É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória. E 1 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas;

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. Eperiência na qual o resultado é incerto. E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas; E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas ; E : Uma lâmpada nova é ligada e conta-se o tempo gasto até queimar; E 4 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 5 : Jogam-se dois dados e observase o par de valores obtido; É o conjunto de resultados de uma eperiência aleatória.

2 S {,,,, 4} S {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk} S { t R / t } S 4 {,,,...} S 5 { (, ), (, ),(,), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } Um evento é um subconjunto de um espaço amostra. Seja S {,,, 4, 5, 6 } o espaço amostra, obtido no lançamento de um dado. Então são eventos: A {,, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S Seja E um eperimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A.

3 Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A união B, A soma B ou A mais B, se e sóse A ocorre ou B ocorre. A B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A - B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. A A C A Dois eventos A e B são mutuamente ecludentes se não puderem ocorrer juntos. CLÁSSICO FREQÜENCIAL AXIOMÁTICO

4 (número de casos favoráveis) P(A) _ (número de casos possíveis) Qual a probabilidade de ganhar na Mega-Sena? Casos favoráveis Casos possíveis: P(Mega_Sena) Número de favoráveis Número de possíveis,% (número de vezes que A ocorre) fr A (número de vezes que E é repetido) Um dado é lançado vezes e apresenta FACE SEIS vezes. Então, a freqüência relativa de FACE SEIS é: 4

5 fr6 número de vezes que "f_seis" ocorre número de vezes que o dado é jogado,5 5% P(A) lim fr A n P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: () P(A) () P(S) ()P(AUB) P(A) + P(B) se A B () P( ) () P( ) - P(A) A () P(A - B) P(A) - P(A B) (4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) Motivação Considere uma urna com 5 fichas, onde 4 são pretas e são brancas. Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição: Sejam os eventos: A { a primeira ficha é branca} B { a segunda ficha é branca} 5

6 Então: P(A) /5, % P(B)?/49 Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isto é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada. Se for informado que A ocorreu, então a probabilidade de B, será: P(B/A) 9/49,7,7% Observe a notação Esta representação é lida: P de B dado A; P de B dado que A ocorreu; P de B condicionada a A. Definição P(A/B) P(A B) / P(B) Teorema da multiplicação P(A B) P(A).P(B/A) P(A/B).P(B) Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é: () P(A/B) P(A) () P(B/A) P(B) () P(A B) P(A).P(B) 6

7 KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC s CCC S X R X(s) X(S) Conforme o conjunto de valores uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta. Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. 7

8 A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada i X(S) o número f( i ) P(X i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f( i ), para todo i f( i ) A coleção dos pares [ i, f( i )] para i,,,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X. Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é: KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X R [;] f () f KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X / / / / R [;] f () f Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma VAD com o seguinte conjunto de valores: X(S) {,, 4, 5, 6, 7,, 9,,, }

9 A função de probabilidade associa a cada X(S), um número no intervalo [; ] dado por: f() P(X ) Desta forma: f() P(X ) P{(,)} / f() P(X ) P{(,), (, )} /... f() P(X) P{(6, 5), (5, 6)} / f() P(X ) P{(6, 6)} / A distribuição de probabilidade será: A distribuição de probabilidade de X será então: Através de: f() Σ uma tabela; uma fórmula; um diagrama. Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a dada ao lado. 4 Σ f() /6 4/6 6/6 4/6 /6 Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R (- )/ se 7 ( - +)/ se > 7 9

10 ,,6,4,,,,6,4,, (a) Epectância, valor esperado µ E(X) (b) Desvio padrão σ f ()( µ).f ().P(X f () µ ) Calcular o valor esperado e a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas. 4 Σ f() /6 4/6 6/6 4/6 /6.f() 4/6 /6 /6 4/6 /6 f() 4/6 4/6 /6 6/6 /6 (a) Epectância ou valor esperado µ E (X ).f ( ) 6 (b) Desvio padrão caras σ f () µ 5 4 6

11 EXPERIMENTO Como eistem apenas duas situações: A ocorre e A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL. Conjunto de Valores X(S) {,,,,..., n} A Função de Probabilidade (fp) n f () P(X ) p q n A Função de Probabilidade (fp),,6,4,,,,6,4,, Características Epectância ou Valor Esperado E(X) Desvio Padrão σx.f() np npq Suponha que de um grupo de dez pessoas, duas sejam coloradas. Se quatro pessoas são sorteadas ao acaso e com reposição. Determine a probabilidade de que todas sejam gremistas. Como se tratam de pessoas e a amostragem é com reposição a variável X n o de gremistas é uma Binomial com p %, assim a probabilidade pedida é dada por:

12 (X 4) 4,., 4 P 6 Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f().e π. σ µ. σ com - <µ < e σ >, R N(; ), N(;,5) N(; ),6 N(; ),4,, Para calcular as probabilidades em uma normal é preciso utilizar uma tabela, pois não eiste uma fórmula que forneça estes valores.

13 Como não é possível tabelar todas as normais (são infinitas), escolheu-se uma para ser tabelada. A curva escolhida é a N(, ), isto é, com µ e σ. Se X é uma N(µ, σ), então: Z X µ σ Será uma N(; ),4,,, O que é tabelado é a área á esquerda da curva, isto é: P(Z z) Φ(z), -4, -, -, -,,,,, 4,,,9,,7,6 Φ(z),5,4,, z,, -4, -, -, -,,,,, 4, Área à esquerda (abaio) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z> z) - P(Z z) - Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z) Φ(z) Φ(z)

14 A tabela é construída como uma matriz. As linhas fornecem a unidade ou unidade mais décimo e as colunas fornecem os centésimos. Assim para ler, por eemplo, -,5 deve-se procurar na linha do, + coluna do 5 (seta coluna). A primeira é a do (zero). A aproimação é centesimal ( casas após a vírgula) eceto na linha do e do +, que estão destacadas, onde a aproimação é, em virtude da pouca área, decimal. Observe que está escrito e não,! Aproimação decimal, isto é, fatias de,. Aproimação centesimal, Depois do ±, segue isto é, fatias de,4 ±, o,. ±, até ±,9. Depois do -, segue,99, o,9 até +,99 e daí,.,,, -4, -, -, -,,,,, 4, z -,,,7,5 -,9,9 P(Z, < -,),,7 -,,6 Φ(-,),5,4, -,7,5,4,, -,6,47 P(Z,45 < -,5),44,4 -,5,6 Φ(-,5),6,59,57 -,4,,,7,75 -,,7,4,,99 P(Z < -,) -,,9,,,9 Φ(-,) -,,79,74,7,66 -,,,,7, Uma VAC tem distribuição normal de média 5 e desvio padrão. Determinar: (a) P(X 4) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6) 4

15 (a) P(X 4) P(X 4) X P( µ 4 5 ) σ P(Z,5),56% (b) P(X > 65) X µ P(X > 65) P( > σ 65 5 ) P(Z >,) P(Z <,) Φ(,) Φ(,),% (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) 45 P( 5 X µ < < σ P(,6 < Z <,5) Φ(,5) Φ(,6) 6 5 ) 9,% 6,76% 66,56% Uma VAC tem distribuição normal de média 5 e desvio padrão. Determinar: (a) P(X ) 5% (b) P(X > ) % Para resolver este tipo de eercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na tabela. Só que agora devemos procurar uma probabilidade (corpo da tabela) e obter um valor de z (lateral da tabela). 5

16 ,5,4,, 5%, P(X ) 5%, Em (a) temos P(X ) 5% X P(X ) P( P(Z z) onde µ σ Φ(z) 5% 5 z 5 ) Se Φ(z) 5%, então Φ z [ Φ(z)] Φ Φ (, 5 ) ( 5%) Procurando na tabela, o valor (z) mais próimo de 5%,5, tem-se: z 4 5 -,,,7,5,, -,9,9,,,7,6,6 -,,6,5,4,,, -,7,5,4,,,, -,6,47,45,44,4,4,4 -,5,6,6,59,57,55,54 -,4,,,7,75,7,7 z -,64 z -,65 -,,7,4,,99,96,94 -,,9,,,9,5, -,,79,74,7,66,6,5 -,,,,7,,7, -,9,7,,74,6,6,56 -,,59,5,44,,9, -,7,446,4,47,4,49,4 -,6,54,57,56,56,55,495 -,5,66,655,64,6,6,66 Assim Como os dois valores estão a mesma distância, isto é, apresentam o mesmo erro,64 +,65 z,645 5 Como z, tem se : (,5), pega-se a média entre eles. 5,645 z 5,645.,4 6

17 Em (b) temos P(X > ) % P(X > P(Z > Mas ) X P( z) Φ(z) %, Φ(z) Φ( z) Logo z Φ (,) µ 5 > ) σ,5,5,4,4,,,,, % P(X > ) %, Procurando na tabela, o valor (z) mais próimo de %,, tem-se: z -, Conforme pode ser visto na próima lâmina! z -,,,7,5 -,9,9,,,7 -,,6,5,4, -,7,5,4z -,,, -,6,47,45,44,4 -,5,6,6,59,57 -,4,,,7,75 -,,7,4,,99 -,,9,,,9 -,,79,74,7,66 -,,,,7, Como z Φ (,), tem se : 5 (,), ,64 7