Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES INTERPOLAÇÃO

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1 Uversdade Federal do Ro Grade FURG Isttuto de Matemátca, Estatístca e Físca IMEF Edtal CAPES INTERPOLAÇÃO Pro. Atôo Mauríco Mederos Alves Proª Dese Mara Varella Martez

2 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II UNIDADE INTERPOLAÇÃO. INTRODUÇÃO A terolação é uma técca de aromação de dados ou uções bastate utlzada e se alca as segutes stuações: a) quado a eressão (le de assocação) da ução ão é cohecda, orém ossuímos um cojuto de valores obtdo, or eemlo, através de dados eermetas; b) quado é dícl calcular o valor da ução, devdo a comledade da le que a dee. Nesta udade estudaremos a terolação de uções ocado o teresse a rmera stuação, ctada aterormete. Cosdere um cojuto com + elemetos relacoados, da segute orma,,,,,,,, o ode a le que dee a ução ão é cohecda. Queremos obter, or eemlo,, ode,,...,, tal que. Podemos reresetar or meo de um olômo, ara todo,,,...,. Desta orma odemos estmar através de, ou seja, Observação: o símbolo dca que se trata de um valor aromado. Gracamete tal que

3 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL O objetvo a terolação olomal é determar um olômo da orma a a a tal que,... a ara todo,,,...,. O olômo é chamado olômo terolador. A segur vamos obter o olômo terolador através da resolução de um sstema lear.. INTERPOLAÇÃO LINEAR A PARTIR DA SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Para obter um olômo ara todo,,,...,, devemos ter:, ara todo,,,...,. que terola + otos cohecdos,, Como a a a... a etão a a a a a a a a a... a... a... a. Resolvedo-se o sstema obtém-se os coecetes. a do olômo,a,..., a Observação: Quado o olômo terolador tem a orma a a um) a terolação é dta terolação lear. Eemlo : Seja a ução (grau y deda elos otos, e, Determar, or terolação lear, o valor aromado de.. Como a terolação é lear, o olômo terolador é de grau um e tem a orma:

4 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II a. a Como e tem-se que a. a a. a. Desta orma recsamos resolver o segute sstema.a a a a. Da rmera equação do sstema temos que. Da seguda equação resulta que a a a a a. Logo. Como queremos calcular, vamos calcular... Portato é um valor aromado ara. Lembre-se que é um valor aromado em razão de que a le que dee a ução é descohecda. Além do método de terolação através da resolução de um sstema lear (ctado aterormete), estem outras ormas ara obter o olômo terolador, cohecdas como ormas de Lagrage e de Newto. Na seqüêca do teto estudaremos a orma de Newto ara terolação olomal.

5 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II.. FORMA DE NEWTON Cosdere,,..., determar o olômo tal que ode, otos dsttos. A orma de Newto cosste em que terola através dos otos,,...,,,,.,,,......,,,,...,......,,,,,,...,,,,, são costates obtdas a artr dos otos cohecdos, chamadas oeradores dereças dvddas. A segur vejamos como determar essas costates... DIFERENÇAS DIVIDIDAS Cosdere o cojuto de otos dsttos,,,,,...,, segute orma:,, os oeradores dereças dvddas são dedos da ordem zero,,, ordem,,,, ordem,,,,, ordem,,,...,,,...,,,..., ordem

6 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II De orma geérca odemos escrever:,,,,...,,,,,,...,.,,,,,,,,...,.,,,,,,,,,,,...,.,,...,,,...,,,,...,,.,,..., é chamada de dereça dvdda de ordem k da ução k os k+ otos dsttos.,,..., k Portato, dada uma ução tal que são cohecdos os valores, sobre ara,,,,...,, ode-se orgazar as dereças dvddas a segute tabela: X ordem ordem ordem ordem ordem,,,,,,,,,,,,,,,,,,...,

7 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II,,,,,,, Observe que os elemetos crculados a tabela são aqueles que aarecem a eressão,,,.,,,...,,,,..., Vejamos algus eemlos: Eemlo : Cosdere a ução, tabelada a segur. Usado a orma de Newto, determe o olômo que terola os otos dados e o valor aromado de A tabela de dereças dvddas é: X ordem ordem ordem 9 6

8 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II O olômo terolador tem a orma:,,, Portato o olômo que terola é: ou seja,. olômo terolador O valor aromado de é. Assm tem-se que: Ou ada.

9 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II Eemlo : Cosdere a ução, tabelada a segur. Usado a orma de Newto, determe o olômo que terola os otos dados e o valor aromado de, A tabela de dereças dvddas é: ordem ordem ordem ordem ordem O olômo terolador tem a orma:,,,,,,,,,, Portato o olômo que terola é:

10 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II O valor aromado de, é,. Assm tem-se que:,.,.,.,.,.,., 6.,.,., 6., 8. olômo terolador,.,.,.,.,.,.,9.,.,.,9. 7,,,,77 9 9,6,,,, ,,., Ou ada,,. Observação: Se os otos estão gualmete esaçados sgca,,..., que estamos em reseça de um caso artcular. Vejamos um eemlo. Eemlo : Cosdere a ução, tabelada a segur. Usado dereças dvddas, determe o olômo que terola os otos dados e o valor aromado de 8. X

11 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II A tabela de dereças dvddas é: ordem ordem ordem O olômo terolador tem a orma:,,, Portato o olômo que terola é: 6 7 olômo terolador O valor aromado de 8 é Assm tem-se que: Ou ada ERRO NA INTERPOLAÇÃO Além dos erros de arredodameto, ao se aromar uma ução or um olômo terolador de grau, comete-se um erro E tal que

12 Matemátca Básca ara Cêcas Socas II E ara todo o tervalo,. Neste mometo, ão será eto um estudo detalhado sobre erros, tedo em vsta a ecessdade do cohecmeto de algus cocetos matemátcos ada ão estudados. Bblograa Barroso, L. C., Barroso, M. M. A., Camos Flho, F. F., Carvalho, M. L. B., Maa, M. L Cálculo Numérco, Edtora Harbra, ed. São Paulo, 98. Gomes, S. C. P. Métodos Numércos: Teora e Programação, Edtora da Furg, ed. Ro Grade, 999. Moraes, D., Mars, J. M. Cálculo Numérco Comutacoal, Teora e Pratca, Edtora Atlas, ed. São Paulo, 99. Ruggero, M. A. G., Loes, V. L. R. Cálculo Numérco, Asectos Teórcos e Comutacoas, Ed. Makro Books, ed. São Paulo, 996.