No texto a seguir fazemos uma breve introdução ao conceito de número irracional. Na sua maior parte o texto será acessível a alunos da última série

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1 @BA CED"F G HI-D"JLKDMN OJN P Q "! #$% & ' "(*) %+)-,.)!& /).1) % 4 56,7 89": % ;&" <='/>5?8 No texto a seguir fazemos uma breve introdução ao conceito de número irracional. Na sua maior arte o texto será acessível a alunos da última série do rimeiro grau. As duas últimas seções talvez requeiram um ouco mais de maturidade embora não exijam nenhum conhecimento révio adicional. Para simlificar a exosição nos restringiremos a números ositivos. A extensão dos fatos abordados ao contexto geral de números ositivos, negativos e não requer nenhuma dificuldade adicional. Pode-se imaginar que a idéia de número inteiro ositivo tenha surgido num estágio rimário da civilização, juntamente com a necessidade da rática da contagem. Por exemlo, era necessário a um astor saber contar de algum modo o número de animais no seu rebanho. A maneira de reresentar o resultado dessa contagem era no início bastante diferente da que usamos agora e é rovável que no começo cada essoa tivesse sua maneira rória de fazê-lo. Contar significa estabelecer um modo de comarar quantidades de elementos de conjuntos distintos. Por exemlo, a quantidade de edrinhas em um saco com a quantidade de animais num rebanho, ou a quantidade de alimentos conseguidos em uma caçada ou em colheita com a quantidade de membros da tribo. Também não é difícil imaginar que a ideia de fração tenha surgido na evolução da civilização humana, rimeiramente e de forma mais elementar, com a ocorrência usual da necessidade de um determinado gruo de essoas artilhar um ou mais bens de roriedade comum entre seus membros. E num estágio mais avançado, dentre outras motivações ossíveis, com a necessidade de as essoas trocarem entre si bens de tios distintos. Por exemlo, um astor deseja trocar com um agricultor eles de carneiro or sacos de milho numa razão de eles de carneiro ara cada gruo de 7 sacos de milho. Por outro lado, a idéia de um número que não seja nem inteiro nem fração é, em rincíio, muito menos natural que a daqueles e surge num estágio muito mais avançado da civilização com a necessidade da rática da medição. Por exemlo, medir as dimensões ou a área de um terreno, comarar as distâncias entre ares de ontos distintos, etc. Procuraremos, a seguir, mostrar as roriedades básicas destes números estranhos em contraste com as roriedades, na maior arte já bem conhecidas, daqueles mais intuitivos, os inteiros e as frações.

2 R4S;TUV=WX6WZY[ \]U^"_X` a[ \bu6v Os números reais ositivos odem ser reresentados no sistema decimal or uma seqüência de algarismos elementos do conjunto {, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Searados or uma vírgula. Assim, se an, an 1,..., a, a 1, a, a,..., são algarismos quaisquer, um número real ositivo reresentado no sistema decimal tem a forma an an 1a N... a1a, a 1a a..., (1) onde a N >. Nessa reresentação, à esquerda da vírgula temos semre um número finito de algarismos, orém à direita odemos ter uma infinidade de algarismos. Por exemlo, 78,51 reresenta o número obtido como resultado da exressão () Por outro lado, a fração 154 tem reresentação decimal, com uma 999 infinidade de algarismos à direita. Essa reresentação se traduz como resultado de uma exressão com infinitas arcelas () Essa exressão significa exatamente que se quisermos aroximar 154 no sistema 999 decimal com recisão de 8 casas decimais, or exemlo, devemos tomar como aroximação o número, que é resultado da exressão (4) Claro, o número, é o que chamamos de uma dízima eriódica e or isso ode ser obtido como uma fração cedgf WhUY cgi"j WZY6W ic Y6UV c XW f \]UkX` a[ \bu ilcnmlo WZ[rqgX[ YUs Neste caso, assim como no eriódico, temos uma infinidade de algarismos à direita da vírgula e assim só nos é ossível escrever a reresentação decimal até uma certa casa decimal, orém, diferentemente do que acontece no caso eriódico, não há reetição indefinidamente de um determinado gruo de algarismos e, assim, o número em questão não ode ser obtido como uma fração com e e q diferente de. Os números que odem ser obtidos como frações são q chamados racionais; os que não odem ser obtidos como frações são chamados irracionais.

3 t4s ozc df W o 6WZY[rVZU\ c VX c V iu \vwz c V[ 6UY[ ci U[rVZs Resonderemos esta regunta através de um exemlo. Euclides rovou que o número ositivo cujo quadrado é, isto é, o número ositivo x que satisfaz a equação x =, (5) não é racional. Euclides argumentou da seguinte forma: Suonhamos que o número x satisfazendo (5) seja racional. Então existem inteiros ositivos e q, rimos entre si, tais que =. ou seja = q. (6) q Portanto é ar e também é ar; ode ser escrito na forma = k. Assim, ( k ) = q k = q (7) Pela mesma razão que acabamos de exor, concluímos que q também deve ser ar. Mas isto nos leva a uma contradição ois e q são rimos entre si or hiótese! Assim, a suosição de que x = nos leva a uma contradição e, q ortanto, deve ser descartada, considerada falsa. Chegamos à conclusão que, que é como reresentamos o número ositivo cujo quadrado é, é um número irracional!! w4s;y c \ cec T j W= U o cyx [ \]Uz{W=VU6Y[ cgi U[rV o U6U Podemos obter aroximações cada vez melhores de (o número x que satisfaz (5)) através do seguinte rocedimento que é um caso articular de um esquema inventado or Newton conhecido como método de Newton. (Com base nesse método odemos rogramar as máquinas de calcular ara roduzirem aroximações de tão recisas quanto o avanço da eletrônica nos ermitir). rimeiro chutamos um número x como uma rimeira aroximação de x que nos areça razoável; or exemlo, x = 1. Em seguida observamos que x x = ( x + x )( x x ) x ( x x ), onde o símbolo significa é aroximadamente igual a. Assim, x x x ( x x ), e, ortanto, dividindo a equação aroximada or x e arranjando os termos, obtemos

4 ƒ ~ substituindo x = e x 1em (8), obtemos = x x x + x. (8) x 1 x + 1 =. Assim temos uma segunda aroximação x 1 =. Encontramos também x : 9 4 x x x. Da mesma forma, odemos obter uma quarta aroximação, x x (17 /1) x 1 x fazendo x = + x = + = + = =. x 17 / Assim, x = 577 seria a aroximação seguinte: Sua reresentação decimal é a 48 dízima eriódica x = 1, } ~ eríodo Agora se você egar uma máquina de calcular e edir (através dos devidos comandos) que ela calcule, você obterá, se sua máquina uder exibir dígitos (incluindo a vírgula ou onto), a exressão decimal 1, Horrível, não é? Você obterá uma exressão ainda maior se sua máquina uder exibir mais dígitos. Reare como nossas aroximações x 1, x e x estão cada vez mais róximas desse número! 4S c V iu \vwz c V6UY[ cgi U[ V ozc X6WZ\ VZWZ W i6f \]W=UX c V 17 1 Isto significa que odemos disor os números racionais numa sucessão da forma r1, r, r,..., com uma infinidade de elementos. Podemos interretar este fato como significando que a quantidade de números racionais, embora sendo infinita, é de uma ordem de infinitude equivalente a dos números naturais 1,,. O argumento ara a demonstração desse fato é devido a Georg Cantor.

5 Como todo racional tem uma reresentação única como fração com e q q inteiros ositivos rimos entre si, basta que saibamos enumerar os ares ordenados (, q) de naturais rimos entre si. A forma de obter essa enumeração está descrita ela figura abaixo: A enumeração é obtida seguindo-se o caminho indicado elas flechas, iniciando a artir de (1,1), tendo o cuidado de descartar os ares de naturais que não são rimos entre si, como, or exemlo, (,), (4,), (,) etc.. Com isso, teríamos 1 1 r 1 = = 1, r =, r = =, r 4 = =,, r = 1 etc. 5 S;W o W=V=W i"j Uz lc X6WZY[ \bu^bx c V6UY[ ci U[ V Há ouco dissemos que não era ossível ôr uma dízima não eriódica em forma de fração com e q naturais rimos entre si. Vamos dar uma exlicação ara q este fato. Fixemos um natural q. Quando dividimos um número qualquer N > q elo número q. Obtemos como resto da divisão um elemento do conjunto (finito) {, 1,,, q 1}. Tomemos como exemlo q = 7 e N = 17; nesse caso os restos ossíveis ertencem ao conjunto {, 1,,, 4, 5, 6}. Agora vamos recordar o algoritmo da divisão com esse exemlo esecífico:

6 ˆ ˆ Š" gšbœn nˆn y ŽŠ Œn nˆ 7 y Š Œ Šn y y g Z = ˆ O que acontece é que os restos ossíveis são elementos do conjunto finito de q elementos {, 1,, q 1}(no exemlo acima q = 7). Assim, em no máximo q iterações do algoritmo ou acabamos reetindo um elemento do conjunto de restos ossíveis (no exemlo acima o rimeiro a se reetir foi o ), ou o ocorre como resto e o rocesso termina. No rimeiro caso, a artir daí assamos a reetir os restos ocorridos anteriormente na mesma ordem (,, 6, 4, 5, 1, no exemlo acima). As casas decimais no quociente or sua vez também se reetem o obtemos então uma dízima eriódica. No segundo caso, obtemos simlesmente um número finito de casas decimais. 4S;W o W=V=W i"j Uz lc X6WZY[ \bu^bx c V[ 6UY[ cgi U[rV Todo número irracional ositivo ossui uma reresentação decimal única or meio de uma dízima não eriódica. Para simlificar vamos nos restringir aos números entre e 1. Já sabemos que um número cuja reresentação decimal ossui uma quantidade finita de casas decimais ertence ao conjunto dos racionais. Da mesma forma arendemos que um número cuja reresentação decimal é uma dízima eriódica é também um número racional. Por outro lado, vimos no item anterior que as reresentações decimais de um racional são necessariamente de um dos dois tios: ou ossuem uma quantidade finita de casas decimais, ou terminam em uma dízima eriódica. Logo, uma reresentação decimal ara um número irracional tem necessariamente que ser uma dízima nãoeriódica. Afirmamos que essa reresentação é única. Reare que isso não ocorre em geral com os racionais. Por exemlo,, 1 e, 999 reresentam o mesmo racional 1. Suonhamos que um irracional x entre e 1 ossua duas 1 reresentações decimais distintas:

7 x =, a a a..., (1) 1, b 1b x = b..., (11) Se essas reresentações são distintas certamente existe um tal que a k = b k, ara k =,..., 1, e a b. Para fixar idéias vamos assumir então que a b + 1 e or (1) e (11) x, a a... a, (1) x, a a... b =, a a...( b 1), (1) já que b k = a k se k =,..., 1 e b k é semre menor ou igual a 9. Mas (1) e (1) imlicam que a b + 1 e x =, a a... a. = 1 Porém nesse caso x é racional e chegamos a uma contradição! Chegaríamos a uma contradição semelhante também se tivéssemos assumido b a, argumentando da mesma forma aenas trocando os aéis dos k > a e b. A contridição tem origem no fato de termos suosto que havia duas reresentações decimais distintas ara o mesmo irracional x. Logo essa ossibilidade tem que ser descartada, considerada falsa, e assim concluímos que todo irracional ossui uma reresentação decima única como dízima não-eriódica. š S c V[ 6UY[ ci U[ V ilc ozc XW=\œV=WZ W i6f \]WZ6UX c V Isto significa que não odemos disor os números irracionais numa sucessão s 1, s, s,..., mesmo admitindo uma infinidade de elementos. Quer dizer, diferentemente dos racionais, a ordem de infinitude da quantidade dos números irracionais é maior que a dos números naturais. Concluímos daí que existem muito mais números irracionais do que racionais! Vamos tentar justificar nossa afirmação sobre a não-enumerabilidade dos irracionais. O argumento é uma adatação de uma idéia também devida a G. Cantor. Suonhamos que fosse ossível disor os irracionais numa sucessão s 1, s, s,...,. Basta considerarmos aenas os irracionais entre e 1. Criamos um número irracional x, também entre e 1, através de uma reresentação decimal (ortanto, uma dízima não eriódica) da seguinte forma. O número x tem reresentação decimal dada or x =, x 1x x... onde x é escolhido dentro do conjunto {, 1,, 9} de modo que x é diferente de ( s ) onde este último é o algarismo que aarece na casa decimal de ordem do irracional s (-ésima k

8 elemento da sucessão s 1, s,... s,...). A escolha de cada x também deve atender a condição de não ermitir que nenhum gruo de algarismos dentre os já escolhidos x 1, x,..., x ( 1) ossa se tornar o gerador de uma dízima eriódica. Desta forma obtemos uma dízima não eriódica reresentando um único irracional que, no entanto, não ode constar na lista s s,,...,. De fato, se 1, s x = s r, ara algum r, então como x r ( s r ) r teríamos um absurdo (uma contradição)!. ž4s;wzv jf X c V fo ^"WZ\]W ij U6Ÿ c [ 6UY[ ci U^ π O número π é definido como sendo a área limitada or um círculo de raio 1. Ele é certamente o irracional transcendente mais conhecido. A exressão transcendente significa, neste contexto, um número irracional que não é raiz de nenhuma equação olinomial com coeficientes inteiros. Por exemlo, os irracionais,1 + não são transcendentes ois são raízes das equações olinomiais x =, x x =, resectivamente. Neste último caso dizemos que os números são algébricos. A demonstração de que π é um número irracional, aesar de não ser trivial, ode ser feita usando-se aenas o cálculo diferencial elementar que é ensinado no rimeiro eríodo dos cursos de ciências exatas. A rimeira demonstração de que π é irracional só foi obtida em 1766 or J. H. Lambert, de forma não comletamente rigorosa, tendo sido finalmente (re)obtida de modo rigoroso elo famoso matemático A. M. Legendre e ublicada em A rova de que π é transcendente é muito mais comlexa e só foi obtida em 188 or F. Lindermann. O fabuloso matemática grego Arquimedes foi o rimeiro a obter uma aroximação razoável de π or numeros racionais. Ele rovou que < π < +, 71 7 usando dois olígonos regulares de 96 lados, um inscrito e outro circunscrito a um círculo de raio 1. Podemos obter aroximações cada vez melhores de π, com o auxílio de uma máquina de calcular bastante rudimentar, caaz aenas de fazer as oerações básicas (+,, ) e mais a oeração de extrair raiz quadrada, da seguinte forma. A n idéia é aroximarmos o círculo de raio 1 or olígonos regulares de lados inscritos neste círculo. Primeiramente, é fácil verificar que ara a área e o n erímetro do olígono regular de lados inscritos num círculo de raio 1 temos

9 1 Área = Perímetro 4 l, 4 onde l é o comrimento do lado do olígono. Como l se aroxima mais e mais de a medida que n cresce, vemos que ara o círculo de raio 1 devemos ter (fazendo l = na fórmula acima) Área = 1 Perímetro 4 Assim, odemos também definir π como sendo a metade do erímetro do círculo de raio 1. Por outro lado, usando o teorema de Pitágoras que diz que em um triângulo retângulo o quadrado da hiotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, se l n denota o comrimento do lado do olígono regular de mostrar que n lados, é fácil l n + 1 = 4 l n. (14) Para n = temos o olígono regular de 4 lados, quadrado, inscrito no círculo de raio 1, cujo lado, facilmente obtido usando-se o teorema de Pitágoras, é l =. Por meio de (14) obtemos sucessivamente l =, l4 = +, l l5 = = +,, l 7 = , l8 = , Para obter uma boa aroximação de π calculemos, or exemlo, o valor da metade do erímetro do olígono de 8 = 56 lados, inscrito no círculo de raio 1, cujo lado tem comrimento igual a l 8. Podemos obter um valor aroximado ara l 8 executando a seguinte seqüência de oerações numa calculadora

10 e obtemos sqrt + = sqrt + = sqrt + = sqrt + = sqrt + = sqrt + / + = sqrt, l 8 = Agora, multilicaremos o resultado obtido ara l 8 or 56, que é o número de lados da olígono em questão, e em seguida dividimos or o que nos dá π ~ o que fornece uma aroximação com erro menor que, 1 já que é sabido que = = = «ª " = - =ª. -, 1415 < π <, : Exceto elas duas últimas seções, o texto acima foi elaborado a artir de um edido de minha filha, Marina, atualmente na 8a. série do rimeiro grau, urgida or um trabalho de casa em gruo assado or sua rofessora. O referido trabalho, felizmente, resultou bastante diferente do que foi exosto acima, que acabou servindo aenas como uma entre várias referências usadas elo gruo. No entanto, as 7 rimeiras seções foram bem comreendidas or ela e seu gruo; as duas últimas foram escritas deois que o razo ara a entrega do trabalho havia esgotado e, ortanto, não chegaram a ser testadas. Para concluir gostaria de deixar aqui meus agradecimentos ao estimado rofessor e colega Elon Lages Lima elas sugestões sobre uma versão reliminar destas notas. W x WZY`rY[ c VZ 1) Usando o mesmo argumento de Euclides descrito em. rove que, 5 e 7 são irracionais. ) Usando o método de Newton, descrito em, obtenha aroximações corresondentes ao x do texto ara os irracionais, 5, 7 e comare com o resultado fornecido ela máquina de calcular. ) Pesquise sobre a vida e a obra dos grandes matemáticos mencionados no texto: Arquimedes, Pitágoras, Euclides, Isaac Newton e Georg Cantor. 4) Prove a fórmula (14).