a uma base de dados comutacional é uma VAD de Poisson com λ 6 em um intervalo de dez segundos. Qual é a robabilidade de que num intervalo de 5 segundos nenhum acesso se verifique? A taa de consultas é de seis em dez segundos em cinco segundos teremos uma taa de λ 3 consultas. Então: -3 e. f() P(X )! e -3 4,98% 3 Considerando o eemlo dado na Hiergeométrica, que foi resolvido, também, ela Binomial, é ossível ainda utilizar a Poisson. Para isto devese fazer λ n. 4

15 Então: λ.,5,5. -,5 e. f () P(X )! e -,5 6,65 % Binomial: 59,85% Hiergeométrica: 58,38% Poisson: 6,65% Como ode ser visto, nesse caso, é ossível utilizar três modelos ara resolver um único roblema. 5