Aula 36 Cônicas. 1-Elipse. 2- Hipérbole

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1 Aula 36 Cônicas 1-Elise - Hiérbole 3- Parábola

2 1) Elise (definição) Elise ) Proriedades da Elise 3) Equação reduzida 4) Resolução de exercícios

3 1) Elise definição. Ao seccionarmos com um lano a a suerfície de um cone, conforme figura, resulta em uma curva denominada elise. Elise é o conjunto dos ontos P de um lano de modo que a soma das distâncias de 1 e PP é constante.assim: 1PPdda+= Elementos da elise B a b a A 1 1 f f A b b B 1 a a a

4 ocos são os ontos 1 e. Vértices são os ontos 11, A, e BAB. 1AA Eixo maior é o segmento e mede a 1BB Eixo menor é o segmento e mede b. Distância ocal é a distância entre os focos 1 e e mede f. em que < e < 1fea= Excentricidade é a razão. ) Proriedades da elise relação fundamental B b a A 1 1 f A B 1 Se destacarmos o triângulo B,e alicarmos Pitágoras: B b a f Obtemos a relação fundamental: b + fa=

5 3) Equação reduzida da elise. Temos que analisar quatro casos de elise no lano cartesiano. 1º caso Elise centrada na origem e eixo maior sobre o eixo das abscissas. y B P(x, y) A equação reduzida fica: y + = 1xab A 1 1 A x B 1 º caso Elise centrada na origem e eixo maior sobre o eixo das ordenadas. y A P(x, y) A equação reduzida fica: y + = 1xba B B 1 x 1 A 1

6 3º caso (,)Oxy Elise centrada num onto abscissas. e com o eixo aralelo ao eixo das y B A equação reduzida fica: ()()y - y + = 1xxab- y A 1 O 1 A B 1 x x 4º caso Elise centrada num onto ordenadas. (,)Oxy e com o eixo aralelo ao eixo das y A A equação reduzida fica: ()()y - y + = 1xxba- y O B B 1 1 A 1 x x

7 4) Posições relativas da elise. 1 e dd 4.1- Posição de um onto em relação a uma elise. Uma elise d d de focos 1 e seara o lano a, que a contém, em duas regiões. Temos então que o conjunto dos ontos que formam da elise e é denominado exterior da elise.teremos então: 1d é denominado interior Um onto P(x; y) do lano, em relação a uma elise ode ser interno, externo ou ertencer à elise. P interno à elise P externo à elise P ertence à elise 1P dœ P dœ P dœ

8 4.- Posição de uma reta em relação a uma elise. : + by c = sax Uma reta do lano, em relação a uma elise ode ser exterior, tangente ou secante. s é exterior à elise s é tangente à elise s é secante à elise sd«= {} Asd«= {} A,Bsd«=

9 5) Resolução de exercícios 1169xy+= 1) Dada a equação, determinar: a) a distância focal. 1169xy+= 1xyab+= Comarando a equação 16 e b9a==, com a equação reduzida abf=+ encontramos Lembrando da relação fundamental substituindo os valores obtemos: fff=+fi=-fi= 17d=, e como 1df=,e,então:, b) a excentricidade. fea= 7 4e= A excentricidade é obtida or.então 644xy+= ) Calcular a distância focal da elise de equação. Dividindo-se a equação dada or 4, obtemos: 6441, verificamos que a6 e b444446xyxy+=fi+=== Essa equação é do tio com centro na origem abf=+ e eixo maior sobre o eixo das ordenadas.lembrando da relação fundamental e substituindo os valores obtemos: 6464fff=+fi=-fi= 1d= e como 1df=, então:

10 3) Determinar a equação reduzida da elise da figura abaixo: Como a elise não esta centrada na origem utilizaremos a equação: ()()1xxyyab--+=.Na figura 4 observamos que o centro C(4,), a = 4 e b =. Então ficamos com: ()()414xy--+=, logo: ()41164xy-+= 4) Esboçar o gráfico da elise em cada um dos casos seguintes: ()()161169xy+-+= a) Como o maior denominador está na fração de numerador que contém x, concluímos que o eixo maior é aralelo ao eixo das abscissas. Temos então: 16493(1,6)aabb O gráfico fica: C

11 ()51436yx-+= b) Como o maior denominador está na fração de numerador quem contém y, concluímos que o eixo maior é aralelo ao eixo das ordenadas. Temos então: 3664(,5)aabb 11 O gráfico fica: C xy+ 5) Reresentar no lano cartesiano os ontos que satisfazem a inequação. 194xy+ 9 e b4a== Observando a inequação 3 e ba==, encontramos.portanto, então temos a seguinte reresentação gráfica ara a inequação:

12 Hiérbole 1) Hiérbole (definição) ) Proriedades da Elise 3) Equação reduzida 4) Hiérbole Eqüilátera e Assíntotas 5) Resolução de exercícios

13 1) Hiérbole definição. A intersecção de um lano a com a suerfície de um cone elo vértice, conforme figura, resulta em uma curva denominada hiérbole. Hiérbole é o conjunto dos ontos P de um lano de modo que a diferença em módulo distâncias de 1 e PP é constante e menor que a distância 1.Assim: 1 PPdda-= Elementos da hiérbole B 1 P f b 1 A 1 a A f f B

14 ocos são os ontos 1 e. 1, AA Vértices são os ontos 1AA Eixo real é o segmento e mede a 1BB Eixo imaginário é o segmento e mede b. Distância ocal é a distância entre os focos 1 e e mede f. em que < e < 1cea= Excentricidade é a razão. Proriedades da hiérbole relação fundamental B 1 P b f A 1 a A Se destacarmos o triângulo 1BA b B 1,e alicarmos Pitágoras: f a A obtemos a relação fundamental. f+ba=

15 ) Equação reduzida da hiérbole. Temos que analisar quatro casos de hiérbole no lano cartesiano. 1º caso Hiérbole centrada na origem e eixo real sobre o eixo das abscissas. P(x,y) A equação reduzida fica: y - = 1xab b f 1 a A1 A º caso Hiérbole centrada na origem e eixo maior sobre o eixo das ordenadas. A equação reduzida fica: A - = 1yxab a f b 1

16 3º caso (,)Oxy Hiérbole centrada num onto das abscissas. e com o eixo aralelo ao eixo ()()y - y - = 1xxabb f y A1 1 O a A 3 x A equação reduzida fica:

17 4º caso (,)Oxy Hiérbole centrada num onto das ordenadas. e com o eixo aralelo ao eixo a A f y O b A1 x A equação reduzida fica: ()()x - x + = 1yyab-

18 4) Hiérbole Eqüilátera e Assíntotas. 4.1 Hiérbole eqüilátera. Uma hiérbole é dita eqüilátera se as medidas dos eixos real e imaginário são iguais. Ou seja: ou ainda a = bab= Graficamente teríamos, or exemlo, hiérbole com centro na origem e eixo real sobre as abscissas: B 1 b 1 A 1 A a a = b B a = b

19 4. Assíntotas de uma hiérbole. y - = 1xab Consideremos a hiérbole de equação,cujo gráfico é: r r 1 A B b -a a C -b D 1 e rr As retas, que contêm as diagonais do retângulo ABCD são denominadas assíntotas da hiérbole e, e têm as seguintes equações: Equação da assíntota 1r : 111xyabbxayababbxaybxayoabbxbyyxaa-=fi-+-++=fi+=fi-fi= r Equação da assíntota : 111xyabbxayababbxaybxayoabbxbyyxaa=fi-+-+-=fi-=fi--fi

20 5) Resolução de exercícios 194xy-= 1. Dada a hiérbole de equação determinar: a) a distância focal 194xy-= 1xyab-= Comarando a equação 9 e b4a==, com a equação reduzida fab=+ encontramos Lembrando da relação fundamental substituindo os valores obtemos: ff=+fi== 1df= 113d=, e como, então: b) a medida do eixo imaginário 9 a=3 a=fi Temos que, e a medida do eixo real é dada or: AAAAAAdadd=fi=fi=,e, c) a medida do eixo real 4 = bb=fi Temos que 111.4BBBBBBdbdd=fi=fi=, e a medida do eixo real é dada or: 1169xy-=. Dada a hiérbole de equação determinar as coordenadas dos focos, dos vértices e das extremidades do eixo imaginário. 1169xy-= 1xyab-= Comarando a equação, com a equação reduzida 9 e b4a== fab=+ encontramos Lembrando 1695ff=+fi= da relação fundamental substituindo os valores obtemos: aabb Portanto temos: 4,e, que graficamente reresentam: b f -5-3 a Logo as coordenadas são: ()()()()()()1115, 5,;,4,4; -5, e 5,. AeABeB--

21 aralelo ao eixo das abscissas.são dados a = e b = 1. ()1,P- 3) Determinar a equação da hiérbole que tem centro no onto e eixo real ()()y - y - = 1xxab- A equação é do tio então teremos: ()()()()()()()1y - 1y = 1 - -y xxx--++fifi 4) Obter a equação reduzida da hiérbole do gráfico abaixo. 1 6 A1 C A Observando o gráfico obtemos: ()4,6C Centro tem coordenadas, a medida do semi-eixo real é 743a=-= 945f=-=.A medida da semidistância focal é. A medida do semi-eixo imaginário é obtida utilizando-se fabbbbb=+fi=+fi=-fi=fi= a relação fundamental, daí: Como o eixo real é aralelo ao eixo das abscissas utilizamos a equação: ()()()()()()y - y4y - 64y = 1 - = 1 - = xxxxab---fifi

22 1516xy-= 5) Dada a hiérbole de equação, determinar a equação das assíntotas. 5 a=5 e b164.ab=fi=fi= Da equação observamos que As assíntotas têm equações do tio: 14:545bryxyxabryxyxaÏ=- Logo as equações são: 144: e r:55ryxyx=-=

23 Parábola 1) Parábola (definição) ) Proriedades da Parábola 3) Equação reduzida 4) Resolução de exercícios

24 1) Parábola definição. A intersecção de um lano a com a suerfície de um cone, conforme figura, resulta em uma curva denominada arábola. Parábola é o conjunto dos ontos P de um lano eqüidistantes de uma reta d e de um onto fixo desse lano. Assim: PdPdd= Elementos da arábola d Pd P d P V é o foco. V é o Vértice. D é a diretriz (reta). P é o arâmetro da arábola. d

25 Vs é o eixo de simetria e Vd=. ) Equação reduzida da arábola. 1º caso Temos que analisar quatro casos de arábola no lano cartesiano. Parábola com vértice na origem e foco no eixo das abscissas. Quando o foco estiver à direita de V, a equação reduzida fica: P(x,y) yx= V d Quando o foco estiver à esquerda de V, a equação reduzida fica: P(x,y) V yx=- d

26 º caso Parábola com vértice na origem e foco no eixo das ordenadas. Quando o foco estiver acima de V, a equação reduzida fica: V P(x,y) xy= d Quando o foco estiver abaixo de V, a equação reduzida fica: d P(x,y) V xy=-

27 3º caso (),Vxy Parábola com vértice no onto eixo das abscissas. e eixo de simetria aralelo ao P(x,y) Quando o foco estiver à direita de V, a equação reduzida fica: ()()yyxx-=- y V( o,o) x d P(x,y) Quando o foco estiver à esquerda de V, a equação reduzida fica: y V( o,o) ()()yyxx-=-- x d

28 4º caso (),Vxy Parábola com vértice no onto eixo das ordenadas. e eixo de simetria aralelo ao Quando o foco estiver acima de V, a equação reduzida fica: P(x,y) ()()xxyy-=- V( o,o) d Quando o foco estiver abaixo de V, a equação reduzida fica: ()()xxyy-=-- d P(x,y) y V( o,o) x

29 4) Resolução de exercícios 1) Dados os gráficos abaixo determinar suas equações: a) V (6,) Observando o gráfico verificamos que a arábola é do tio yx= lembrando que: 61Vd=fi=fi=.Vamos calcular o valor de Substituindo =1 na fórmula, fica que:.1.44yxyxyxyx=fi=fi=fifi-= Logo a equação é 4yx-= b) Observando o gráfico verificamos que a arábola é do tio yx=- lembrando que: 48Vd=fi=fi=.Vamos calcular o valor de, (-4,) V Substituindo =8 na fórmula, fica que: yxyxyxyx=-fi=-fi=-fifi+= Logo a equação é 16yx+=

30 ) Dada a equação da arábola 4yx= determinar: a) as coordenadas do foco. Comarando a equação 4yx= yx= com a equação do tio,êˆá, encontramos que =.Sabemos que tem coordenadas : logo (),,1,ÊˆÊˆfifiÁ Á Ë teremos b) A equação da diretriz. K=- A equação da diretriz é do tio xk=, e no nosso caso, 1KKK=-fi=-fi=-.icamos então com 11xx=-fi+=, daí: c) O gráfico. d -1 V 1

31 3) Dado que uma arábola ()5,3 tem eixo de simetria aralelo (),3Vao eixo das abscissas, que o foco tem coordenadas e o vértice coordenadas, determine a equação da arábola. (),3V ()5,3 Como a arábola tem e concluímos que o foco está à direita vértice e tendo o eixo de simetria aralelo ao eixo Ox, ela tem equação do tio.teríamos o seguinte gráfico: d 3 V -1 5 Agora como Vd= 3.36=fi=fi= e 53VVdd=-fi=, então ficamos com.assim a substituindo na equação: ()()yyxx-=- ()()()()()()3.631yyxxyxyx-=-fi-=-fi-=ortanto a equação fica: ()()31yx-=-

32 4) Esboçar o gráfico da arábola. ()()143xy-=- ()()143xy-=- Comarando a equação com a equação do tio ()()xxyy-=- 1,3 e =xy==, encontramos que ()1,3 e =.V.Então o vértice V e o arâmetro são resectivamente Logo o gráfico fica: 4 3 V d 1