Seno e Cosseno de arco trigonométrico

Transcrição

1 Caderno Unidade II Série Segmento: Pré-vestibular Resoluções Coleção: Alfa, Beta e Gama Disciplina: Matemática Volume: Unidade II: Série Seno e Cosseno de arco trigonométrico. sen90 cos80 sen70 ( ) ( ) cos0 cos60. A cos 5 sen0 cos 60. a) sen 0 sen 60 b) cos 0 cos 60 c) sen 5 sen 5 d) cos 5 cos 5 e) sen 0 sen 0 f ) cos 0 cos 0

2 Caderno Unidade II Série. Como x 0 temos: senx sen5x sen90 sen50 sen90 ( sen0 ) cos x cos0 cos60 5. Substituindo o 6 temos: cos 6 m sen 0 6 m 0 m 0 m 0 m 7 6. sen 0 sen 80 sen 0 ( sen 50 ) 0 ( sen 50 ) 0 7. S cos 0 cos cos cos S cos 0 cos cos cos S () 0 8. B cos 0 cos C 5 x AB ; y AC e z AF = Logo, sen x sen y sen z cos x cos y cos z sen sen sen cos cos cos sen sen sen cos cos cos

3 Caderno Unidade II Série 0. 0 x a) sen x x b) S sen x x ou x c) S ; 5 7 sen x x ou x 5 7 S,

4 Caderno Unidade II Série d) cos x 0 S {0} e) cos x 7 x ou x f) 7 S, 5 7 cos x ou S, 6 6

5 Caderno Unidade II Série. sen x sen x 0, 0 x. sen x(sen x ) 0 sen x 0 x 0 ou x ou x = ou sen x x S 0,,,. cos x 0, 0 x. cos x cos x x 0 ou x ou x S {0,, }. A sen x 5sen x 0, 0 < x < sen x 5 sen x (não convém) ou sen x. Com 0 < x <, temos x 6.. E sen x (sen x ) (sen x ), 0 x Não devemos dividir os dois membros da igualdade por sen x, pois perderíamos a solução vinda de sen x 0. Sendo assim, transferimos tudo para o primeiro membro e colocamos o fator comum em evidência. sen x (sen x ) (sen x ) 0 (sen x )(sen x ) 0 sen x 0 sen x x ou sen x 0 sen x x 5 ou x A soma vale

6 Caderno Unidade II Série 5. D cosx 0 x, cosx cosx cos x 0 C.E.: cos x cos x cos x cos xcos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cosx = Logo, x ou cos x 5 x. Então no intervalo 0 x < a maior raiz é (sen x )(cos x ) 0 com 0 x < sen x 0 sen x x ou cos x 0 cos x x S, 7. sen x cos x sen x, com x. sen x cos x sen x 0 sen x(cos x ) 0 sen x 0 x ou x ou cos x 0 cos x x 5 Portanto, x ou x 5 ou x x a) sen x S x x 6

7 Caderno Unidade II Série b) sen x 5 S x 0 x ou x 6 6 c) sen x 0 d) S x x cos x 5 S x 0 x ou x 7

8 Caderno Unidade II Série e) cos x 5 S x x f) cos x S {0} 9. D Observação: Onde está escrito cos 0 leia-se cos 0. sen x 0 8

9 Caderno Unidade II Série cos x 0 O subconjunto A do intervalo ]0, ] que satisfaz as duas condições é o intervalo,. 0. E Resolvendo em [0, ], a inequação cos x, temos: cos x x ou x 6 6 Portanto, a desigualdade apresenta soluções nos quadrantes.. D cos x sen x cos x Como 0 < x <.., cos x 8 9. A sen α cos α sen α Como está no terceiro quadrante, sen α

10 Caderno Unidade II Série. E 0 x, cos x e sen x m sen x cos x m m m m m m m m m m m 0 Resolvendo a equação, m ou m Assim: cos x m x sen x 0 cos x m x sen x S =,. E sen 0 cos 50 sen 60 cos 0 sen 0 cos 70 sen 0 ( cos 0 ) sen 0 cos 0 5. (sen )x ( cos )x sen 0 e 0 Temos uma equação do º grau em que a sen, b cos e c sen ( cos) sen (sen ) cos sen (cos sen ) cos cos x sen sen cos x sen ou cos x sen 6. A cos sen sen sen sen sen sen sen 0

11 Caderno Unidade II Série 7. C Elevando os dois membros da equação ao quadrado, temos: sen x cos x sen x sen x cos x cos x sen x cos x sen x cos x sen x cos x 8 8. C sen x cosx sen x cos x cos x cosx sen x sen x cosx sen x cos x cos x cos x sen x (cos x) sen x(cos x) cos x sen x cos x sen x 9. C sen α cos α sen α (sen α ) 0sen α sen α 0 e cos α 9 0 Como α está no quarto quadrante, sen α 0 e cos α Assim, sen α cos α A cos x sen x sen x sen x sen x sen x 0 sen x sen x sen x sen x ou sen x 5 As raízes compreendidas entre 0 e são e. 6 6 A soma delas é.

12 Caderno Unidade II Série. E cos x sen x 0 ( sen x) sen x 0 sen x sen x 0 () () () 5 ( ) 5 sen x ( ) sen x x 5 sen x 5 sen x x ou x 6 6 Como x,, então 5 x. 6. E sen x cos x sen x senx senx senx sen xsen x sen x sen x 0 sen x (sen x ) 0 sen x 0 ou sen x No intervalo 0 x, temos: 5 x 0 ou x ou x ou x Soma: B cos x sen x sen x, C.E: sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x 5 sen x x ou x 6 6 No intervalo 0 x <, a equação apresenta exatamente duas soluções.

13 Caderno Unidade II Série. ( cos x sen x)(cos x sen x) 0 cos x sen x 0 ou cos x sen x 0 º caso: cos x sen x 0 sen x sen x 0 sen x sen x 0 senx 5 5 sen x ( ) senx 7 sen x x ou x 6 6 º caso: cos x sen x 0 sen x sen x 0 sen x 5 7 sen x x ou x ou x ou x As soluções são os elementos do conjunto:,,,,, C sen x cos x 0 cos x cos x 0 Seja cos x t, temos t t 0 t ou t Ou seja, cos x (não convém) ou cos x Então, x ou x ou x 5 7 Soma: 5 ou 7 x 6. sen x cos x sen x cos x 0 sen x cos x (sen x cos x) 0 sen x 0 ou cos x 0 ou sen x cos x 0 º caso: sen x 0 x 0 ou x º caso: cos x 0

14 Caderno Unidade II Série x ou x º caso: sen x cos x 0 cos x cos x 0 cos x cos x x ou 5 x ou x ou x As soluções são os elementos do conjunto: 5 0,,,,,,, 7. C sen x sen x 0 Como sen x 0 para todo valor x (pois sen x ) a desigualdade é verdadeira sempre que: sen x 0 sen x 5 No intervalo 0 x <, temos x C x C (x) cos 6, x V (x) sen e 0 x 6 Sabemos que: L(x) V(x) C(x) x x L(x) sen cos 6 L() sen cos 6 L() sen cos

15 Caderno Unidade II Série L() 0 L() L() Como o custo e a venda são dados em milhares o lucro é de 000 reais. 9. D cos x cos sen x sen 0 Como são agudos de um triângulo retângulo, então portanto, sen cos. Como x é raiz da equação temos: cos cos sen sen 0 (substituindo sen cos ) cos cos cos 0 cos cos 0coscos 0 cos 0 (não convém) ou cos Logo, e. 6 e, 0. D x V (x) sen A função das vendas é máxima quando x 6 x 6 x sen, assim: 5