Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Efeito. Causas. E 1 : Joga-se um dado e observase o número da face superior.

Transcrição

1 Determinístico Prof. Lorí Viali, Dr. ufrgs.br/~viali/ Sistema Real Probabilístico Causas Efeito X Causas Efeito Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. E : Joga-se um dado e observase o número da face superior.

2 E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas ; E 3 : Uma lâmpada nova é ligada e conta-se o tempo gasto até queimar; E 4 : Jogam-se dois dados e observa-se o par de valores obtido; É o conjunto de resultados de uma eperiência aleatória. S = {,, 3, 4, 5, 6} S = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk}

3 S 3 = { t R / t 0 } S 4 = { (, ), (, ),(,3), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6) (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } Um evento é um subconjunto de um espaço amostra. Seja E um eperimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A. Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre. A B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B 3

4 Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A - B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. A = A C = A Dois eventos A e B são mutuamente ecludentes se não puderem ocorrer juntos. CLÁSSICO FREQÜENCIAL AXIOMÁTICO (número de casos favoráveis) P(A) = _ (número de casos possíveis) (número de vezes que A ocorre) fr A = (número de vezes que E é repetido) 4

5 P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: () 0 P(A) P(A) = lim fr A n () P(S) = (3) P(AUB) = P(A) + P(B) se A B = () P( ) = 0 () P( A) = - P(A) (3) P(A - B) = P(A) - P(A B) (4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B) (5) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - -P(A B) - P(A C) - P(B C) + + P(A B C) Definição P(A/B) = P(A B) / P(B) Teorema da multiplicação P(A B) = P(A).P(B/A) = P(A/B).P(B) Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é: 5

6 () P(A/B) = P(A) () P(B/A) = P(B) (3) P(A B) = P(A).P(B) Diz-se que os conjuntos: A, A,..., A n eventos de um mesmo espaço amostra S, formam uma partição deste espaço se: () A i A j =, para todo i j () A A... A n = S, para todo i j (3) P(A i ) > 0, para todo i B B pode ser escrito como: B = (B A ) (B A )... (B A n ) 6

7 B A B A B A 3 B P(B) será então: P(B) = P[(B A ) (B A )... (B A n )] = P(B A ) + P(B A ) P(B A n ) = = P(B A i ) = P(A i ).P(B/A i ) P(B) = P(A i ).P(B/A i ) A4 B Calcula a probabilidade de ocorrência de um dos A i (que formam a partição) dado que ocorreu um evento qualquer B. Aplicando a epressão da probabilidade condicionada vem: P(A i /B) = P(A i B)/ P(B) = = P(A i ).P(B/A i )/ P(B) Na epressão P(A i /B) = P(A i ).P(B/A i ) / P(B) o valor de P(B) é obtido através do Teorema da Probabilidade Total 7

8 KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC s CCC S X = X(s) 0 3 R X(S) Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real = X(s) é denominada variável aleatória. Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta. Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. 8

9 A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada i X(S) o número f( i ) = P(X = i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f( i ) 0, para todo i f( i ) = A coleção dos pares [ i, f( i )] para i =,, 3,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X. Suponha que um par de dados é lançado. Então X = soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores: Como X((a, b)) = a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, } A função de probabilidade f() = P(X = ), associa a cada X(S), um número no intervalo [0; ] dado por: f() = P(X = ) = P(X(s) = ) = = P([ X(S) / X(s) = }) 9

10 Desta forma: f() = P(X = ) = P{(,)} = /36 f(3) = P(X = 3) = P{(,), (, )} = /36... f() = P(X=) = P{(6, 5), (5, 6)} = /36 f() = P(X = ) = P{(6, 6)} = /36 A distribuição de probabilidade será: f() 36 A distribuição de probabilidade de X será então: Σ Através de: uma tabela uma epressão analítica (fórmula) um diagrama Seja X = número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a dada ao lado Σ f() /6 4/6 6/6 4/6 /6 Considere X = soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R ( - )/36 se 7 ( - -)/36 se > 7 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,

11 (a) Epectância, valor esperado µ = E(X) =.f () =.P(X = ) (b) Desvio padrão σ = f ()( µ) = f () µ Bernoulli Binomial Hipergeométrica EXPERIMENTO Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por 0 ou fracasso e ou sucesso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é representada por p e a de insucesso por q = p. Conjunto de Valores X(S) = { 0, } A Função de Probabilidade (fp) A Função de Probabilidade (fp),0 0,8 0,6 p f () = P(X = ) = p se se = 0 = 0,4 0, 0,0 0

12 Características Epectância ou Valor Esperado E(X) =.f () = 0.q +.p = p Variância V = = ( X ) (0 p.q p = + E ( X =.p ) p ( ) - E(X) p p ) = = pq = EXPERIMENTO Como eistem apenas duas situações: A ocorre e A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q = p. A VAD definida por X = número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL. Conjunto de Valores X(S) = {0,,, 3,..., n} A Função de Probabilidade (fp) f () n = P(X = ) = p q n Características Epectância ou Valor Esperado Variância V(X) E(X) =.f() = = E( X ) - E(X) = npq np σ X = npq

13 EXPERIMENTO A distribuição Binomial é deduzida com base em n repetições de um eperimento de maneira independente (isto é, p = constante), ou retiradas com reposição de uma população finita. EXPERIMENTO Se a eperiência consistir na seleção de objetos, sem reposição, de uma população finita, de tamanho N, onde r apresentam uma característica N r não apresentam esta característica, então eistirá dependência entre as repetições. EXPERIMENTO Neste caso a variável aleatória X = número de objetos com a característica r em uma amostra de tamanho n, terá uma distribuição denominada de Hipergeométrica. Conjunto de Valores : má{0, n N+r)},..., mín{r, n} A Função de Probabilidade (fp) r N r n r f () = P(X = ) = N n Características Epectância ou Valor Esperado E (X) = np Desvio Padrão σ X = npq N n N Onde p = r N 3

14 Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. É a função que associa a cada X(S) um número f() que deve satisfazer as seguintes propriedades: f() 0 f(). d A coleção dos pares (, f()) é denominada de P ( a y < X < b ) = b a f ( ) d distribuição de probabilidade da VAC X. a b a < X < b P ( a < X < b Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f() entre os pontos = a e = b. ) = b a f ( ) d P ( X Se X é uma VAC, então: = a ) = a a f ( ) d = 0 P (a < X < b ) = P (a X < b ) = = P (a < X b ) = P (a X b ) 4

15 (a) Epectância, valor esperado µ = E(X) =.f () d (b) Desvio padrão σ = f ()( µ ) d = f ()d µ É a função F() definida por: F() = P(X ) = f(u)du A F() é a integral da f() até um ponto genérico. O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é um função que fornece a Integral. Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X ) = F() P(X > ) = F() P( < X< ) = F( ) F( ) Uniforme Eponencial Normal t (Student) χ (Qui-quadrado) F (Snedekor) 5

16 Uma VAC X é uniforme no intervalo [a; b] se assume todos os valores com igual probabilidade. Isto é, se f() for: f() = b a 0 se c.c. a b A função F() é dada por: 0 se < a a F ( )= se a b b a se > b Epectância ou Valor Esperado a + b E(X) = Variância (b a ) σ = V ( X ) = E ( X ) E (X ) = Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f() =.e π. σ µ. σ, R com - < µ < e σ > 0 6

17 0,8 N(0; ) N(0; 0,5) N(0; ) 0,6 N(; ) 0,4 0, 0, P(X ) =.e π. σ u µ. σ du =? A normal não é integrável através do TFC, isto é, não eiste F() tal que F () = f(). Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente). A curva escolhida é a N(0, ), isto é, com µ = 0 e σ =. Se X é uma N(µ, σ), então: Z = X µ σ Será uma N(0; ) 0,4 P(Z z) = Φ(z) = DIST.NORP(z) 0,3 0, P(Z > z) = - P(Z z) = - Φ (z) Φ ( z) = DIST.NORP( -z) = 0, 0,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 P( z < Z < DIST.NORMP z ( z ) = Φ( z ) Φ( z ) = ) DIST.NORMP ( z ) 7

18 Se a normal não é a padrão pode-se padronizar ou, então, utilizar a função: =DIST.NORM(; µ; σ;) Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X ) = 5% (b) P(X > ) = % Para resolver este tipo de eercício é preciso utilizar a função inversa, isto é: = INV.NORM(5%; 50; 8) = = 36,84 0,05 0,04 0,03 0,0 5% 0,0 P(X ) = 5% 0,

19 (b) P(X > ) = % Não esquecer que a planilha fornece a área à esquerda, então: P(X > ) = % P(X ) = 99% INV.NORM(99%; 50; 8) = 68,6 0,05 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,0 0,0 0,0 P(X > ) = % % 0, Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f ( ) υ + Γ + υ υ πυ. Γ = para υ + R 9

20 onde Γ é a função dada por Γ ( p ) = 0 para p > 0 Γ ( p ) = (p - ) Γ ( p d ) p e Γ ( / ) = π Γ ( n ) = (n - )! se n Z 0,40 0,30 0,0 0,0 fdp de t() t(5) t(5) 0, Epectância ou Valor esperado µ = E (X) = 0 Variância υ Var(X) = υ- O valor υ é denominado de Grau de liberdade A planilha fornece uma função direta e uma inversa, em relação a área à direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) = α (unilateral) ou P( T t) = α (bilateral). (a) Dada uma distribuição t (de Student) com parâmetro g.l. = 30, determinar: P(Τ ). (b) O valor t tal que P( Τ t) = 90% Então P(T ) =,73% 0

21 Então O valor t tal que P( Τ t) = 90% é t =,697 Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: υ υ f ( ) = 0 e υ Γ se se > 0 0 Epectância ou Valor esperado E(X) = υ Variância Var(X) = υ O valor υ é denominado de Grau de liberdade,0,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 fdp de χ () χ () χ (3) χ (5) A planilha fornece uma função direta e uma inversa, em relação a área à direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) = α (unilateral) ou P( T t) = α (bilateral).

22 (a) Dada uma distribuição t (de Student) com parâmetro g.l. = 30, determinar: P(Τ ). (b) O valor t tal que P( Τ t) = 90% Então P(T ) =,73% Então O valor t tal que P( Τ t) = 90% é t =,697 A planilha fornece uma função direta (área á direita) e uma inversa, em relação a área à direita (unilateral). Isto é, a planilha retorna um valor α tal que P(χ c) = α (unilateral), ou c tal que P(χ c) = α, no caso da função inversa. (a) Dada uma distribuição Qui- Quadrado com parâmetro g.l. =, determinar: P(χ ). (b) O valor de c tal que P(χ c) = 90% Então P(χ ) = 3,73%

23 Então, o valor de c tal que, P(χ c) = 90% é c =,7. Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: m n m m + n Γ m n f() = m n Γ Γ 0 ( n + m) m + n se > 0 se 0 Epectância ou Valor esperado m E(X) = m Variância (m + n - ) Var(X) = m m(n- )(n- 4) m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 fdp de F(, 3) F(, 5) F(5, 0) F(0, 0) A planilha fornece uma função direta e uma inversa, em relação a área à direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) = α (unilateral) ou P( T t) = α (bilateral). 3

24 (a) Dada uma distribuição t (de Student) com parâmetro g.l. = 30, determinar: P(Τ ). (b) O valor t tal que P( Τ t) = 90% Então P(T ) =,73% Então O valor t tal que P( Τ t) = 90% é t =,697 A planilha fornece uma função direta (área á direita) e uma inversa, em relação a área à direita (unilateral). Isto é, a planilha retorna um valor α tal que P(χ c) = α (unilateral), ou c tal que P(χ c) = α, no caso da função inversa. (a) Dada uma distribuição Qui- Quadrado com parâmetro g.l. =, determinar: P(χ ). (b) O valor de c tal que P(χ c) = 90% Então P(χ ) = 3,73% 4

25 Então, o valor de c tal que, P(χ c) = 90% é c =,7. O que é tabelado é a área à direita de cada curva (função direta), isto é, dado um certo valor de, tem-se: P[F(m, n) ] = α, ou dado uma área à direita α pode-se determinar que satisfaz P[F(m, n) ] = α (função inversa). (a) Dada uma distribuição F com parâmetros g.l. do numerador = 3 e g.l. do denominador igual a 5, determinar P(F,5). (b) O valor de f tal que P(F f) = 80% Então P(F,5) = 7,39% Então, o valor de f tal que, P(F f) = 80% é f =,5. 5

26 de Tchebycheff, Tchebichev ou Chebyshev, P( X - µ kσ) /k P( X - µ < kσ) - /k Se a distribuição for unimodal e simétrica, então: P( X - µ kσ) 4/9k Estas desigualdades fornecem as probabilidades de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simétrico em torno da média de amplitude igual a k desvios padrões. Assim se k =, por eemplo, a desigualdade de Tchebycheff estabelece que o percentual de valores da variável aleatória que está compreendida no intervalo µ ± σ é de pelo menos - /4 = 75%. X - µ < σ - /4 = 75%. Na normal este percentual vale eatamente 95,44%. Mas como a normal é simétrica e unimodal, neste caso, um resultado mais próimo é dado pela desigualdade de Camp-Meidell, isto é: 4/(9k ) = (/9) = 88,89%. 6