UNIVERSIDADE DE COIMBRA - FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGORITMO DO PONTO MÉDIO PARA

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Maria Laura de Paiva
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1 UNIVERSIDADE DE COIMBRA - FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGORITMO DO PONTO MÉDIO PARA A RASTERIZAÇÃO DA ELIPSE

2 OBJECTIVO: O resente trabalho tem or objectivo ilustrar o funcionamento do onto médio ara a rasterização da elise, usando uma grelha configurável (a dimensão da quadrícula individual oderá ser re-definida elo utilizador) que reresenta amlificadamente um disositivo raster 1. O centro da elise, bem como os seus eixos são dados elo utilizador através de actuação no rato. ALGORITMOS DE CONVERSÃO MATRICIAL O traçado de rimitivas gráficas elementares, como segmentos de recta ou arcos de circunferência elises, requer a construção de algoritmos caazes de determinar na matriz de ixels da suerfície de exibição quais ixels devem ser alterados de forma a simular-se a aarência do elemento gráfico desejado. Estes algoritmos recebem o nome de Algoritmos de Conversão Matricial, or converterem em reresentação matricial elementos gráficos exressos em uma reresentação vectorial. 1 Um TRC (Raster) ode ser considerado como uma matriz de ontos discretos, não é ossível traçar diretamente uma linha unindo onto a onto. O rocesso de descrever da melhor maneira ossível a linha encontrando as melhores aroximações é chamado de rasterização. Para linhas horizontais, verticais ou inclinadas 45º, o rocesso não acusa roblemas. Para outras linhas, será necessário decidir que ixel será usado.

3 ALGORITMO DO PONTO MÉDIO PARA A RASTERIZAÇÃO DA ELIPSE O algoritmo do onto médio ara a elise arreda erros de arredondamento, evitando o cálculo de funções trigonométricas, revelando-se mais eficiente. Seja F x y b x a y a b (, ) + 0 a função imlícita da elise de centro na origem e focos a, b. A ideia do algoritmo do onto médio ara a elise consiste no seguinte: Assumindo que o ixel que acabou de ser selecionado é P, em (x,y ), e o róximo deve ser escolhido entre o ixel à direita (ixel E) e o ixel acima à direita (SE). Seja M o onto intermediário entre os ixels E e SE. O que se faz é observar de que lado da curva está o onto M. Se F(x,y)0, o onto M esta sobre a elise; F(x,y)>0 neste caso o onto intermédio ( onto médio, M) entre os ixels E e SE está fora da elise, o ixel SE é escolhido, orque está mais róximo dela. F(x,y)<0 o onto está M esta dentro da elise então o ixel E é escolhido Atendendo á simetria horizontal e vertical da elise, definido o rimeiro quadrante odemos facilmente traçar os restantes, através da função:

4 void ontos_simetricos (int x, int y, int xc, int yc) { desenha_onto (xc + x, yc + y); desenha_onto (xc - x, yc + y); desenha_onto (xc + x, yc - y); desenha_onto (xc - x, yc - y); } É necessário ter algum cuidado na simetria dos ontos, assim é necessário dividir o rimeiro quadrante da elise em duas regiões, a região 1 e a região. DIVISÃO EM DUAS REGIÕES: O limite entre as duas regiões é o onto da curva cuja tangente tem inclinação igual a -1. Para tal utilizaremos o vector gradiente que é erendicular à tangente à curva no onto P, definido como: F F Gradiente F ( x, y) i + j b xi + a y j x y O limite entre as duas regiões é o onto cuja inclinação da curva é -1, e este onto ocorre quando o vector gradiente tem inclinação igual a 1, isto é, quando os comonentes nas direcções i e j são iguais. A comonente j do gradiente é maior do que a i na região 1, e vice-versa na região. Assim, se Se o róximo onto médio é M(x + 1, y - ½), e (comonente j do gradiente é maior do que a i ) a (y - ½)> b (x + 1) estamos na região 1 Temos então que considerar situações searadamente, a 1º região e a º região.

5 1º REGIÃO Para o teste do onto médio, basta calcular e verificar o seu sinal. F(M) F(x + 1,y - 1/) Como a decisão será tomada com base no valor da função no onto (x + 1,y - 1/), definimos uma "variável de decisão" 1 ( 1) d b x + + a y + a b Se d > 0, escolhemos o ixel NE, Se d < 0, escolhemos o ixel E; Se d 0 ode-se escolher qualquer um deles, or exemlo E. Note-se que M e d deendem da escolha de E ou se SE. Se E for escolhido, M é incrementado de i na direção x. Assim, , d Fx i y b x i a y a b com, 1 velho ( 1) d b x a y a b Subtraindo a d, d velho obtemos a diferença incremental, ( 3 ) d d b ix + i velho Para i1 temos, ( 3) d d b x + velho Estamos a considerar que o rimeiro incremento é 1 assando deois a ser um incremento genérico.

6 Se NE é escolhido, incrementamos x i e a y decrementamos i. Portanto, , d Fx i y i b x i a y a b Subtraindo a d, d velho, tem-se ( 3 ) ( ) d d b ix + i + a iy + i + i velho Para i1 temos ( 3) ( 3) d d b x + + a y + velho º REGIÃO Para a região, seja P o ixel considerado, então a variável de decisão ara a região, é F(x +½, y -1) isto é, o onto médio entre S e SE, 1 ( 1) d b x + + a y + a b Se d > 0, escolhemos o ixel SE, Se d < 0, escolhemos o ixel E; Se d 0 ode-se escolher qualquer um deles, or exemlo E. Se escolhermos NE vamos incrementar x i unidades e a y decrementamos i unidades assim, , d Fx i y i b x i a y i a b 1 velho ( 1) d b x a y a b Subtraindo a d de d velho obtemos a diferença incremental, Para i1 temos, ( ) ( ) d d b ix + i + i + a iy + i + i velho ( 3) d d b x + + a y + velho

7 Se E é escolhido, decrementamos y i unidades, 1 1 +, d Fx y i b x a y i a b Subtraindo d old de d new, tem-se Para i1 temos ( ) d d a iy + i + i velho ( 3) d d a y + velho

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