Visualização 3D: Projecções

Transcrição

1 Visualiação 3D: Projecções Sistemas Gráficos/ Comutação Gráfica e Interfaces

2 Pieline de Visualiação Coordenadas mundo (3D) Cliing no esaço 3D (volume de visualiação) Projectar ara o lano de rojecção Transformação ara Viewort Coordenadas 2D do disositivo de visualiação Projecção: é uma transformação que maeia de um esaço dimensional ara um de menor dimensão (ex: 3D 2D). Plano de Projecção: lano no qual é feita a rojecção. Centro de rojecção (CoP): osição do observador ou câmara em relação ao lano de rojecção. 2

3 Definição de uma vista arbitrária 3D O lano de rojecção é caracteriado or um onto no lano designado de view reference oint (VRP) e ela normal ao lano view lane normal (VPN). O sistema de eixos v,n,u é definido no lano de rojecção. É o eixo de referência ara efectuar a rojecção. O vector VUP ermite ao utiliador indicar a direcção da rojecção. Os vectores v e u são obtidos a artir de n e VUP. Janela de visualiação definida no lano de rojecção. Aenas os elementos rojectados no interior desta janela são transformados ara o viewort. CW: centre of window 3

4 Projecção A rojecção é definida or raios de rojecção que saem do centro de rojecção, assando or cada onto do objecto e intersectando o lano de rojecção. Persectiva: a distância de CoP ao lano de rojecção é finita Paralela: a distância de CoP ao lano de rojecção é infinita 4

5 Volume de visualiação Centro de rojecção CoP é também designado de PRP (rojection reference oint). O onto é definido em relação a VRP. View Volume:limita a região do esaço que vai ser visível (oeração de cliing). Para a rojecção ersectiva tem a forma de uma irâmide. View Volume ara a rojecção aralela tem o formato de um araleleíedo. 5

6 Projecções Projecção Persectiva: Distância do Centro de Projecção ao lano de rojecção é finito. Projecção Paralela: Distância do Centro de Projecção ao lano de rojecção é infinito. 6

7 Projecções Persectiva Semelhante ao sistema fotográfico/sistema de visão humano. Na rojecção o tamanho dos objectos varia inversamente com a distância ao centro de rojecção. Vantagem: asecto realista. Desvantagens: - não é útil ara registar a forma e as dimensões exactas dos objectos; - não se ode obter as distâncias reais; - os ângulos só são reservados aenas nas faces do objecto aralelas ao lano de rojecção; - linhas aralelas normalmente não são rojectadas como aralelas. Paralela Vantagens: - as rojecções ermitem a medição exacta das dimensões do objecto; - linhas aralelas mantém-se aralelas; Desvantagens: - menos realista; - os ângulos só são reservados aenas nas faces do objecto aralelas ao lano de rojecção. 7

8 Projecção em Persectiva As rojecções em ersectiva são caracteriadas elo número de Pontos de Fuga rinciais, ou seja em x, y e. Para ter um onto de fuga rincial o lano de rojecção tem de intersectar o eixo corresondente. Para ter aenas um onto de fuga, or exemlo em, o lano de rojecção tem de ser aralelo aos restantes eixos. Verifica-se que as rojecções têm aenas um onto de fuga rincial orque as rectas aralelas a x e y não convergem. 8

9 Projecção em Persectiva Plano de rojecção corta aenas o lano Plano de rojecção corta o lano e x Aenas as linhas aralelas ao eixo y não convergem ara um onto. 9

10 Projecção Paralela Caracteriada ela normal ao lano de rojecção e direcção dos raios de rojecção. Normal ao lano de rojecção e direcção da rojecção coincidem Normal ao lano de rojecção e direcção da rojecção não coincidem Três rojecções ortográficas: too, frontal e lateral. Em cada uma das rojecções o lano de rojecção é erendiculares a um dos eixos de coordenadas. Utiliação: desenho técnico. Permite medir distâncias e ângulos correctamente.

11 Projecção Paralela Ortográfica Projecção Ortográfica Axonométrica Os lanos de rojecção não são aralelos aos eixos de coordenadas, mostrando várias faces do objecto na mesma rojecção. Têm alguma analogia com a rojecção em ersectiva, mas diferem no facto de o tamanho do objecto não deender da sua distância ao centro de rojecção. O aralelismo entre as arestas mantém-se. Projecção Isométrica (Ortográfica Axonométrica): Nesta rojecção a normal ao lano de rojecção (bem como a direcção de rojecção) fa um ângulo igual com todos os eixos de coordenadas. Se a Normal ao lano de rojecção for (d x,d y,d ) então dx d y d. Existem aenas 8 direcções que satisfaem este requisito, uma em cada octante. Projecção Isométrica com direcção de rojecção (,-,-)

12 Projecção Paralela - Obliqua Projecção Paralela Obliqua. O lano de rojecção é erendicular a um dos eixos de coordenadas 2. A direcção de rojecção não coincide com nenhum dos eixos. Cavaleira A direcção da rojecção fa um ângulo de 45º com o lano de rojecção. As linhas erendiculares ao lano de rojecção mantêm a sua dimensão. 2

13 Projecção Paralela - Obliqua Gabinete A direcção da rojecção fa um ângulo de 63.4º com o lano de rojecção. As linhas erendiculares ao lano de rojecção são rojectadas com metade do seu tamanho. Resultam rojecções mais realistas do que com a cavaleira. 3

14 Volume de Visualiação 4

15 Volume de Visualiação 5

16 Volume de Visualiação 6

17 Cálculo da Projecção Persectiva Persectiva com um onto de fuga: Plano de Projecção normal ao eixo em d; CoP em Podemos escrever: x d Resultando: x d. x x x / d e y d y d. y y y / d A distância d é aenas um factor de escala alicado a x e y. A matri de transformação M er : M er / d 7

18 SISTEMAS GRÁFICOS JGB / AAS 8 Cálculo da Projecção Persectiva Multilicando o onto P[x y ] T or M er obtém-se o onto em coordenadas homogéneas:. /. y x d P M W Z Y X er ou d y x W Z Y X. Dividendo or W: d d y d x y x / /

19 Cálculo da Projecção Persectiva Persectiva (ainda com um onto de fuga): Plano de Projecção normal ao eixo em ; CoP em - d Podemos escrever: x x d + d e y y d + d Resultando: d. x x d. y y x y + d ( / d) + + d ( / d) + A matri de rojecção M er : M ' er / d 9

20 Cálculo da Projecção Paralela Paralela ortográfica (frontal): Plano de Projecção normal ao eixo ; Direcção de rojecção: aralela a Um onto P(x,y,) rojecta-se em: x x, y y, A matri de rojecção M ort : Projecção lateral: M ort Um onto P(x,y,) rojecta-se em: x, y y, Projecção too: Um onto P(x,y,) rojecta-se em: x x, y, 2

21 Cálculo da Projecção com CoP fora do eixo e lano de rojecção erendicular a x ou y CoP Q (d x,d y,d ) P (x,y, ) P(x,y,) (,, ) Q: Distância do centro de rojecção CoP ao onto (,, ) Podemos definir um onto P no segmento de recta entre CoP e P, de forma aramétrica como: P CoP + (P-CoP).t < t < Sendo CoP (,,Z ) + Q(dx,dy,d), P (x,y, ) será: x Q.dx + (x Q.dx).t y Q.dy + (y Q.dy).t ( +Q.d) + ( ( + Q.d)).t 2

22 Cálculo da Projecção com CoP fora do eixo e lano de rojecção erendicular a A rojecção P do onto P, na interceção do segmento de recta entre CoP e P com o lano de rojecção, é obtida faendo e resolvendo em ordem a t: t ( ( + Q. d) + Q. d) Substituindo t nas equações de x e y obtemos x e y : x x dx + d + Q. d dx d y y dy + d + Q. d dy d Faendo : Q. d Q. d Q. d Q. d + Q. d +. Q. d 22

23 SISTEMAS GRÁFICOS JGB / AAS 23 Cálculo da Projecção com CoP fora do eixo e lano de rojecção erendicular a As equações de x, y e odem ser escritas numa matri 4x4, M geral de modo que do roduto da última linha da matri elo vector [x y ] T resulte o divisor comum W: Q d Q d Q d Q d d dy d dy d dx d dx M geral. y x M W Z Y X geral W W W Z W Y W X y x / / / /. A rojecção de P é obtida or:. + Q d W Sendo W: Notar que: Q: é um escalar; distância de CoP ao onto (,, ) no lano de rojecção. (dx,dy,d) vector que reresenta a direcção entre (,, ) e CoP d dy dx

24 Resumo A matri M geral reresenta todas as rojecções aresentadas anteriormente, reresentadas or M er, M er e M ort : Q [dx dy d] M ort [ -] M er d d [ -] M er d [ -] A rojecção Cavaleira e Gabinete ode ser obtida de M geral faendo: Q [dx dy d] Cavaleira [cosα sinα -] Gabinete [cosα/2 sinα/2 -] Todas as rojecções estudadas consideram que o lano de rojecção é erendicular ao eixo. Na rojecção ersectiva corresonde a um onto de fuga. 24