Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos.

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1 Resolução das atividades comlementares Matemática M Trigonometria no ciclo. 7 Exresse: a) em radianos c) em radianos e) rad em graus rad rad b) 0 em radianos d) rad em graus f) rad 0 rad em graus a) 80 rad x 80 x? x x 80 rad 7 0 b) 80 rad 0 x 80 0? x 0 x 80 x rad c) 80 rad x 80 x? x 80 x rad d) 80 rad x rad 80 x x 80? x 0 e) 80 rad x rad 80 x x 80? x f) 80 rad x rad 80 x 80? 7, 7 0 x x

2 (Mackenzie-SP) O onteiro dos minutos de um relógio mede cm. Suondo, a distância, em centímetros, que a extremidade desse onteiro ercorre em minutos é: a) c) 0 e) 0 b) d) Em 0 minutos o onteiro dá uma volta, que é o comrimento da circunferência C r, em que e r. 0 r x x r? x??? 0 0 x 0 cm Um arco de circunferência mede 0 e seu comrimento é km. Qual a medida do raio em metros? Use,. aroximadamente m a rad, r, km 000 m 80 rad 0 x x 0? 7 80 rad r? 000 r 7,9 A medida do raio é, aroximadamente, metros. Determine o comrimento de um arco de ângulo central 8, cujo raio da circunferência é cm. Use,. aroximadamente 7, cm a rad, r r cm 80 rad 8 x x 8? 7 80 rad 7,? 7, 7, O comrimento do arco é, aroximadamente, 7, cm.

3 Ao meio-dia, o onteiro dos minutos de um relógio coincide com o onteiro das horas. A que horas acontece a róxima coincidência? h min 7s Em 00, o onteiro das horas ercorre 0, e o dos minutos, 0. onteiro das horas: 00 0 x a a x 0 (I) onteiro dos minutos: 00 0 x 0 a x 00? ( 0 a) 0 x 0? ( 0 a) (II) Substituindo (I) em (II), temos: x 0? x x x x 00 0x ( ) 0 x x 00 x 00 x h 7 Portanto, a róxima coincidência acontecerá às h min 7s. Um circuito de kart tem uma ista circular de raio 00 m. Um iloto, ara testar a ista e o kart, desenvolve uma velocidade constante de 80 km/h. Determine o número de voltas que ele deu na ista, aós minutos., voltas C r?,? 00 C 0 m Como a velocidade é 80 km/h, em minutos ele andou 80 0 km 0000 m número de voltas, 0 Aós minutos, o iloto deu, voltas na ista. 7 Ana retende colocar renda em todo o erímetro de uma toalha circular de raio m. Quantos metros de renda ela deve comrar?,0 m C r?,? C,8 m Ela deve comrar,0 metros de renda.

4 8 Considerando o raio da Terra igual a 70 km, qual a medida do comrimento da linha do equador? aroximadamente 000, km C r?,? 70 C 000, km A linha do equador tem, aroximadamente, 000, km. 9 (Unes-SP) Em um jogo eletrônico, o monstro tem a forma de um setor circular de raio cm, como mostra a figura. A arte que falta no círculo é a boca do monstro, e o ângulo de abertura mede rad. O erímetro do monstro, em centímetros, é: a) c) e) b) d) A cm O rad rad ( cm) B O comrimento do arco menor AB é cm. O erímetro do monstro é r.

5 0 Calcule o menor ângulo formado elos onteiros de um relógio que está assinalando: a) h 0 b) h min 0 c) h 0min a) h Em 0 o onteiro dos minutos ercorre 0, e o onteiro das horas, 0. Então, às horas, o menor ângulo formado é? 0 0. b) h min Em 0 o onteiro das horas ercorre 0 ; em, ercorrerá: 0 0 a? 0 a a a c) h 0min Em 0 o onteiro das horas ercorre 0 ; em 0, ercorrerá: a a 0? 0 0 a 0 a 0

6 Na figura abaixo, os arcos AMB, ADC e CEB têm, resectivamente, raios 0 cm, 0 cm e 0 cm. Determine os comrimentos desses arcos. O que odemos concluir? AMB 9, cm; ADC, cm e CEB,8 cm arco AMB r?,? 0 9, cm arco ADC r,?? 0, cm arco CEB r?,? 0,8 cm Podemos concluir que AMB ADC CEB. Um grado ( gr) é um ângulo central que determina na circunferência um arco de comrimento igual a da circunferência. Quantos radianos tem um ângulo de 0 gr? 00 rad rad 00 gr x 0 gr 0? x x 00 rad Um ciclista leva minutos ara dar uma volta numa ista circular de raio 0 m. Qual o comrimento da ista e qual a velocidade do ciclista em metros or minuto? 9 m e v 0 m/min C r?,? 0 C 9 m v s? 0 v 0 m/min t

7 . 0 Determine as medidas de x, em graus, associadas ao arco e a, nas quatro rimeiras voltas ositivas., 0, 7, x x 0 0 x 70 7 x 080 Determine as medidas de x, em radianos, associadas ao arco de 8 negativas. 8, 7 8, 8 x 8 x x 8 8 nas três rimeiras voltas Construa um ciclo trigonométrico e marque os ontos corresondentes a: 0; ; ; ; ; ;. a) Qual é o simétrico de em relação à origem? b) Qual é o simétrico de em relação ao eixo das ordenadas? π C B π π D A 0 m π π E F π a) O simétrico de em relação à origem é. b) O simétrico de em relação ao eixo das ordenadas é.

8 7 Seja o arco de exressão geral: a k, k B. a) Qual o valor da exressão ara k 0? a b) Qual o valor da exressão ara k 7? a 7 a k, k Z a) k 0 a b) k 7 a? 7? 7 8 a) Escreva em graus a exressão geral dos arcos de 0. b) Qual é a imagem do arco se k? a 700 a) a 0 0 k, k B b) a 0 0? () 700 a 0 0 k, k B 9 Em que quadrante se encontra a extremidade dos arcos de: a) 90 o quadrante b) 90 o quadrante c) 8 o quadrante a) 90 ()? 0 0 a rimeira determinação é igual a 0, que se encontra no o quadrante. b) 90 ()? 0 0 a rimeira determinação é igual a 0, que se encontra no o quadrante. c) 8 (0)? a rimeira determinação é, que se encontra no o quadrante. 8 8

9 0 Descubra a rimeira determinação ositiva e escreva a exressão geral dos arcos congruentes ao arco de 0. a 0 e a 0 0 k, k B ()? 0 0 A rimeira determinação é 0. a 0 0 k, k B Determine o raio do círculo ercorrido or um onto, sabendo que em uma volta e meia ercorreu uma distância de 9,0 km. km uma volta e meia r r r r r 000 m km?, Determine a medida dos arcos AB e AC, em radianos, sabendo que estão orientados no sentido horário. med (AB) e med (AC) rad 80 x 0 x 0 x 80 rad Observando o sentido horário dos arcos, temos: med (AB) med (AC)

10 . Nas figuras a seguir, determine em graus os arcos AB, AC, AD e AE. a) med (AB) 8 med (AC) med (AD ) 8 med (AE) b) med (AB) med (AC) 8 med (AD) 0 med (AE) 8 a) med (AB) 8 med (AC) 80 8 med (AD ) med (AE) 0 8 b) med (AB) 0 80 med (AC ) 80 8 med (AD ) 80 0 med (AE) 0 8 0

11 Os olígonos a seguir são quadrados. Determine em radianos os arcos corresondentes aos vértices. a) med (AB) med (AC) med (AD) b) med (AB) med (AC) med (AD) med ( AE) 7 a) AB é um arco de 90, equivalente a rad; então: med (AB) med (AC) med (AD) b) BD e CE são diagonais do quadrado; ortanto, o arco AB mede e os arcos BC, CD e DE são arcos de 90 ou rad. Assim: med (AB) med (AC) med (AD) med (AE)? 7

12 . Associe os valores da segunda coluna aos valores dos senos da rimeira coluna: a) sen a:, b:, c:, d:, e:, f: b) cos. c) cos d) sen 7.. e) sen. f) cos. Observando o ciclo trigonométrico abaixo com os ângulos e seus resectivos senos e cossenos, temos: a) sen 70 () c) cos () e) sen 0 ( ) b) cos () d) sen 7 () f) cos cos ()

13 Determine os valores de: a) sen 9 d) sen 0 g) cos 0 b) sen 7 e) cos h) cos 000 c) sen 0 f) cos 0 a) 9 sen 9 sen b) 7 0 sen 7 sen c) sen sen 0 d) sen 0 e) cos f) 0 ()? 0 cos 0 cos g) cos 0 h) 000 (00)? cos 000 cos ( ) ( ) 7 Determine o valor da exressão: A cos 0 sen sen 0 ()? cos 0 cos ()? sen sen sen ( ) sen ( ) sen ( ) A cos 0 sen ( )

14 8 Calcule sen (0 ) e cos ( ). sen ( 0 ) e cos ( ) sen (a) sen a sen (0 ) sen 0 cos (a) cos a cos ( ) cos s en ( 0 ) e cos ( ) 9 Simlifique: A sen ( x) cos (7 x), ara x ()? ; 7 ()? ; x. A ( ) ( ) A A sen cos sen cos A 0 Se a b 70 e a b 0, determine o valor de cos a cos b. a b 70 a b 0 a 80 a 0 Substituindo a, temos: a b 70 0 b 70 b 0 Então: cos 0 cos 0.

15 Se a 80, determine o valor de sen a? cos a. 80 ()? 0 00 sen 00? cos 00? sen a? cos a Calcule o valor da exressão: A cos 0x A sen 9x sen 0 cos 00 A sen 70 cos 0 x, ara x 0. sen 9x sen? 0 cos 0? 0 sen 9? 0 A Se sen a, qual o sinal de a? Qual o valor do sen em função de a? x 80? 80 x 8 x x 0 8 Portanto, é um ângulo do rimeiro quadrante e seu seno é ositivo. Se e sen ( x), então: 8 8 sen sen sen a 8 ( 8 ) 8 Então, a é ositivo e sen a. 8 a é ositivo e sen a. 8

16 Se, determine: a) sen ( x) c) sen ( x) b) sen ( x) d) sen ( x) Observando o ciclo trigonométrico abaixo, temos: (π x) N x M (x) π x (π x) P Q (π x) a) sen ( x) b) sen ( x) c) sen ( x) d) sen ( x) (Unes-SP modificado) Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura em metros de seu amigo em relação ao solo é dada ela exressão: h(t), 0 sen t ( ), em que o temo é dado em segundos e a medida angular em radianos. A que altura seu amigo se encontrava do solo quando a roda começou a girar (t 0)?, m h(t), 0 sen? (t ) h(0), 0 sen? ( 0 ) h(0), 0 sen h(0), 0 sen,, m

17 Para que valores de x temos, se 0 < x, 0? e Pelo ciclo trigonométrico, odemos concluir que, ara x e ara x. 7 O fenômeno da maré em determinado onto da costa brasileira ode ser obtido ela exressão: P(t) cos? t ( ), em que t é o temo decorrido aós o início da oeração (t 0), e P(t) é a rofundidade da água no instante t. Qual é a rofundidade da água no início da oeração? 9 m P(t)? cos P(0) cos t?? P(0)? cos? ( ) 0 ( ) ( ) ( ) P(0) 9,0 A rofundidade da água no início da oeração é 9 metros. 7

18 . 8 Construa o gráfico das funções a seguir, dando o domínio, a imagem e o eríodo. a) y b) y cos ( x ) c) y ( ) a) y Fazendo a tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: x o quadrante crescente o quadrante crescente o quadrante decrescente o quadrante decrescente Esboçando o gráfico da função, temos: D V Im(f) [, ] P ( ) b) y Fazendo a tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: x x ( ) cos ( x )

19 Esboçando o gráfico da função, temos: y,π π,π π 0,π 0 0 π π π π 7π x D V Im(f) [, ] P 7 ( ) c) y Fazendo a tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: x x ( ) cos ( x ) cos ( x ) y x 0,π π,π π 0,π 0 0,π π,π π,π D V Im(f) [0, ] P 9

20 9 Determine o eríodo da função: f(x) sen ( x ). f(x) ( ) 0 x x x ( ) 0 Seja a função real f(x) cos ax. Qual o valor de a ara que o eríodo dessa função seja? f(x) cos ax 0 ax 0 x a 0 a a a a a (FGV-SP) Para que valores de m, a equação na incógnita x, m, admite solução? m m m Como < <, então: m m m m 0

21 Seja a função f: V V definida or y 0 x { } Então, D(f) x IR x.. Qual é o domínio da função no intervalo [0, ]? D x IR x { } ( ) Qual é a imagem da função f(x) ( ) ( ) cos x ( ) ( ) Im(f) {x V < y < } [, ]? Im [, ] Seja a função f: V V definida or f(x). Considere as afirmações: I. f(x) é uma função ar. II. f(x) é uma função eriódica de eríodo. III. A imagem de f(x) [, ]. Podemos afirmar que: a) I e II são verdadeiras, e III é falsa. d) todas são verdadeiras. b) I é falsa, e II e III são verdadeiras. e) todas são falsas. c) I e III são verdadeiras, e II é falsa. I. (Verdadeira) cos (x); ortanto, a função é ar. II. (Verdadeira) cos (x k); então,. III. (Falsa) < < < < Im(f) [, ]

22 O custo de x dezenas de certo roduto é dado ela função: C( x) sen ( x ) em milhares de reais. Qual é o valor do custo mínimo desses rodutos? Quantas dezenas odem ser fabricadas or esse custo? 000 reais;, dezena sen ( x ) Portanto, o valor máximo de sen ( ) C(x) sen x ( ) é, e o custo só será mínimo quando sen ( ) x x C(x) o valor do custo mínimo é 000 reais. ( ) ( ) ( ) sen x sen x sen x sen for máximo. x x, O custo mínimo desses rodutos é R$ 000,00 e ode ser fabricada, dezena or esse custo. Se sen y, 0 x e ainda 0, odemos afirmar que: a) x y c) 0 e), sen y 0 b) x y d) cos y sen x y cos No ciclo acima verificamos que se. sen y, então: x. y e cos y..

23 7 A função f: V V dada or f(x) é: a) decrescente ara 0 x c) decrescente ara 0 x e) crescente ara x b) crescente ara 0 x d) crescente ara 0 x Fazendo a tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: x x Esboçando o gráfico da função, temos: y 0 x π π π π π 0 π π π π π Portanto, a resosta certa é a alternativa a, ois a função é decrescente ara 0 < x <.

24 8 O valor máximo da função f(x) é: a) c) e) 0 b) d) Portanto, o valor máximo é. 9 A figura a seguir reresenta o gráfico da função y a cos bx. Os valores de a e b são, resectivamente: a) e c) e e) b) e d) e Observando o gráfico, temos: Se bx 0 x 0 Se bx x b 0 b b b Como a imagem da função é [, ], então a. e

25 0 (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas or: f(x) e g(x) ( ) (, x R ) I A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a: a) 0 c) e) b) d) ( ) ( ) f(x) ; g(x) f será mínimo se, e g será mínimo se sen x. fmin ( ) gmin ( ) fmin gmin (FGV-SP) Considere a função f(x) resectivamente:. Os valores máximo e mínimo de f(x) são, a) e c) e e) e b) e 0 d) e 0 f(x) cos x cos x Portanto, o valor máximo é, e o valor mínimo é.

26 . 8 Determine os valores de: a) tg (0 ) c) tg 000 e) tg 0 não existe b) tg 0 d) tg a) tg (0 ) tg (0 ) tg 0 tg (0 ) b) tg 0 tg 0 tg 0 c) tg 000 tg tg d) tg 700 tg tg e) tg tg tg (não existe) Dê o sinal dos números: a) tg c) tg e) tg 7 ositivo negativo negativo b) tg d) tg ositivo ositivo Observe, no ciclo, os valores das tangentes dos referidos arcos: π π π 7π π Então: a) tg 0 sinal ositivo b) tg 0 sinal ositivo c) tg, 0 sinal negativo d) tg 0 sinal ositivo e) tg 7, 0 sinal negativo

27 ( )? Qual é o domínio da função y tg x ( ) D(f) x IR x k {, k Z 8 } y tg x x k x k x k x k, k Z 8 D(f) x IR x k {, k Z 8 } ( ). Esboce o gráfico e dê o domínio, a imagem e o eríodo da função y tg x Fazendo uma tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: x x tg ( x ) 0 0 não existe 0 7 não existe 9 0 Esboçando o gráfico da função, temos: y,π π,π 0 x π 0,π 0 0,π π,π π,π x k x k D(f) x IR x k, k Z Im(f) IR { } 7

28 m Se tg x, ara que valores de m existe essa função? m m A única restrição ara m, neste caso, é que o denominador seja diferente de zero; ortanto, m. 7 Determine A sen ( x)? cos ( x) tg ( x)? tg ( x), ara x A sen ( x)? cos ( x) tg ( x)? tg ( x); x sen ( x) cos ( x) tg ( x) tg x tg ( x) tg x Então: A sen? cos tg? tg ( ) ( ) ( ) A? ( ) () A A ( )?. 8 Resolva as exressões: a) A tg tg b) B tg tg a) tg A tg tg A? 0 A 0 b) tg ; tg B tg tg ( ) ( ) B B B 9 0 8

29 9 Se f(x) tg x, ara que valores de x, x [0, ], temos f(x)? Para x [ 0, ], tg x ; ara x ou x. x ou x ( )? 0 Qual o eríodo da função real y tg x A função tg tem eríodo, então: x 0 x e x x ( ) Localize os arcos no ciclo trigonométrico e coloque-os em ordem crescente: tg 0, tg, tg 0 e tg 0. tg tg 0 tg 0 tg 0 Com os dados, temos: tg 0 0 tg 0 0 tg 0 0 tg Então, tg, tg 0, tg 0, tg 0. 9

30 . Resolva as equações no intervalo 0 x. a) S c) tg x S e) tg x 0 { b) 0 } d) {, } S, { } S 7, { } a) sen S x { } b) 0 cos x ou cos cos x S, ( ) { } c) tg x tg x tg x ou tg x tg x S, ( ) { } d) sen 7 x 7 ou sen sen S 7, x ( ) { } e) tg x 0 tg x tg 0 x 0 ou tg x tg x S {0, } S {0, } 0

31 Resolva as equações reais. a) b) tg x c) d) S { } { } S x IR x k ou x k, k Z S x IR x { k, k Z } S x IR x k ou x k, k Z { } e) S { } a) x k cos x k ou x k k S x IR x k ou x { k, k Z } b) tg x tg x tg x k S x IR x k, k Z { } c) x k sen ou x k S k ou x { x IR x k, k Z } d) ; não existe x tal que, ois < <. S { } e) ; não existe x tal que, ois < <. S { } ( k Z ) ( k Z )

32 Resolva a equação em V: { } S x IR x k ou x 7 k, k Z. cos x k x k ou x 7 k, k Z S x IR x k ou x 7 { k, k Z } Determine o conjunto verdade da equação sen x, ara 0 x. ; 0 x, Se sen x ou x Se sen x ou x 7 S,,, 7 { } { } S,,, 7 Determine a soma das raízes da equação tg x no intervalo 0 x. tg x ; 0 x, tg x tg x Se tg x tg x tg x ou x Se tg x tg x tg x ou x soma

33 { } S x IR x 7 k ou x k, k Z 7 Resolva a equação no conjunto dos números reais. sen 7 x 7 k x 7 k ou x k x k S 7 k ou x { x IR x k, k Z } 8 Resolva a equação, no intervalo 0 x. S ; 0 x S, { } cos {, } x k x k x k x k x k x k

34 9 Resolva a equação, no intervalo 0 x. ; 0 x, x x k x x k x k x k { } S 0,,,,, k 0 x 0 k x k x (não convém) x x k x k x { } S 0,,,,, k k 0 x 0 k x k x k x k x k x k x (não convém) 70 Resolva a equação trigonométrica ( sen x )? ( ) 0, no intervalo 0 x. S,,,,, 7 { } ; 0 < x, ( sen x )? ( ) 0, temos: sen x 0 ou 0. Se 0, e x ; x ; x ou x 7 Se 0 ; x ou x. S,,,,, 7 { }.

35 7 Resolva a equação? 0 em V. S x IR x k ou x k, k Z? 0? ( ) ( ) 0 ( )? ( ) 0 0 ou 0 Se 0 x k Se 0 x k S x IR x { k ou x k, k Z } { } 7 Determine x V tal que sen x 7 sen x 0. S x IR x k ou x k ou x k, k Z { } 7 0 0? ( 7 ) 0 ou 7 0 Se 0 x k (não convé Se 7 m) ou k ou x ( k ) S x IR x k ou x k ou x { k, k Z }

36 7 Calcule a soma das raízes da equação tg x ( ) ( ) x? ( ) 0 no intervalo 0 x. tg x? ( ) 0; 0, tg x? ( ) 0 tg x ( 0 ou ) 0 Se tg x 0 tg x x k ou x k Se 0 x k Então, as raízes são:, 7,, ou. soma Resolva o sistema ( ) y x y. {( )}, cos (x y) cos (x y) cos x y x y Substituindo x, temos: y y y S, {( )} x y x y x x

37 7 (Unes-SP) Uma equie de mergulhadores, dentre eles um estudante de Ciências Exatas, observou o fenômeno das marés em determinado onto da costa brasileira e concluiu que era eriódico e odia ser aroximado ela exressão: P(t) cos t ( ), em que t é o temo (em horas) decorrido aós o início da observação (t 0) e P(t) é a rofundidade da água (em metros) no instante t. Resolva a equação cos t (, ) ara t 0. S t IR t 9 { k, k IN } cos t ( ; t ) 0 cos t ( ) cos t k t t? ( k) k t 9 k t t 9 k S t IR t 9 { k, k IN } k. 7 7 Calcule cotg x, sec x e cossec x ara: a) x,, b) x 0 a) x cotg cotg x tg sec sec x cos cossec cossec x sen b) x 0 cotg 0 cotg 0 tg 0 sec 0 sec 0 cos 0 cossec 0 cossec 0 sen 0 7,,

38 77 Seja x. Determine os valores de: a) c) tg x e) sec x b) d) cotg x f) cossec x a) x d) cotg cotg x tg sen e) sec sec x b) cos cos sen c) tg tg x f) cossec cossec x sen cos 78 Determine o domínio da função real: y cotg ( x ). ( ) y cotg x x k x k x 8 D(f) k { x IR x, k Z 8 } k, k Z D(f) x IR x k {, k Z 8 } ( ) 79 Para que valores de x existe a função y sec x? ( ) y sec x x k x k x ( k), k Z ( k) A função existe ara x, k Z. 8

39 80 Determine m ara que a função y cotg ( mx ) tenha eríodo. mx 0 x m mx x m m m m ( ) m 8 Determine m ara que a função y sec mx mx 0 x m mx x m m m m ( ) tenha eríodo. m 8 Calcule m de modo que cossec a m 7 e a, Entre e, a cossecante é menor ou igual a, então: m 7 m. m 9

40 8 Qual o sinal de f(x)? (sec x) no intervalo,? ositivo f(x)? ( sec x);, f(x)? ( tg x ) A função tangente no intervalo, é negativa; então, f(x) é ositiva. 8 Determine o sinal do roduto: A tg? sec? cossec 7. tg, 0 sec, 0 cos cossec 7. 0 A tg? sec? cossec 7. 0 Então, o sinal do roduto é ositivo. ositivo 8 Resolva a exressão: A cossec 7 cotg? sec 0? cotg. A cossec 7? cotg sec 0? cotg cossec 7 cossec cossec 7 sen cotg cotg sec 0 sec cos cotg cotg A???? 0 A 0

41 S, 0, 8 Considere a função f(x) x x cossec a. Resolva a equação f(x) 0, ara a. f(x) x x cossec a x x cossec 0 x x cossec 0 0 ou x ( 0 ) x x S, 0, 87 Resolva a equação em V: cotg x. { } S x IR x k, k Z cotg x tg x tg x tg tg x x k, k S x IR x { k, k Z } Z 88 Resolva a equação cossec x no intervalo [0, ]. S { } cossec x S { } (não existe x que satisfaça essa condição)

42 89 Resolva a equação sec x sec x sec x 0 sec x sec x sec x x ou x 7 S, 7 { } sec x 0 no intervalo [0, ]. 0 sec x 0 (não existe) ou { } S, 7 cos x Se e, x,, determine as demais funções trigonométricas., tg x, cotg x, sec x x ertence ao segundo quadrante., cossec x no segundo quadrante, é negativo. tg x tg x cotg x cotg x tg x sec x sec x cossec x cossec x

43 9 Sabendo que, determine A?. A elevando ao quadrado os dois membros, temos: ( )? ( )?? A? A 9 Se tg x, determine y y. Como tg x, tg x. Então: tg x 7 y 7 y 7 tg x 9 Determine o valor da exressão: A ( ) ( ). A ( ) ( ) A sen x? cos x sen x? cos x Como sen x cos x, temos: A. A

44 9 Determine o valor numérico da exressão y tg x? y tg x? cos x se n x? cossec x cotg x ( ) tg x? ara cotg x 7 e, x,. tg x? cotg x? cossec x tg x?? cossec x tg x cossec x cossec x no terceiro quadrante, a cossecante é ositiva; logo, y. y 9 Dado sec x 8, determine o valor da exressão y? tg x. y 0 y? tg x y? y sec x 8 y 0

45 9 (Fuvest-SP) A soma das raízes da equação sen x cos x 0 que estão no intervalo [0, ] é: a) c) e) 7 b) d) sen x cos x 0 cos x cos x 0 Fazendo cos x y, temos: y y 0. y y 8 ou y Se x, x, x ou x 7 Se não existe x soma 7 97 Resolva a equação cos x sen x no intervalo [, [. S { 7, } Se x ou x ; então, não ertencem ao intervalo [, [. Se x 7 ou x ; então, ertencem ao intervalo [, [. Logo, S 7, { }.

46 V V 98 (Unemat-MT) Na exressão. O numerador é igual a? tg x.. O denominador é igual a? cotg x. F. Podemos dizer que sec x? cotg x?, odemos afirmar: cossec x? sec x? cotg x cotg x? sec x? cotg x? cossec x? sec x? cotg x cotg x? tg x. F. Se considerarmos sec x? cotg x cotg x? isoladamente, então oderemos substituí-la or. F. O numerador é igual ao denominador, ortanto a exressão é igual a (um). cossec sec x? cotg x? x? sec x? cotg x cotg x?. (Verdadeira). (Verdadeira). (Falsa); cotg x?? cotg x? tg x sen x cotg x?? tg x tg x. (Falsa); sec x? cotg x cotg x? cotg x. (Falsa)????? s en x ( ) ( ) 99 Para que valores de m m m e? m Se, 0; então, m m 0 m m 0 (m ) 0 m

47 00 (Fuvest-SP) Se a está no intervalo 0, de a é: a) c) e) 7 b) d) sen a cos a 7 e satisfaz sen a cos a, então o valor da tangente ( sen a cos a )? (sen a cos a) cos cos a a cos a cos a cos a 8 cosseno ositivo, ois ertence ao rimeiro quadrante. sen a cos a sen a 0 seno também ositivo. tg a (UFAM) Associe as exressões equivalentes das duas colunas e assinale a alternativa corresondente à associação correta. (A) () (B) sec x () tg x (C) sec x () (D) cossec x cotg x () tg x a) A, B, C, D c) A, B, C, D e) A, B, C, D b) A, B, C, D d) A, B, C, D () sec x (B) () tg x cos () cossec x cotg x x (A) (D) () sec x tg x (C) 7

48 . 0 Se e 0 x, determine: a) c) tg x b) cos ( x ) d) sec ( x) ( ) ; 0 x a) c) tg ( x) tg x b) cos d) sec ( x) ( x ) cos ( x) 0 Se x y e, o valor de cos y é: a) 0 c) e) b) d) x y ; y x cos y cos ( x) 0 Determine, em função de, e tg x: a) tg x c) sec x tg x b) cotg x tg x d) cosse ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ( ) ( x) sec ( ( x) ) ( x ) ( ) 8 x a) tg x tg ( x) cotg ( x) cotg x tg x b) cotg cotg x) c) sec d) cossec tg ( x) tg x cossec ( x) cossec ( x) sec ( x) ) ( cos ( x)

49 cos ( x ) 0 (UFOP-MG) A exressão é equivalente a: sen ( x ) a) tg x c) tg x e) b) cotg x d) cotg x cos x sen x ( ) ( ) cos ( ( ) x) sen ( x) tg x 0 Se e 0 x a) sen x, determine: ( ) b) cos ( x) ; 0 x a) sen x co b) cos ( ) s x ( x) 07 Se e x sen ( x) sen ( x) sen x A. sec ( x), determine o valor numérico de: ( ) sen ( x) sen ( x) sen x A sec ( x) 8 9 ( ) ( ) A cos ( x) Substituindo, temos: A A

50 08 Simlifique a exressão A cossec tg ( x) x? sec x ( ) ( ). tg ( x) A cossec x? sec ( x ) ( ) tg x A?? A sec x? cossec x ( ) obtemos: sen ( x) cos x 09 Simlificando a exressão A sen ( x), a) 0 c) e) b) d) sen ( x) cos x A sen ( x) ( ) 0 ( ) A 0 Resolva a equação sen x ( ) ( ) no intervalo [0, ]. 0 S {, } sen x sen x sen ( ) ( x ) x x k ou x x ( ) k (não existe x) x k x k Se k 0 x [0, ] Se k x Se k x Se k x [0, ] S, { }

51 ( ). Resolva a equação tg 0x cotg x tg 0x cotg ( x ) tg 0x tg x 0x x k 9x k x k, k Z 9 S x IR x k {, k Z 9 } { } S x IR x k, k Z 9 ( ) 0 no intervalo [0, ] é: A soma das raízes da equação a) c) e) b) d) cos ( x ) 0 0 ( ) 0 As raízes são:,, ou 7. soma 7 ( ) Resolva a equação tg x? cotg x no intervalo [0, ]. { } S 0,,, tg x cotg ( x ) tg x tg x tg x tg x 0 tg x tg x 0 tg x 0 ou tg No intervalo [0, ], temos: tg x tg 0 x 0 ou x tg x tg x ou x Então, S { 0,,, }. ( ) x

52 (Fuvest-SP) Se a é um ângulo tal que 0, a, e sen a a, então tg ( a) é igual a: a) b) a a a a c) d) a a a a a e) a sen a a sen ( a) a sen ( a) cos ( a) a cos ( a) cos ( a) a o cosseno no segundo quadrante é negativo. sen ( a) a tg ( a) tg ( a) cos ( a) a. Determine: a) cos 7 b) tg c) cotg 0 a) cos 7 cos (0 ) cos 0? cos sen 0? sen?? tg tg 0 b) tg tg ( 0 ) tg? tg 0? ( ) ( )? ( ) ( )? ( ) tg 0 c) cotg 0 cotg (0 )? tg tg (0 ) tg 0 tg (? )? ( ) ( )? ( ) Usando as fórmulas de adição e subtração, rove que cos ( x) e sen ( x). cos ( x) cos? sen? sen ( x) sen?? cos

53 7 Se x y 0, determine ( cos y) ( sen y). x y 0 ( cos y) ( sen y) cos x? cos y cos y sen x? sen y sen y (? cos y? sen y) cos (x y) ( ) ( cos 0 ) 8 (Unifes-SP) A exressão sen (x y)? cos y cos (x y)? sen y é equivalente a: a) sen (x y) c) e) cos (x y) b) cos (x) d) sen (x) sen (x y)? cos y cos (x y)? sen y sen (x y y) 9 Determine o valor de sen ( x ), sabendo que 7 ( ) 7 sen x, ; 0 x sen x 7 9 cosseno ositivo, ois 0 x. ( ) ( x) sen x sen sen?? cos? 7? 8 e 0 x. 8

54 0 Determine o valor de sen (a b)? sen (a b) em função de sen a e sen b. sen a sen b sen (a b)? sen (a b) (sen a? cos b sen b? cos a)? (sen a? cos b sen b? cos a) sen a? cos b sen b? cos a sen a ( sen b) sen b ( sen a) sen a sen a? sen b sen b sen a? sen b sen a sen b Determine o valor da exressão: A sen 70? cos sen? cos 70. A sen 70? cos sen? cos 70 sen (70 ) sen Se cotg a e cotg b, determine tg (a b). 7 9 cotg a tg a cotg a cotg b tg b cotg b tg a tg b tg (a b) 7 tg a? tg b? 9

55 Resolva a equação. multilicando a equação or { } S x IR x k, k Z, temos:??? Sabendo que cos sen, temos: cos? sen? ( ) ( ) sen x k x k, k Z S x IR x { k, k Z } Resolva a equação no intervalo 0 x. ; 0 x, { } S 0, Multilicando a equação or, temos: sen x Sabendo que sen e cos, temos: sen? cos? x k ( ) ( ) sen x x k x 0 x k x S 0, { } k ou

56 ( ) ( ) 0 no intervalo 0 x. Resolva a equação sen x cos x cos ( ) ( ), sen x cos cos 0; 0 x x sen?? cos cos? sen? { } S 0, 0 0 elevando os dois membros ao quadrado, temos: sen x? cos x? 0 sen 0 x 0 k ou x k x k ou x k Então, x 0 ou x. S 0, { } (FGV-SP) Conhecidas as relações trigonométricas cos (a b) cos a? cos b sen a? sen b e sen (a b) sen a? cos b sen b? cos a, a) obtenha, justificando, a exressão de em função de ; cos x tg a tg b b) obtenha, justificando, a exressão da tg (a b) em função de tg a e tg b. tg (a b) tg a? tg b a) cos (a b) cos a? cos b sen a? sen b; sen (a b) sen a? cos b sen b? cos a cos (x x)?? cos x sen x cos x ( cos x) cos x sen (a b) sen a? cos b sen b? cos a b) tg (a b) cos (a b) cos a? cos b sen a? sen b Dividindo o numerador e o denominador or cos a? cos b, temos: sen a? cos b sen b? cos a sen a sen b cos a? cos b cos a cos b tg a tg b cos a? cos b sen a? sen b sen a? sen b tg a? tg b cos a? cos b cos a? cos b tg a tg b Então, tg (a b) tg a? tg b

57 . 8 7 Se cossec x e < x <, determine. cossec x o_ ( quadrante) o_ ( quadrante)??? ( ) 8 Se a, determine em função de a. a a elevando os dois membros ao quadrado, temos: ( ) a sen x?? cos x a? a a? a 9 Se a cos 0? cos 0, determine a. a cos 0? cos 0 a??? a? 7

58 0 (FGV-SP) No intervalo [0, ], a equação trigonométrica tem raízes cuja soma vale: a) c) e) b) d) No intervalo [0, ], temos:? 0 ( ) 0 0 ou 0 Se 0 sen 0 x 0, x, x Se 0 cos x, x soma 0 (Fuvest-SP) Determine todos os valores de x ertencentes ao intervalo [0, ] que satisfazem a equação: cos x. S,,, 7,,, 7, { } ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )? 0 ( ) 0 x, x, x, x 7 sen x 0 sen x sen x x, x, x 7, x S,,, 7,,, 7, { } 8

59 cos (Fuvest-SP) Se tg, então o valor de é: sen a) c) b) d) tg sen sen cos cos sen cos ( cos ) cos cos e sen cos cos sen sen sen? cos? cos? cos cos? cos sen 9 e) Resolva a equação?. { } S x IR x k, k Z?? sen x x k, k Z S x IR x { } k, k Z k Se m, determine. m m m sen x cos x m cos x? m m m 9

60 Exresse sen a em função de sen a. sen a sen a sen a sen (a a) sen a sen a? cos a sen a? cos a sen a sen a? cos a sen a ( sen a) sen a sen a? cos a sen a sen a sen a sen a ( sen a) sen a sen a sen a sen a sen a sen a sen a sen a sen a sen a (UFAL) O ângulo do vértice de um triângulo isósceles é um ângulo agudo. Se a tangente desse ângulo é igual ao dobro do quadrado de seu seno, determine o cosseno da soma dos ângulos da base. A tg sen sen sen cos sen sen cos cos? sen sen sen Se, a soma dos ângulos da base é, ou seja, cos. B C 7 (ITA-SP) Sendo a e b os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que sen b cos b 0, então sen a é igual a: a) b) c) d) 8 8 e) zero sen b cos b 0 ( sen b? cos b) ( cos b ) 0 sen b? cos b cos b 0 cos b (sen b ) 0 cos b ( sen b) 0 cos b 0 cos b cos b? 8 Sendo o triângulo retângulo, a b 90 e sen a cos b; então, sen a cos b 8. 0

61 8 (Unicam-SP) Considere a equação trigonométrica sen cos sen 0. a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de ara os quais cos 0. b) Encontre todos os valores de cos que são soluções da equação. ou sen cos sen 0 sen cos? sen? cos 0 sen cos sen? cos 0 a) Se cos 0 sen Substituindo na equação: ()? 0 ()? 0. (não anula a exressão) b) sen cos sen? cos 0 Dividindo a igualdade or cos 0, temos: tg tg tg tg 8 0 ou tg sec tg sec cos cos ou sec tg sec cos Portanto, cos ou cos. cos. 0 9 Determine: a) sen 7 0 b) cos 7 0 c) tg 7 0 a) sen 7 0 sen 7 0 b) cos 7 0 c) tg 7 0 cos cos cos sen 7 0 cos 7 0 ( )? ( ) tg 7 0? ( ) ( )

62 0 Se, determine A?? ara 0, x,. x é arco do rimeiro quadrante. A???? A A Seja x um arco do o quadrante e x é arco do rimeiro quadrante. m m. Determine. m, m m, m Se tg x, determine. tg x tg x 7? 7 7

63 Se tg x, determine tg x. tg x tg x tg x? Se 7, determine, sabendo que x é um arco do o quadrante. elevando ao quadrado os dois membros, temos: Determine o conjunto verdade da equação { } no intervalo [0, ]. S,? ( ) cos x S, { } x ou x

64 O valor numérico da exressão A??, ara x, é: a) 0 c) e) b) d) A??, ara x?? A? A sen? sen A 7 Determine no triângulo da figura a seguir. O triângulo é retângulo; então, x x 90 x 90 x 0 sen 0 Portanto, cos 0.

65 8 Se cossec x e, x,, determine tg x. Se cossec x No segundo quadrante,, 0; ortanto, 9 x cos ( x) tg ( ) cos ( x) cos ( x) x tg ( ) 9 Se cos x, determine o valor de, sabendo que x é um arco do o quadrante. cos x 9 No segundo quadrante, o seno é ositivo; ortanto,. 8 9

66 0 Se tg sen e cos 0, determine o valor de tg. 0 tg sen ; cos 0 tg tg sen sen tg sen cos tg? sec tg? sec tg 0 tg ( sec ) 0 tg 0 0 e sec (não existe ) tg 0 Determine a soma das raízes da equação no intervalo [0, ]. ; [0, ]? cos x 0 ou 0 ( ) 0 Se 0 sen 0 x 0 ou x Se 0 cos x x k x ou x soma 0 k

67 . Transforme cos 8x em roduto.? 8x x cos 8x cos cos 8x x?? cos 0 cos 0 Simlifique a exressão:. cotg 0 sen 0 sen 0 cos 0 cos 0 cos 0 0 cos 0 0? cos 0? cos 0 sen 0 sen 0 sen 0 0? cos 0 0 sen 0? cos 0 cotg 0 Fatorando a exressão sen x sen x, obtemos: a)? c)? e)? b)? d)? Lembrando que: sen m sen n sen m n cos m n? e sen m sen n sen m n m n? cos, teremos: ( )? ( ) x ( x?? ) x ( x? )?????? sen? x? sen? x? 7

68 Transforme em roduto a soma A cos 7x. A cos 7x A x x cos 7x x cos 7x?? A?? A ( ) A x x x (? cos ) A? (? ) A?? x?? Ao transformarmos em roduto a soma A, obtemos: a)? c)? e) sen x? b)? d)? A x A? x???? A sen x? 7 Assinale a alternativa correta: a) sen 0 sen 0 sen 0 d) sen 0 sen 0 sen 0 b) sen 0 sen 0 sen 0? cos 0 e) sen 0 sen 0 cos 0 c) sen 0 sen 0 sen 80 Alternativa e sen 0 sen 0 sen 0? cos 0?? cos 0 cos 0 8

69 8 Fatore a exressão: A A. x? x? 9 Fatore a exressão: A sen x sen x. A? A sen x sen x A ( )? ( ) x x x x x??? cos A??? A??? A sen (x)?? A? 0 Resolva a equação no intervalo [0, ]. 9 S 0, { },,,,,, 7, ; [0, ] 0? 0 0 ou 0 Se 0 sen 0 x k x k x 0, x, x, x, x Se 0 cos x k x k x, x, x x 7, S 0,,,,,,, 7, { }

70 { } Resolva a equação sen 7a sen a sen a 0. S a IR a k ou a k, k Z sen 7a sen a sen a 0 sen a? cos a sen a 0 sen a (cos a ) 0 sen a 0 ou cos a 0 Se sen a 0 sen a sen 0 a k a k, k Z Se cos a 0 cos a cos a cos a k a { } S a IR a k ou a k, k Z k O valor da exressão A sen? sen 7 é: a) c) e) b) d) A sen? sen 7 cos cos q Fazendo q e q 7, temos o sistema Substituindo, temos: q q q A cos cos q A cos cos q q

71 { } Considere a função f(x)? ( ). a) S 0,,, 9, 9, 7 9 a) Resolva a equação f(x) 0 no intervalo [0, ]. b) O gráfico de f ode intercetar a reta de equação y 8? Exlique sua resosta. f(x)? ( ) f(x) x? x ( ) f( x) (? ) a) f(x) 0 ( ) 0 0 ou 0 Se 0 sen 0 x k x k x 0, x, x Se 0 cos x k x k x 9 9, x 9, x 79 S 0,,, 9, 9, { 79 } b) f(x)? ( ) ( ) A imagem da função seno é o intervalo [, ], e a da função é o intervalo [, ]. Assim, a imagem do roduto será o intervalo [, ], que multilicado or resultará no intervalo,. O valor máximo será menor que 8. Logo, o gráfico não interceta a reta de equação y 8.. Demonstre a identidade:? tg x cos x, sendo x k.? tg x cos x, sendo x k Desenvolvendo o rimeiro membro, temos:? tg x?? sen x ( cos x) cos x (igual ao o membro) 7

72 Mostre que sec x cossec x sec x cossec x tg x, com 0. tg x, com 0 Desenvolvendo o rimeiro membro, temos: sec x cossec x? cos x tg x (igual ao membro) o_ Demonstre a identidade: cotg x tg x cotg x? sec x. cotg x tg x cotg x? sec x Desenvolvendo o rimeiro membro, temos: cotg x tg x sec x??? Desenvolvendo o segundo membro, temos: cotg x? sec x? sec x? cossec x? Os dois membros reresentam uma igualdade; então, a identidade se verifica. cossec x 7 Podemos dizer que a função y é idêntica a: a) sec x c) cossec x e) tg x b) sec x d) cossec x y ( ) ( ) sec x ( ) ( ) 7

73 8 Sejam as identidades: I. (? )? (tg x cotg x) II. (? )? (tg x cotg x) III. (? )? (tg x? cotg x) cossec x? sec x Podemos afirmar que: a) I e II são falsas, e III é verdadeira. d) todas são verdadeiras. b) I é verdadeira, e II e III são falsas. e) todas são falsas. c) I é falsa, e II e III são verdadeiras. I. (Falsa); (? )? (tg x cotg x) (? )? ( ) sen x cos x. II. (Verdadeira); (? )? (tg x cotg x) (? )? ( ) sen x cos x. III. (Verdadeira); (? )? (tg x? cotg x) (? )???. cossec x? sec x 9 A exressão sen x é idêntica a: a) c) tg x e) cossec x b) d) sec x? sec x 7

74 70 A exressão (cotg x ) ( ) equivale a: a) cotg x c) cossec x e) sec x b) cotg x d) cossec x (cotg x ) ( ) cotg x? sen x cos x cotg x sen x cos x cotg x cossec x cossec x. 7 Desenvolvendo a função y sen x cos x, obtemos: a) c) tg x e) b) d) y sen x cos x (sen x cos x)? (sen x cos x) cos x cos x cos x ( ). 7 Demonstre a identidade: (cossec x cotg x) (cossec x cotg x) ( ) Desenvolvendo o rimeiro membro, temos: ( ) (cossec x cotg x) ( ) ( ) o (igual ao _ membro) 7

75 7 A exressão tg ( x)? cotg ( x) é idêntica a: a) tg x c) tg x b) d) tg ( x)? cotg ( x) tg ( x) tg tg x tg? tg x tg x tg x tg x tg x?? tg? tg x? tg tg x sec x sec x tg x tg x? tg ( x) tg x tg x? tg x tg x e) ( tg x) ( tg x) 7 Prove que cos a 8 cos a 8 cos a. cos a cos a sen a cos a cos a ( cos a) cos a Então: cos a cos a cos a ( cos a ) cos a ( cos a cos a ) cos a 8 cos a 8 cos a (igual ao o membro) 7

76 7 Mostre que sec x? sec x? cotg x Desenvolvendo o rimeiro membro, temos: sec x?? sec x cotg x. ( )?? sec x sec x? ( )? ( ) ( )? ( )? o_ cotg x (igual ao membro) Em questões como a 7, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I, e as falsas, na II. F V F F V 7 (UFPE) Analise as identidades abaixo: I II 0 0 sen x cos (x) sen x sen x cos x tg x? tg x sec x cotg x cotg x 0 0 (Falsa); sen x cos (x) ; ara x 0 0 (Verdadeira); sen x sen x cos x ( cos x) cos x cos x ( cos x) cos x sen x cos x (Falsa); tg x Se x 0 0 (Falsa);? tg x sec x Se x cotg x (Verdadeira); cotg x 7

77 Resolva a inequação 0 < <. S { x IR k x k ou k x k, k Z } 0 π π 0 S π x IR k x k ou k x { k, k Z } π 78 Quais números satisfazem e? ; S { } x IR k, x, k, k Z π π π π Os números que satisfazem as duas inequações estão entre e. S k { x IR, x, k, k Z } 77

78 79 Resolva a inequação tg x tg x ( ) ( ), sendo 0, x,. S x IR, x, ou, x, { } π π tg x 7π tg x tg x ( ) ( ) tg, x, ou 7, x,, x, ou 7, x,, x, ou, x, S x x ou x { IR,,,, } π 78

79 80 Quais os números que satisfazem ( ),? ( ), sen x? cos x,?, 0, 0 { } S x IR k, x, k, k Z π 0 z π k, x, k k, x, k S {x V k, x, k, k B} 8 Resolva a inequação < sen ; [0, ] no intervalo [0, ]. ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) c transformando em roduto, temos: sen?? os { } S x IR 7 x ( ) π x 7 x S x IR 7 x { } π 79

80 8 Determine os números que satisfazem e no intervalo [0, ]. S { } ; ; [0, ] π π π π O único onto em comum é. S { } 8 Determine os arcos que satisfazem a inequação,., { } S x IR k, x, k, k Z π π, x, S x IR k, x { }, k, k Z 80

81 8 Resolva a inequação sen x < cos x. 0 ( ) 0 0 { } S x IR k x k, k Z π x S x IR k x { k, k Z } π 8 Quais os arcos que satisfazem a inequação,, situados na rimeira determinação ositiva? S x IR, x, ou, x,,, { } π π S { } x IR, x,, ou x, π π 8

82 ( ) ( ) 0. 8 Resolva a inequação sen x sen x 0 { } S x IR 0 k x k, k Z sen sen ( x ) ( x ) 0 sen? cos? sen? cos? 0 cos? Como cos, temos 0. π 0 { } S x IR 0 k x k, k Z 8

83 87 Resolva a inequação? ( sen x) > 0. S x IR k x k, k Z? ( sen x) > 0 sen x > 0 sen x > 0 zeros de f: e { } A função seno está definida entre e. π π S { } x IR k x k, k Z 8

84 88 (Fuvest-SP) Determine os valores de x no intervalo ]0, [ ara os quais >. S x IR x ; ]0, [ Multilicando a equação or, temo s: cos e sen ( ) cos? sen?, então: { } π π k x k k x k x k Como x ]0, [, então: x. S x x { IR } k 8