1 INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE

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1 INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE A Estatística, desde as suas origens antigo Egito 000 anos a.c. até meados do século XIX, se reocuava aenas com a organização e a aresentação de dados de observação coletados emiricamente Estatística Descritiva. Somente com o desenvolvimento da teoria das robabilidades foi ossível que a Estatística se estruturasse organicamente e amliasse seu camo de ação, através da criação de técnicas de amostragem mais adequadas e de formas de relacionar as amostras com as oulações de onde rovieram Inferência Estatística. A robabilidade é uma área relativamente nova da matemática considerando a idade da matemática que tem como finalidade a modelagem de fenômenos aleatórios. Modelar significa conhecer matematicamente. Uma das funções da matemática é a criação de modelos que ossibilitem o estudo dos fenômenos da natureza. Ao estudar um fenômeno, temos semre o interesse de tornar a sua investigação mais recisa e, ara isso, tentamos formular um modelo matemático que melhor o exlique. Deendendo do fenômeno que esta sendo estudado, os modelos matemáticos odem ser de dois tios: Modelos Determinísticos Refere-se a um modelo que estiule que as condições sob as quais um exerimento seja executado determinem o resultado do exerimento. O modelo determinístico requer o uso de arâmetros ré-determinados em equações que definem rocessos recisos. Em outras alavras, um modelo determinístico emrega "Considerações Físicas" ara rever resultados. Exemlo: Se o deslocamento de um objeto é definido ela exressão sv.t e são conhecidos os valores de v velocidade e t temo, então o valor de s fica imlicitamente determinado. Modelos Não Determinísticos ou Probabilísticos São aqueles que informam com que chance ou robabilidade os acontecimentos odem ocorrer. Determina o "grau de credibilidade" dos acontecimentos. Modelos Estocásticos. Em outras alavras, um modelo robabilístico emrega uma mesma esécie de considerações ara esecificar uma distribuição de robabilidade. Exemlo: O nascimento de um bovino. Não é ossível determinar o sexo do recém nascido, somente a sua robabilidade de ocorrência: 0,5 ara fêmea e 0,5 ara macho.. CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM PROBABILIDADE Os conceitos fundamentais em robabilidade são: exerimentos aleatórios, esaço amostral e eventos... Exerimento aleatório E Qualquer rocesso aleatório, caaz de roduzir observações, os resultados surgem ao acaso, odendo admitir reetições no futuro. Um exerimento aleatório aresenta as seguintes características: a - os resultados odem reetir-se n vezes n ;

2 b - embora não se ossa rever que resultados ocorrerão, ode-se descrever o conjunto de resultados ossíveis; c - a medida que se aumenta o número de reetições, aarece uma certa regularidade nos resultados. Exemlos: E lançar um dado e observar o número na face suerior. E lançar uma moeda e observar o valor na face suerior. E3 lançar um dado e uma moeda, nesta sequência, observar os valores nas faces sueriores. E4 um casal deseja ter três filhos e observar o sexo, de acordo com a ordem de nascimentos das crianças... Esaço Amostral S É o conjunto de todos os resultados ossíveis, de um exerimento aleatório. Quanto ao número de elementos ode ser: a Finito: Número limitado de elementos; Exemlos: Considere os exerimentos aleatórios aresentados anteriormente: No E - S={,, 3, 4, 5, 6} No E - S={k, c}, onde k=cara, C=coroa No E3 - S={k, k, 3k, 4k, 5k, 6k, c, c, 3c, 4c, 5c, 6c} No E4 - S={MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF} b Infinito: Número ilimitado de elementos, ode ser sub-dividido em: Enumerável: Quando os ossíveis resultados uderem ser ostos em concordância biunívoca com o conjunto dos números naturais N caso das variáveis aleatórias discretas. Ex.: N Não Enumerável: Quando os ossíveis resultados não uderem ser ostos em concordância biunívoca com o conjunto dos números naturais caso das variáveis aleatórias contínuas. Ex.: R..3 Evento A Um evento A é qualquer subconjunto de um esaço amostral S. Pode-se ter oerações entre eventos da mesma forma que se tem com conjuntos, como se mostra a seguir. Exemlo: Considere o exerimento aleatório E3, com seu resectivo esaço amostral S={k, k, 3k, 4k, 5k, 6k, c, c, 3c, 4c, 5c, 6c}. São eventos ara esse exerimento: A = ocorrência de valor cara K B = ocorrência de valor ar C = ocorrência de valor coroa C D = ocorrência de valor ímar E = ocorrência de número rimo F = ocorrência de valor maior que 4 G = ocorrência de valor menor ou igual a 3 H = ocorrência de valor ar ou cara K I = ocorrência de valor ar ou ímar

3 J = ocorrência de valor ar e cara K K = ocorrência de valor ar e ímar L = ocorrência de valor maior que 7..4 Oerações com Eventos a A união B: Símbolo utilizado "U", é o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B ou ambos ocorrerem; b A interseção B: Símbolo utilizado " ", é o evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrem simultaneamente. c Comlementar de A: Simbologia "Ā" ou "Ac" é o evento que ocorrerá se, e somente se A não ocorrer...5 Tios de eventos a Evento certo: É aquele evento que se igual ao esaço amostral S. Exemlo: O evento I acima é um evento certo. b Evento imossível: É aquele evento que não ossui elemento algum. Exemlo: Os eventos K e L acima são eventos imossíveis. c Eventos Mutuamente Excludentes: São ditos eventos mutuamente excludentes, quando a ocorrência de um imlica ou não ocorrência de outro, isto é, não ode ocorrer juntos, e consequentemente, A B é o conjunto vazio. Exemlo: Considere os eventos descritos acima: Os eventos A e C são mutuamente exclusivos ois A C =. Os eventos B e D são mutuamente exclusivos ois B D =. Os eventos C e J são mutuamente exclusivos ois C J =. Os eventos H e J não são mutuamente exclusivos ois H J. d Eventos Indeendentes: São aqueles cuja ocorrência de um evento, não ossui efeito algum na ocorrência do outro. e Eventos Deendentes ou Condicionados: Existem varias situações onde a ocorrência de um evento ode influenciar fortemente na ocorrência de outro. e Eventos Comlementares: Dois eventos A e B quaisquer são chamados de comlementares se: A B = e AUB = S. Exemlo: Considere os eventos descritos no exemlo acima: Os eventos A e C são comlementares ois A C = e AUC = S. Os eventos B e D são comlementares ois B D = e BUD = S. Os eventos H e J não são comlementares ois H J e HUJ S. Os eventos F e K não são comlementares ois F K aesar de FUK = S. Os eventos C e J não são comlementares ois CUJ S aesar de C J =. 3

4 . PROBABILIDADE: A robabilidade de ocorrência de um evento A, PA, é um número real que satisfaz as seguintes condições: a 0 PA b PS = c Se A e B são eventos mutuamente exclusivos então PAUB = PA + PB Princiais teoremas : I PĀ = PA II Se A é um evento imossível de ocorrer A=, então PA = P =0 III Se A e B são eventos quaisquer, então: PAUB = PA + PB - PB A. A robabilidade deverá ser calculada a artir da fórmula: Intuitivamente também ode-se definir robabilidade como: n S P A. n A número de casos favoráveis a A A = número total de casos ossíveis Exemlo: Seja o Exerimento E o lançamento de um dado e o seu esaço amostral dado or: S = {,, 3, 4, 5, 6}. Qual a robabilidade do evento A: Números maiores e iguais a? O Evento A ode ser descrito na forma: A ={, 3, 4, 5, 6}. Então na = 5 e ns = 6. Logo a n S 5 robabilidade do evento A é P A n A 6.. Probabilidade Condicional Ilustração: Seja o exerimento aleatório E: lançar um dado e o evento A = {sair o número 3}. Então: P A 6 Seja o evento B = {sair o número imar} = {, 3, 5} Podemos estar interessados em avaliar a robabilidade do evento A estar condicionado à ocorrência do evento B,designado or PA B, onde o evento A é o evento condicionado e o evento B o condicionante. Ou seja, calcular a robabilidade da ocorrência do evento A tendo ocorrido o evento B. Assim P A B. 3 Formalmente a robabilidade condicionada é definida or: Dado dois eventos P A B n A B quaisquer A e B, denotaremos PA B, or P A B, com P B n B PB 0, ois B já ocorreu. 4

5 .. Teorema do Produto A robabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos quaisquer A e B, do mesmo esaço amostra, é igual ao roduto da robabilidade de ocorrência do rimeiro deles ela robabilidade condicional do outro, dado que o rimeiro ocorreu. Assim: P A B P A B P A B P B. P A B. P B..3 Indeendência Estatística Um evento A é considerado indeendente de um outro evento B se a robabilidade de A é igual à robabilidade condicional de A dado B, isto é, se: PA = PA B Considerando o teorema do roduto odemos afirmar que: PA B = PA PB.3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO. Determine a robabilidade de cada evento: a Uma carta de ouros aarecer ao se extrair uma carta de um baralho de 5 cartas b Uma só coroa aarece no lançamento de 3 moedas Res: a /4 b 3/8. Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a robabilidade de: a a soma ser menor que 4; b a soma ser 9; c o rimeiro resultado ser maior que o segundo; d a soma ser menor ou igual a 5. Res: a / b /9 c 5/ d 5/8 3. Em um lote de eças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente eças, calcule: a a robabilidade de ambas serem defeituosas; b a robabilidade de ambas não serem defeituosas; c a robabilidade de ao menos uma ser defeituosa. Res: a / b 4/33 c 9/33 4. Um casal laneja ter 3 filhos. Determine a robabilidade de nascerem: a três homens; b dois homens e uma mulher. Res: a = /8 b = 3/8 5

6 5. Um baralho de 5 cartas é subdividido em 4 naies:coas, esadas, ouros e aus: a Retirando-se uma carta ao acaso, qual a robabilidade de que ela seja de ouros ou de coas? b Retirando-se duas cartas ao acaso com reosição da rimeira carta, qual a robabilidade de ser a rimeira de ouros e a segunda de coas? c Recalcular a robabilidade anterior se não houver reosição da rimeira carta. d Havendo reosição, qual a robabilidade de sair a rimeira carta de ouros ou então a segunda de coas? Res: a = / b = /6 c = 3/04 d = 7/6 6. Num gruo de 75 jovens, 6 gostam de música, esorte e leitura; 4 gostam de música e esorte; 30 gostam de música e leitura; gostam de esorte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esorte; e 5 jovens gostam somente de leitura. Sugestão: utilize o diagrama de Venn a Qual a robabilidade de, ao aontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de música? b Qual a robabilidade de, ao aontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades? Res: a = 44/75 b = /75 7. Uma urna contém 0 bolas numeradas de a 0. Seja o exerimento: retirada de uma bola. Considere os eventos: A = {a bola retirada ossui um múltilo de }; B={a bola retirada ossui um múltilo de 5}. Então, qual é a robabilidade do evento A U B? Res: = 3/5.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Lance um dado e uma moeda um aós o outro nesta sequencia. a Construa o esaço amostral b Enumere os resultados seguintes I. A ={coroa marcada or ar} II. B = {cara marcada or ímar} III. C = {Múltilo de 3} c Exresse os eventos I. B comlementar II. A ou B ocorrem III. B ou C ocorrem IV. A ou B comlementar c Calcule as robabilidades abaixo: PA, PB, PC, PĀ, PAUB e PBUC. Se A é o evento Um estudante fica em casa ara estudar. E B é o evento o estudante vai ao cinema, PA = 0,64 e PB = 0,. Determine: PAc, PBc, PB/A 6

7 3. Se PA = ½ ; PB = ¼ e A e B são mutuamente exclusivos então: a PAc b PBc c PA B 4. Se PA = ½; PB = /3 e PA B = ¼ calcule PAUB. 5. Qual a robabilidade de duas essoas aniversariarem no mesmo dia da semana? 6. A robabilidade de 3 jogadores marcarem um enalti é resectivamente: /3; 4/5; 7/0 cobrando uma única vez. a todos acertarem. 8/75 b aenas um acertar. /6 c todos errarem. /50 d Ao menos um acertar 7. Numa bolsa com 5 moedas de,00 e 0 moedas de 0,50. Qual a robabilidade de ao retirarmos moedas obter a soma,50. 0/ 8. Numa classe há 0 homens e 0 mulheres, metade dos homens e metade das mulheres ossuem olhos castanhos. Ache a robabilidade de uma essoa escolhida ao acaso ser homem ou ter olhos castanhos. /3 9. A robabilidade de um homem estar vivo daqui a 0 anos é de 0.4 e de sua mulher é de 0.6. Qual a robabilidade de que: a ambos estejam vivos no eríodo? 0.4 b somente o homem estar vivo? 0.6 c ao menos a mulher estar viva? 0.6 d somente a mulher estar viva? Um conjunto de 80 essoas tem as características abaixo: Se retirarmos uma essoa ao acaso, qual a robabilidade de que ela seja: a brasileira ou uruguaia. 63/80 b do sexo masculino ou tenha nascido na argentina. 9/6 c brasileiro do sexo masculino. 8/80 d uruguaio do sexo feminino. 5/80 e ser mulher se for argentino. 5/7 7

8 . Uma urna contém 5 fichas vermelhas e 4 brancas. Extraem-se sucessivamente duas ficha, sem reosição e constatou-se que a ª é branca. a qual a robabilidade da segunda também ser branca? 3/8 b qual a robabilidade da ª ser vermelha? 5/8. Um gruo de essoas está assim formado: Escolhendo-se, ao acaso, uma essoa do gruo, qual a robabilidade de que seja: a Uma mulher que fez o curso de medicina? b Uma essoa que fez o curso de medicina? c Um engenheiro dado que seja homem? d Não ser médico dado que não seja homem? 3. Numa cidade 40 % da oulação ossui cabelos castanhos, 5% olhos castanhos e 5% olhos e cabelos castanhos. Uma essoa é selecionada aleatoriamente. a se ela tiver olhos castanhos, qual a robabilidade de também ter cabelos castanhos? b se ela tiver cabelos castanhos, qual a robabilidade de ter olhos castanhos? 3/5 3/8 4. Num ginásio de esortes, 6% dos frequentadores jogam vôlei, 36% jogam basquete e % raticam os dois esortes. Um dos frequentadores é sorteado ara ganhar uma medalha. Sabendo-se que ele joga basquete, qual a robabilidade de que também jogue vôlei? 5. A robabilidade de um aluno resolver um determinado roblema é de /5 e a robabilidade de outro é de 5/6. Sabendo que os alunos tentam solucionar o roblema indeendentemente. Qual a robabilidade do roblema ser resolvido : a somente elo rimeiro? b ao menos or um dos alunos? c or nenhum? 8

9 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Ao descrever um esaço amostral S associado a um exerimento qualquer odemos ter um conjunto formado or elementos não numéricos, como é o caso do lançamento de uma moeda. No entanto, muitas vezes, estaremos interessados na utilização dos recursos da Estatística descritiva, que somente são ossíveis com elementos numéricos. Assim ara que esses recursos sejam utilizados, é necessário transformar um esaço amostral qualquer em outro numérico. Para isso usamos as variáveis aleatórias. Para facilitar a comreensão do conceito de variável aleatória, vamos tomar como exemlo o seguinte exerimento aleatório. Exemlo : Lançamento de uma moeda honesta três vezes e observação das faces que ocorrem. O esaço amostral do exerimento é S = {ccc, cck, ckc, kcc, kkc, kck, ckk, kkk}. Seja X a variável que reresenta o numero de caras ocorrido nos três lançamentos. Quais são os ossíveis valores de X? X = {0,,, 3} Através de X foi ossível transformar um conjunto não numérico com oito ontos amostrais em um conjunto numérico com quatro ontos. A artir deste exemlo odemos definir: Variável aleatória v.a. é uma função ou regra que transforma um esaço amostral qualquer em um esaço amostral numérico que será semre um subconjunto do conjunto dos números reais. No exemlo anterior, se X fosse a variável que reresenta o numero de coroas, os conjuntos seriam os mesmos, mas a função seria outra, ois a corresondência é outra. De modo geral, uma variável aleatória ode ser reresentada elo esquema abaixo 9

10 As variáveis aleatórias odem ser classificadas como discretas ou continuas. Por questões didáticas e de raticidade, vamos estudar cada tio searadamente. Inicialmente, abordaremos as variáveis aleatórias discretas e suas rinciais distribuições de robabilidades. A reseito das variáveis aleatórias contínuas, focaremos nosso estudo em suas distribuições de robabilidade sem estudar suas medidas descritivas.. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS São discretas todas as variáveis cujo esaço amostral S X é enumerável finito ou infinito. Assim se X é uma variável aleatória discreta, então S X é um subconjunto dos inteiros. No exemlo acima, temos uma v.a. discreta. Tomemos como outro exemlo o seguinte exerimento: Exemlo : Lançamento de uma moeda até que ocorra face cara. Qual será o novo esaço amostral? O esaço amostral básico deste exerimento será S = {c, kc, kkc, kkkc, kkkkc, kkkkkc,...}. Se definimos a variável aleatória X como o número de lançamentos até que ocorra cara, então, temos X S S X {,, 3, 4, 5,...} Assim, o esaço amostral S é associado ao conjunto S X... Função densidade de robabilidade fd Quando utilizamos uma v.a. x ara transformar os valores de um esaço amostral S em um novo esaço amostral constituído de números reais, em geral modificamos também a função de robabilidade associada a este esaço amostral. A função de robabilidade será reresentada or X=x ou x. Essa função associa a cada valor de X a sua robabilidade de ocorrência, desde que satisfaça duas condições: x 0,x x SX Existem três formas distintas de reresentar uma função: 0

11 Reresentação tabular: consiste em relacionar em uma tabela os valores da função de robabilidade. Reresentação gráfica: consiste em reresentar graficamente a relação entre os valores da variável e suas robabilidades. Reresentação analítica: estabelece uma exressão geral ara reresentar o valor da função num onto genérico da variável. Para o Exemlo temos que X reresenta o número de caras obtidos. Assim ara a tabela da função de robabilidade temos: X = x PX = x kkk 0 /8 ckk /8 kck /8 kkc /8 kcc /8 ckc /8 cck /8 Ccc 3 /8 Total X = x PX = x kkk 0 /8 ckk kck kkc kcc 3/8 ckc cck ccc 3 3/8 /8 Total Graficamente: Exemlo 3: No lançamento de dois dados a v.a. X anota a soma dos ontos das faces sueriores. Determine a função de robabilidade associada a variável X.

12 ,,,,,,,,, X X X R S X Assim, a função de robabilidade associada a variável X é: Em uma tabela temos X Px /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36.. Medidas Descritivas Quando estudamos as distribuições de frequências, em Estatística Descritiva, rocuramos caracterizar as rinciais medidas sobre a distribuição, como: média x, variância S e desvio-adrão S. Nesta situação estávamos lidando com amostras.

13 A variável aleatória será utilizada ara estabelecer modelos teóricos de robabilidade com a finalidade de descrever oulações. Média ou valor eserado : [ x. x ] Variância i i. xi : x [ x ] Desvio-adrão : x i Utilizando o exemlo, temos: x Px x i. P xi x i xi. P xi 0 /8 = 0,5 00,5= 0 0 5,, 5, 5 05, 0, 3/8 = 0,375 0,375 = 0,375 5, 0, 5 3/8 = 0,375 0,375 = 0,75 5, 0, 5 3 /8 = 0,5 30,5 = 0, ,, 5 =,000, 5 8 0, , 0, 094 0, , 0, 094, 5 05, 0, 8 0, 75 Assim, o valor eserado ou média será, 5, a variância 0, 75, e o desvio-ardão será a raiz quadrada da variância, ou seja 0, 75 0, EXERCÍCIOS. No lançamento de duas moedas, a v.a. X anota o número de caras obtidas. determine os valores de X e a função de robabilidade associada.. No lançamento de dois dados, a variável aleatória X denota a diferença entre os ontos obtidos nas faces sueriores. Determine os valores de x e a função de robabilidade associada. 3. A urna A contém 3 bolas brancas e bolas retas. A urna B contém 5 bolas brancas e bola reta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e a v.a. x anota o número de bolas brancas obtidas. Determine os valores de x e a função de robabilidade. 4. Uma carta é retirada aleatoriamente de um baralho comum de 5 cartas, e a v.a. X anota o número de damas obtidos nessa retirada. Determinar os valores de X e a função de robabilidade associada. 3

14 5. A tabela a seguir dá as robabilidades de um oficial de justiça receber 0,,, 3, 4 ou 5, relatórios de violação de liberdade condicional em um dia qualquer. Encontre a média e o desvio adrão de X. Ex=,77 e Dx=,4 6. A tabela abaixo fornece a robabilidade de que um sistema de comutação fique fora de oeração um dado eríodo or dia durante a fase inicial de instalação do sistema. Calcular: a O número eserado de vezes que o comutados fique fora de oeração or dia. Ex= 6,78 b O desvio adrão desta distribuição de robabilidade. D=,06 7. O trem do metrô ara no meio de um túnel. O defeito ode ser na antena recetora ou no ainel de controle. Se o defeito for na antena, o conserto oderá ser feito em 5 minutos. Se o defeito for no ainel, o conserto oderá ser feito em 5 minutos. O encarregado da manutenção acredita que a robabilidade de o defeito ser no ainel é de 60%. Qual é a exectativa do temo de concerto? Ex= min. 8. Uma confeiteira roduz cinco bolos em determinado dia. As robabilidades de vender nenhum, um, dois, três, quatro ou cinco valem resectivamente %, 5%, 0%, 30%, 9% e 5%. O custo total de rodução de cada bolo é R$0,00 e o reço unitário de venda é R$0,00. Calcule o lucro médio, a variância e o desvio-adrão. Ex=5,0 - Varx=54,96 - D=,9 9. Sabe-se que a chegada de clientes a uma loja de material comutacional, durante intervalos aleatoriamente escolhidos de 0 minutos, segue uma distribuição de robabilidade dada na tabela abaixo. Calcule o número eserado de chegada de clientes or intervalo de 0 minutos, e calcule também o desvio adrão das chegadas. Ex= - Varx=,9 0. As vendas de uma revista mensal em uma banca segue uma distribuição de robabilidade dada na tabela abaixo. Calcule o valor eserado e a variância. Ex=7,8 - Varx=,66 4

15 3 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Até o momento, as variáveis aleatórias consideradas não ossuíam, necessariamente,qualquer sentido de alicação. Entretanto, algumas variáveis aleatórias são muitos imortantes e, devido a esta imortância, surge o interesse em estudar suas distribuições de robabilidade. Uma distribuição de robabilidade é essencialmente um modelo de descrição robabilística de uma oulação, entendendo or oulação o conjunto de todos os valores de uma variável aleatória. As ideias de oulação e distribuição de robabilidade são, deste modo, indissociáveis e serão, a artir de agora, tratadas como sinônimos. As distribuições de robabilidade formam a esinha dorsal da metodologia estatística, uma vez, que ela sua natureza, a estatística somente trabalha com variáveis cujos valores não ocorrem de modo determinístico. No estudo de uma variável aleatória é imortante saber: o tio de distribuição de robabilidade da variável; a função de robabilidade da variável; os arâmetros da distribuição; as medidas descritivas da distribuição média, variância, assimetria. Existem inúmeros modelos descrevendo o comortamento robabilístico de variáveis discretas e contínuas. Nas seções a seguir serão discutidos os rinciais tios de distribuições discretas e contínuas. 3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DE VARIÁVEIS DISCRETAS As distribuições discretas mais imortantes e utilizadas são: Bernoulli, Binomial, Poisson, Hiergeométrica, Uniforme, Multinomial, Geométrica, Binomial negativa e Hiergeométrica negativa. Todavia, trataremos aenas as três rimeiras. 3.. Distribuição de Bernoulli Esta distribuição foi deduzida no final do século XVII elo matemático suíço Jacob Bernoulli. Definição: O exerimento ou ensaio de Bernoulli é definido como o exerimento aleatório que ossui aenas dois resultados ossíveis. Exemlo : Uma lâmada é colocada numa luminária. S = {acende, não acende} Vamos considerar um dos resultados como sucesso, or exemlo, sucesso = acender. Definimos, então, a variável X como número de sucessos em uma reetição do exerimento. X = número de sucessos A variável X só oderá assumir dois valores 0, se a lâmada não acender X =, sendo SX = {0, }., se a lâmada acender 5

16 Exemlo : Uma semente é colocada ara germinar. S = {germina, não germina} Se sucesso = germinar, então, a variável X = número de sucessos será 0, se a semente não germinar X =, sendo SX = {0, }., se a semente germinar Se for conhecido o oder germinativo do lote de sementes, or exemlo, 87%, então, odemos concluir que a robabilidade de a semente germinar é 0,87. Como o evento {não germinar} e comlemento do evento {germinar}, a robabilidade de não germinar será 0,8 = 0,3. Temos, então Escrevendo de outra forma: P X 0 03, P X 087, Exemlo 3: O nascimento de um bovino. S = {macho, fêmea} Se sucesso = fêmea, então, a variável X = número de sucessos será 0, se nascer macho X =, sendo SX = {0, }., se nascer fêmea Sabe-se que a robabilidade de nascer fêmea é a mesma de nascer macho. Temos, então Ou seja, P X 0 0, 5 P X 0, 5 Função de robabilidade De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição de Bernoulli, então a sua função de robabilidade será: Reresentação tabular 6

17 onde: = robabilidade de sucesso q = = robabilidade de fracasso Reresentação analítica X = x 0 PX = x - P x x P X x. q, ara S { 0, } X Valor Eserado: E x Variância: x. q 3.. Distribuição Binomial O termo "Binomial" é utilizado quando uma variável aleatória está agruada em duas classes ou categorias. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de modo a deixar bem claro a qual categoria ertence determinada observação; e as classes devem ser coletivamente exaustivas, de forma que nenhum outro resultado fora delas é ossível. Definição: modelo que descreve robabilisticamente os resultados de uma sequência de exerimentos de Bernoulli indeendentes, ou seja, onde a robabilidade de sucesso e semre a mesma. Exemlo : Em uma estância 60% dos bovinos foram vacinados contra uma determinada doença. Se um bovino dessa estância for escolhido ao acaso, então, teremos um exerimento de Bernoulli com S = {vacinado, não vacinado}, onde: Pvacinado = 0,6 e Pnão vacinado = 0,4. Se três bovinos forem escolhidos ao acaso, então teremos uma sequência de três exerimentos de Bernoulli indeendentes uma vez que, a cada escolha, a robabilidade de sucesso ermanecerá inalterada. O esaço amostral deste exerimento será S = {VVV, VVN, VNV, NVV, NNV, NVN, VNN, NNN}, onde: V = vacinado e N = não vacinado. Se a variável X é definida como o número de sucessos em n exerimentos de Bernoulli indeendentes, com robabilidade de sucesso igual a, então, no exemlo, onde n = 3 e = 0,6 se considerarmos sucesso = vacinado, o esaço amostral da variável X será SX = {0,,, 3} e as robabilidades PX = x será: X = x PX = x NNN 0 0,40,40,4 0,4 3 0,4 3 0,064 NNV 0,40,40,6 0,4 0,6 NVN 0,40,60,4 0,4 0,6 30,4 0,6 0,88 VNN 0,60,40,4 0,4 0,6 VVN VNV NVV 0,60,60,4 0,60,40,6 0,40,60,6 0,4 0,6 0,4 0,6 30,4 0,4 0,6 0,6 0,43 VVV 3 0,60,60,6 0,6 3 0,6 3 0,6 7

18 Escrevendo de outra forma, temos PX = 0 =. 0. q 3 =. 0,6 0. 0,4 3 = 0,064 PX = = 3.. q = 3. 0,6. 0,4 = 0,88 PX = = 3.. q = 3. 0,6. 0,4 = 0,43 PX = 3 =. 3. q 0 =. 0,6 3. 0,4 0 = 0,6 Sendo assim, a distribuição de robabilidade da variável X será Função de robabilidade De modo geral, se X e uma variável que tem distribuição de Bernoulli, então a sua função de robabilidade será: P n x x q n x X x onde n n!! n! Valor Eserado: E x n. Variância: x n.. q Usando a função de robabilidade ara o exemlo, temos: P X 0 0, 60 0, 40 0, P X 0, 60 0, 40 0, 88 3 P X 0, 60 0, 40 0, P X 3 0, 60 0, 40 0, 6 3 Com valor eserado E x 3 0, 6, 8, variância x 3 0, 6 0, 4 0, 7 e desvio adrão x 0, 7 0, 85. ATENÇÃO: Proriedades necessárias ara haver uma utilização da Distribuição Binomial: Número de tentativas fixas; Cada tentativa deve resultar numa falha ou sucesso; As robabilidades de sucesso devem ser iguais ara todas as tentativas; Todas as tentativas devem ser indeendentes. 8

19 Exemlo : A robabilidade de um atirador acertar o alvo é de 5%. Se ele atirar cinco vezes, qual a robabilidade dele acertar dois tiros? n 5 x 0, 5 q 0, 75 P X 5 5 0, 5 0, 75 5! 3 0, 5 0, 75! 3! 0 0, 065 0, , 637 6, 37% Valor eserado: E x 5 0, 5 5, Variância: x 5 0, 5 0, 75 0, 9375 Desvio adrão: x 0, , 968 Exemlo 3: Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e indeendentes. Calcule a robabilidade de serem obtidas 3 caras nessa rova. n 5 x 3 0, 50 q 0, 50 P X , 50 0, ! 3 0, 50 0, 50 3!! 0 05, 0, 5 0, 35 3, 5% Valor eserado: E x 5 0, 5, 5 Variância: x 5 0, 5 0, 5 5, Desvio adrão: x, 5 8, 3..3 Distribuição de Poisson Quando numa distribuição binomial o tamanho "n" das observações for muito grande e a robabilidade "" de sucesso for muito equena, a robabilidade de ocorrência de um determinado número de observações segue uma Distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson,foi assim designada em homenagem ao matemático e físico francês Simeon Denis Poisson. A alicação da distribuição segue algumas restrições: - Somente a chance afeta o aarecimento do evento, contando-se aenas com a sua ocorrência, ou seja, a robabilidade de sucesso "". - Uma vez não conhecido o número total de eventos, a distribuição não ode ser alicada. Definição: modelo que descreve robabilisticamente a sequência de um grande número de fenômenos indeendentes entre si, cada um com robabilidade de sucesso muito equena. 9

20 Esta distribuição e imortante no estudo de variáveis aleatórias de ocorrência rara em relação ao numero total de ocorrências, como or exemlo: número de ecas defeituosas observadas em uma linha de rodução num determinado eríodo de temo; número de artículas radioativas emitidas numa unidade de temo; número de cultivares selecionadas num rocesso de melhoramento; número de acidentes de trabalho ocorridos numa grande emresa num determinado eríodo de temo; número de ciclones ocorridos em certa região num determinado eríodo de temo Função de robabilidade De modo geral, se X e uma variável que tem distribuição de Poisson, então a sua função de robabilidade será: x e P X x, ara S X { 0,,,...} x! onde: x : numero de sucessos; e : numero base dos logaritmos neerianos =,78 constante; : numero médio de sucessos semre maior que zero. OBS: Algumas vezes será reciso usar n. Valor Eserado: E x Variância: x Exemlo : Um rocesso mecânico roduz tecido ara taetes com uma média de dois defeitos or metro quadrado. Determine a robabilidade de um metro quadrado ter exatamente um defeito, admitindo-se que o rocesso ossa ser bem aroximado or uma distribuição de Poisson. x P X e! 035, 0, 70 7% Valor eserado: E x 5 0, 5, 5 Variância: x 5 0, 5 0, 75 0, 9375 Desvio adrão: x 0, , 968 Exemlo : Suonhamos que os navios cheguem a um orto à razão de navios/hora, e que essa razão seja bem aroximada or um rocesso de Poisson. Observando o rocesso durante um eríodo de meia hora, determine a robabilidade de a não chegar nenhum navio b chegarem 3 navios 0

21 navios hora 0, 5 hora Obs: a não chegar nenhum navio. e x 0 b chegarem 3 navios. e x 3 P X e 0 0! 0, 368 0, , 8% 0 P X e 3 3! 0, , 06 6, % 3 Exemlo 3: Uma máquina roduz nove eças defeituosas a cada mil eças roduzidas. Calcule a robabilidade de que em um lote quem contém 500 eças, não haja nenhuma eça defeituosa. Observamos que a robabilidade de ocorrer uma eça defeituosa é de 9 em.000, ou seja, = 0,009 = 0,9%. Então usando n. temos 500 0, 009 4, 5. Portanto, a robabilidade de não haver eça defeituosa é: P X e 4, 5 4, 5 0 0! 0, 0 0, 0, % 0 3. EXERCÍCIOS PARTE. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a robabilidade do time A ganhar 4 jogos. 3,43%. Seis arafusos são escolhidos ao acaso da rodução de uma certa máquina, que aresenta 0% de eças defeituosas. a Qual a robabilidade de serem defeituosos dois deles? 9,84% b Qual é o valor eserado? E o desvio adrão? Ex=0,6 D=0,73

22 3. Jogando-se um dado três vezes, determine a robabilidade de se obter um múltilo de 3 duas vezes.,% 4. Dos estudantes de um colégio, 4 % fumam cigarro. Escolhem-se seis ao acaso ara darem uma oinião sobre o fumo. Determine a robabilidade de: a nenhum dos seis ser fumante 4,% b todos os seis fumarem 0,48% c ao menos a metade dos seis ser fumante 47,65% 5. % dos que reservam lugar num vôo faltam ao embarque. O avião comorta 5 assageiros. a Determine a robabilidade de que todos os 5 que reservaram lugar comareçam ao embarque. 4,70% b Se houve 6 edidos de reserva, determine a robabilidade de uma essoa ficar de fora.,93% 6. Determine a robabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda. 3,5% 7. Dois jogadores de tênis, Pedro e Gustavo, jogam entre si 5 vezes. Encontre a robabilidade de Pedro: a ganhar dois ou três jogos 6,50% b ganhar elo menos um jogo. 3,% c Qual é o valor eserado ara esses jogos? O que isso significa? Ex=,5 8. A robabilidade de um atirador acertar o alvo é /3. Se ele atirar 5 vezes, qual a robabilidade de acertar exatamente tiros? 6,46% 9. Uma amostra de 5 eças é extraída, com reosição de um lote que contém 0% de eças defeituosas. Calcule a robabilidade de que: a o lote não contenha eça defeituosa; 0,59% b o lote contenha exatamente três eças defeituosas;,85% c o lote contenha elo menos uma eça defeituosa; 79,4% d o lote contenha entre três e seis eças defeituosas; 5,33% e o lote contenha de três a seis eças defeituosas. 8,37% 0. Calcular o valor eserado e o desvio adrão ara o número de eças defeituosas na amostra do roblema anterior. Ex=,5 D=,6. Uma confecção de roua infantil suseita que 30% de sua rodução aresenta algum defeito. Se tal suseita é correta, determine a robabilidade de que numa amostra de quatro eças, sejam encontradas: a no mínimo duas eças com defeitos; 34,83% b menos que três eças boas. 34,83%

23 . Admitindo-se o nascimento de meninos e meninas sejam iguais, calcular a robabilidade de um casal com 6 filhos ter: a 4 filhos e filhas 3,43% b 3 filhos e 3 filhas 3,5% 3. Um time X tem /5 de robabilidade de vitória semre que joga. Se X jogar 5 artidas, calcule a robabilidade de: a X vencer exatamente 3 artidas; 3,04% b X vencer ao menos uma artida; 9,% c X vencer mais da metade das artidas; 3,74% d X erder todas as artidas; 7,78% 4. Calcular o valor eserado e o desvio adrão ara o número de vitórias do time X no roblema anterior. Ex= D=,0 5. A robabilidade de um atirador acertar um alvo é /3. Se ele atirar 7 vezes, qual a robabilidade de: a acertar exatamente tiros; 30,73% b não acertar nenhum tiro. 5,85% 6. Se 5% das lâmadas de certa marca são defeituosas, achar a robabilidade de que, numa amostra de 00 lâmadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: use binomial e oisson a nenhuma defeituosa 0,59% e 0,67% b 3 defeituosas; 3,96% e 4,04% c mais do que uma boa; 96,9% e 95,96% 7. Uma fabrica de neus verificou que ao testar seus neus nas istas, havia em média um estouro de neu a cada km. a Qual a robabilidade que num teste de km haja no máximo um neu estourado? 87,8% b Qual é o desvio adrão ara um teste de km? 0,77 c Qual a robabilidade de um carro andar km sem estourar nenhum neu? 0,9% d Qual é o desvio adrão ara um teste de km?,6 8. Certo osto de bombeiros recebe em média 3 chamadas or dia. Calcular a robabilidade de: a receber 4 chamadas num dia; 6,80% b receber 3 ou mais chamadas num dia; 57,68% c chamadas numa semana. 8,8% 3

24 9. Na intura de aredes aarecem defeitos em média na roorção de defeito or metro quadrado. Qual a robabilidade de aarecerem 3 defeitos numa arede x m? Qual o desvio adrão ara este roblema? 9,54% 0. A média de chamadas telefônicas em uma hora é 3. Qual a robabilidade: a receber exatamente 3 chamadas numa hora; 4,94% b receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos; 34,3% c 75 chamas num dia; 4,33%. Suonha que haja em média suicídios or ano numa oulação de hab. Em uma cidade de habitantes, encontre a robabilidade de que um dado ano tenha havido: a nenhum suicídio;,83% b suicídio; 7,33% c ou mais suicídios. 90,84%. Suonha 400 erros de imressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 áginas. Encontre a robabilidade de que uma dada ágina contenha nenhum erro. Qual o desvio adrão ara este roblema? 44,93% 3. A taxa média de chegada de clientes em um osto de serviços é de 0,5 or minuto. Calcular a robabilidade de, em um dado minuto, chegarem dois clientes. Qual é o desvio adrão ara este roblema? 7,58% 3.3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DE VARIÁVEIS CONTINUAS Quando uma variável discreta aresenta um grande número de resultados ossíveis, ou quando a v.a. em questão é contínua, não se odem usar as distribuições discretas como a de Poisson ou a Binomial ara obter robabilidades. Uma variável discreta com muitos resultados ossíveis exigiria uma tabela or demais extensa ou um esforço monumental na utilização de uma fórmula ara a obtenção de robabilidades. Já uma variável contínua inclui, em seus resultados, tanto valores inteiros como não-inteiros dificultando os cálculos. Vejamos um exemlo: Exemlo: O onteiro da figura ilustra o conceito de variável contínua.uma vez tenha sido osto a girar, o onteiro ode arar em qualquer osição ao longo do círculo. Não se ode eserar que venha arar exatamente num dos valores inteiros do círculo. Considerando-se uma mensuração feita ao longo do círculo, haverá um número extremamente grande de ontos nos quais o onteiro oderia arar. 4

25 Imaginemos, or exemlo, que o círculo fosse dividido em ao menos milhão de ontos diferentes. A robabilidade de o onteiro arar exatamente sobre um desses ontos seria / ou 0, Ou seja, raticamente zero. Assim, fica sem sentido falar na robabilidade de se obter um resultado esecífico. Por isso, durante nosso estudo das distribuições contínuas iremos utilizar o conceito de intervalo, isto é, focalizar a robabilidade de uma variável aleatória contínua tomar um valor num determinado intervalo. Então, enquanto a robabilidade de o onteiro arar no onto 3 ou 4 é aroximadamente zero, a de ele arar entre esses dois valores não é zero. Como círculo está dividido em 8 setores iguais, odemos atribuir a robabilidade de ao resultado "arar entre 3 e 4". Reresentamos da seguinte maneira: P x 3 0, 8 P x 4 0 e P 3 x 4, 5%. 8 Analogamente, teríamos uma robabilidade de 5% ao evento "arar entre 4 e 6". E ainda, a robabilidade de,5% ara o evento "arar entre 3,7 e 4,7". Já ara o evento "arar entre 3,5 e 4" a robabilidade seria de 6,5%. 5

26 É difícil identificar o tio de distribuição de robabilidade de uma variável continua. Geralmente e necessário fazer uma esquisa bibliográfica ara saber se a variável de interesse já foi estudada antes e a sua distribuição de robabilidade já foi identificada. Uma das formas de identificar o tio de distribuição de uma variável continua e observando o camo de variação desta variável. Existem vários tios de distribuições continuas, dentre as quais odemos citar: Uniforme, Normal, Exonencial, Gama, Beta, Lognormal, Weibull, Gumbel. Aqui trataremos aenas das duas rimeiras Distribuição Uniforme Quando uma variável aleatória ode tomar qualquer valor numa escala contínua entre dois ontos de tal maneira que nenhum valor seja mais rovável que outro, então as robabilidades associadas à variável odem ser descritas ela distribuição uniforme. Definição: Seja X uma variável aleatória contínua que assume valores no intervalo [a, b]. Se a robabilidade de X assumir valores num subintervalo é a mesma que ara qualquer outro subintervalo de mesmo comrimento, então, esta variável tem distribuição uniforme. O exemlo anterior do onteiro se enquadra nessa categoria. Função de robabilidade De modo geral, se X e uma variável aleatória contínua que tem distribuição uniforme, então sua função densidade de robabilidade será: d c P c x d b a onde: [a, b] é o intervalo no qual a v.a. está definida total de ossibilidades [c, d] é o intervalo referente ao evento que se quer calcular a robabilidade. Valor Eserado: E x b a Variância: x a b Graficamente, a distribuição é reresentada como um retângulo limitado or ontos a e b, que reresentam o intervalo de valores ossíveis.a altura do retângulo é considerada como sendo, e a área é considerada 00%. Assim, a área sob o retângulo, entre dois ontos c e d, é igual a orcentagem da área total comreendida entre c e d. 6

27 Exemlo : Suonhamos que um vendedor comareça ao escritório de sua firma diariamente entre 3:00 e 4:00 horas, e que nenhum momento seja mais rovável que qualquer outro neste intervalo de temo. Daí se quisermos calcular a robabilidade do vendedor comarecer ao escritório entre 3:00 e 3:5 fazemos 3 : 5 3 : 00 5 minutos 5 minutos P 3 : 00 x 3 : 5 0, 5 5% 4 : 00 3 : 00 hora 60 minutos Já a robabilidade de o comarecimento ocorrer recisamente às 3:5 é considerada aroximadamente zero. Atenção! Quando dizemos que uma robabilidade é aroximadamente zero não significa que tal ocorrência seja imossível. Exemlo : Um entreosto comercializa diariamente entre 00 e 00 toneladas de um cereal, com distribuição uniforme de robabilidades. Sabe-se que o onto de equilíbrio ara esta oeração corresonde a uma venda de 30 toneladas or dia. Calcule: a O valor médio das vendas diárias. b A variância e o desvio adrão da distribuição. c A robabilidade de o comerciante realizar rejuízo em determinado dia. Solução: a E x b x 833, 33 x 833, 33 8, c 00 x 30 0, 3 30% 7

28 3.4 EXERCÍCIOS PARTE 4. As vendas de gasolina num deósito de atacado acusam média de galões diários, com um mínimo de galões. Suondo adequada a distribuição uniforme a Determine a venda diária máxima; b Qual a ercentagem do número de dias em que a venda excede galões? 5. Uma equena firma corta e vende lenha ara lareiras. O comrimento dos toros varia uniformemente entre e 3 metros. a Qual o comrimento médio de um toro? b Qual o desvio adrão ara essa distribuição? c Qual a robabilidade de um toro i ser maior que,6 metros? ii ser inferior a média? iii ter entre e 3 metros? iv ter mais de 3 metros? v ter exatamente metros? 6. Se uma variável aleatória tem distribuição uniforme, qual é a robabilidade de que a variável assuma um valor maior que a média? 7. Suonha que a temeratura máxima, em janeiro, em certa zona rural do hemisfério norte tenha, no assado, variado uniformemente entre 0ºC e 6ºC. a Qual a ercentagem do número de dias em que se ode eserar máxima acima de 3,5ºC? b Se um meteorologista deseja minimizar seu erro de redição, que temeratura deve rever? c Qual é a robabilidade de que, num dia qualquer de janeiro, a temeratura não exceda ºC? 8. Sabe-se que a quantidade de sorvete vendida numa lanchonete nas terças-feiras tem distribuição uniforme entre 0 e 50 icolés. a Qual a robabilidade de venda de 40 icolés ou mais numa terça-feira? b Qual a robabilidade de venda de 40 icolés ou mais numa segunda-feira? c Se a lanchonete tem um lucro de $0,30 or icolé, qual o lucro eserado nas vendas de uma terça-feira? d Qual a robabilidade de o lucro de uma terça-feira ser inferior a $7,50? 9. Uma variável X é uniformemente distribuída no intervalo [0, 0]. Determine: a valor eserado e variância de X; b P,3 < X < 6, Em uma faculdade, as idades dos alunos são uniformemente distribuídas entre 0 e 48 metros. Encontre a robabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter: a entre 0 e 48 anos b mais que 35 anos c menos que anos d entre 7 e 34 anos e menos que 43 anos f exatamente 39 anos 3. Em relação ao roblema anterior, qual a idade eserada de uma aluno desta faculdade? 8