Uso de grácos Mono-log e Di-log (log-log)

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1 Uso de grácos Mono-log e i-log (log-log S.E. Jorás 1 Introdução Nas atividades experimentais, muitas vezes, pretende-se estudar a maneira como uma grandeza varia com relação a outra. Por exemplo: e que modo o período de um pêndulo depende do seu comprimento? Em muitos casos, o método gráco pode evidenciar essa relação mais claramente que a simples tabela de dados. digitação dos dados para sua introdução nos computadores facilitou bastante esse trabalho. O computador pode, em princípio, traçar grácos a partir dos dados digitados, sem necessidade de nenhuma informação extra, o programa escolhendo por ele mesmo a escala de cada eixo. Em alguns casos, gostaríamos de utilizar escalas que nos ajudassem a encontrar a dependência de uma grandeza em relação a outra. Nesse trabalho falaremos sobre a utilização de escalas que são logaritmos dos valores dos dados. NÃO USE PONTOS TBEL. USE OORENS E PONTOS RET QUE MELHOR SE JUST OS PONTOS. No que segue, utilizaremos o log na base de 10 indicado como 2 Mono-log Vamos analisar a seguinte função f(x: f(x = exp(b x (1 onde f(x e têm a mesma dimensão e B tem a dimensão de x 1 (pois só assim o argumento da exponencial é adimensional. Podemos escrever f(x = exp(b x e então calcular o logaritmo de ambos os lados: { } f(x = log 10 {exp(b x} 1

2 Se introduzirmos uma constante arbitrária 0, que tenha a mesma dimensão de f(x (e, portanto, a mesma de, podemos escrever { } f(x = log 10 {exp(b x} ( ( f(x ln [exp(b x] log 10 = log 10 [exp(b x] = = B ln 10 ln 10 x, com a mudança de base na penúltima passagem. Esta expressão pode então ser escrita como ( ( f(x ln [exp(b x] = log 10 + x ou (2 ln 10 onde Y = + B x, (3 B B/ ln 10. (4 Ou seja, ao construírmos um gráco com o eixo horizontal linear (tradicional e o eixo vertical em uma escala logarítmica, uma função exponencial (1 será representada por uma reta Eq. (2. Vamos aplicar a Eq. (2 a dois pontos quaisquer da reta: {x 1, f(x 1 } e {x 2, f(x 2 }: ( f(x1 + B x 1 ( f(x2 ( = ( = + B x 2. Subtraindo a primeira da segunda, obtemos ( ( ( ( f(x2 f(x1 log 10 = log 10 + B x 2 B x 1 ( ( f(x2 f(x1 log 10 = B (x 2 x 1 ( ( log f(x2 10 log f(x1 10 = x 2 x B (5 1 Note que, pela Eq. (5, B (e B têm a unidade correta. Note também que o valor de B independe do valor da constante arbitrária escolhida, pois ( ( ( f(x2 f(x1 f(x2 log 10 = log 10. (6 f(x 1 Não é correto chamar B de tangente da reta, pois, se mudarmos a escala do eixo horizontal, então a inclinação da reta obviamente mudará, mas o valor de B, não. 2

3 2.1 omo marcar os pontos O papel mono-log é extremamente prático! s marcações no eixo logarítmico são dispostas de modo a indicar o logaritmo do número indicado (adimensional!. Perceba que o padrão ao longo deste eixo se repete periodicamente. ada pedaço é denominado uma década. Vamos partir de uma tabela x y, supondo as unidades indicadas para cada coluna: x (s y (m/s x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 (7 Suspeitamos que exista uma relação exponencial entre x e y = f(x, como a Eq. (1. Se isto for verdade, então os pontos da tabela acima estarão alinhados (a menos de utuações no processo de medida em um gráco mono-log. Note que NÃO é necessário calcular o logaritmo dos y i! Se escolhermos = 1m/s (mesma unidade em que y é medido, então podemos marcar diretamente os valores de y no eixo vertical. ssim, o cálculo de B através das Eqs. (4, (5 e (6 é imediato. Note, mais uma vez, que não é necessário calcular o lado direito da Eq. (6; na verdade, você pode medi-lo! 3

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5 3 i-log Vamos analisar a seguinte função f(x: f(x = x B. (8 Podemos escrever, com uma constante arbitrária 0: f(x = xb onde f(x e têm a mesma dimensão. Podemos introduzir uma nova constante arbitrária 0 e escrever: f(x = ( x B B, onde tem a mesma dimensão de f(x e tem a mesma dimensão de x. alculando o logaritmo de ambos os lados: { } { f(x ( = log 10 x } B B ( f(x = ( B [ ( x ] B + ( f(x = ( B ( x + B Y = E + B X (9 Ou seja, ao construírmos um gráco com ambos os eixos em uma escala logarítmica, uma lei de potência arbitrária, como a Eq. (8, será representada por uma reta veja a Eq. (9 3.1 omo marcar os pontos Vamos partir de uma tabela x y, supondo as unidades indicadas para cada coluna: x (s y (m/s x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 (10 5

6 Suspeitamos que exista uma relação tipo lei de potência como a Eq. (8 entre x e y = f(x. Se isto for verdade, então os pontos da tabela acima estarão alinhados (a menos de utuações no processo de medida em um gráco di-log. Note que NÃO é necessário calcular o logaritmo dos x i nem dos y i! Se escolhermos = 1s (mesma unidade em que x é medido e = 1m/s (mesma unidade em que y é medido, então podemos marcar diretamente os valores de x e y no eixo vertical. nalogamente ao caso do gráco mono-log, podemos calcular o parâmetro B da Eq. (9 através da expressão ( ( ( log f(x2 10 log f(x1 10 log f(x2 10 f(x 1 B = ( x2 log10 ( x1 = ( x2 x 1, (11 o que mostra que o valor de B independe da escolha das constantes arbitrárias e. O parâmetro ( B E (12 pode ser lido diretamente do gráco di-log no ponto onde (x/ = 0, ou seja, onde x = (igual a 1s no exemplo em questão. partir dos valores adotados para e, do valor obtido anteriormente para B e da leitura no gráco do valor de E, pode-se obter o valor de. No exemplo em questão, digamos que medimos, diretamente do gráco, E = E o e que tenhamos obtido, através da Eq. (11, um valor de B = B o. Portanto, ( (1s B o E o = (13 1m/s ( = 1 m/s Bo+1. (14 Note, a partir da Eq. (8, que a unidade de é dada por: [] = [f(x] [x] B = [y] [x] B, que, no atual exemplo, ca [] = m s s B = m s B+1. Portanto, a Eq. (14 fornece diretamente nas unidades compatíveis com as já adotadas. Em outras palavras, o valor obtido diretamente da leitura da escala do eixo vertical no gráco di-log (quando x = é o valor de nas unidades corretas. 6

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