2. NOÇÕES MATEMÁTICAS

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1 . NOÇÕES MATEMÁTICAS Este capítulo retoma algumas oções matemátcas ecessáras para uma boa compreesão de algus aspectos que serão mecoados e detalhados o presete trabalho. Algus destes aspectos podem abstrar do seso técco em egehara evolvdo em um trabalho que retome cocetos matemátcos ão muto comus como os que serão apresetados o decorrer desta obra. Para suprr alguma defcêca a explaação destas oções matemátcas é acoselhado o uso da bblografa clássca ctada o decorrer deste trabalho.. DIVISÃO SINTÉTICA DE POLINÔMIOS COM UMA VARIÁVEL A mportâca em se tratar de dvsão stétca de polômos (DSP) com uma varável se ecotra a sstemátca adotada por Dumot (994) e Noroha (998) para avalar umercamete tegras com sgulardades do tpo algébrca ξ m g dξ (.) que se ecotra faclmete em tegras do MEC e para o caso em que a tegral possu sgulardade qualquer a DSP pode ser utlzada para melhorar a precsão umérca do resultado. Com o tuto de uma melhor apresetação desta técca, cosdera-se um polômo p de grau l que será dvddo por outro polômo de grau m. Através da técca 6

2 de DSP, pode-se perceber que o grau do polômo quocete q será l m e que o polômo resto r será de grau m. Assm, é possível equacoar esta técca da forma q r p = +. (.) Através da Equação. e com auxílo de algumas propredades algébrcas se chega a q r p = (.3) e prossegudo, chega-se a p r = q +. (.4) De posse da Equação.4 e aplcado a tegral os dos membros, tem-se p dξ = q dξ + Ou, aplcado-se a equação.3, tem-se: r r p p dξ = dξ + d ξ r. (.5) d ξ. (.6) Como a prmera tegral do lado dreto correspode ao polômo q ota-se que se trata de uma tegral regular o que mplca que esta tegral pode ser avalada por uma smples quadratura de Gauss-Legedre. A seguda tegral, o etato, pode ser avalada aaltcamete, sedo que as expressões ecessáras para esta avalação se ecotram as mas dversas tabelas de tegração (GRADSHTEYN, 965). Como uma vatagem cal da utlzação da DSP se percebe que apeas o polômo r é ecessáro para que sea possível trasformar um tegrado sgular ou quasesgular em uma soma de uma tegral regular, que poderá ser resolvda através da quadratura de Gauss-Legedre, com uma outra tegral que poderá ser resolvda aaltcamete através do uso de tabelas de tegração clásscas. 7

3 Para ecotrar os coefcetes do polômo de r, se utlza a Equação. ξ de que será tratado ao logo do decorrer deste trabalho como pólo de aplcada à raz sgulardade ou quase-sgulardade, como será vsto com mas detalhes de cocetos a partr do próxmo capítulo. Aplcado ξ a equação., tem-se a relação r( ) p =. (.7) ξ No etato, exste a ecessdade de observar que podem exstr stuações que ada ão foram tratadas especfcamete o decorrer do desevolvmeto desta técca este trabalho. Uma delas está a possbldade de que o polômo teha sgulardade algébrca como a Equação. e, além dsso, este polômo pode ter uma raz real ( ξ ) ou uma raz complexa ( ξ = a ± b ) que é dado por um par cougado. Além dsso, ao vés de um polômo p, é possível que se teha uma fução qualquer g aproxmação polomal p de g é ecessára, sedo que aplcação da técca DSP à dvsão etre polômos p e.. Neste caso, uma r será obtdo pela Quado o polômo possu raz real e de multplcdade m como ( ξ ξ ) m = (.8) é ecessáro, prmeramete, que se obteha as dervadas de ordem feror ou gual à m de p para que sea possível ecotrar todos os coefcetes de r. Para este caso de raz real, a técca de DSP correspode aos prmeros m termos da expasão em sére de Taylor da parcela regular g em toro de ξ. Para mas detalhes sobre a técca de DSP cosultar apêdce A. Quado o polômo possu raz complexa ( ξ = a ± b ) o polômo r ão correspode à expasão da sére de Taylor da parcela regular g, pos exste a ecessdade de avalação smultâea da fução g em toro do par cougado o que é obtdo apeas com a aplcação da técca de DSP. 8

4 No tem (3.6) será tomado o cohecmeto da técca cohecda como Adção e Subtração de Termos (AST). Esta técca é utlzada como uma tetatva de regularzação da tegral do lado esquerdo da Equação.5 e, de forma smples, será possível perceber que as duas téccas (DSP e AST) têm uma semelhaça em comum a forma de tratar o tegrado sgular ou quase-sgular, á que é possível se chegar à técca de DSP com o mesmo procedmeto de adção e subtração de termos. Pode-se afrmar que o uso da técca de DSP é mas ampla que a AST, pos evolve, além do caso quado a raz é real, o caso quado a raz é complexa e formada por um par cougado, mostrado que esta técca de DSP pode ser utlzada como uma forma mas precsa e geral de se avalar umercamete tegras sgulares. No tem 3.6 será mostrado um exemplo em que mostra o mpacto desta técca de DSP com relação à regularzação de uma tegral.. DIVISÃO SINTÉTICA DE POLINÔMIOS COM DUAS VARIÁVEIS Após um logo vestmeto em estudos a tetatva de descobrr a lteratura algo relacoado com DSP para polômos com mas de uma varável fo possível perceber que ão exstem trabalhos dspoíves que tratam de solucoar este caso. Isto gera um grade problema a extesão da técca que fo proposta por Dumot e Noroha, tedo em vsta que a resolução de tegras com sgulardade algébrca fo baseada este coceto de DSP, sedo que para o caso de aálse bdmesoal o problema a ser tratado é udmesoal. Para o caso de uma aálse trdmesoal, ode as tegras são bdmesoas a solução através da DSP ão podera ser utlzada, tedo em vsta a ão exstêca, em lteratura matemátca, da extesão da mesma para polômos com duas varáves. A mportâca em se tratar de dvsão stétca de polômos (DSP) com duas varáves se ecotra a sstemátca adotada por Dumot (994) e Noroha (998) para avalar umercamete tegras com sgulardades do tpo algébrca. Da mesma forma que 9

5 o tem ateror, serão fetas cosderações desta técca aplcada para o caso de resolver tegras bdmesoas em MEC ηξ r ( ξ, η) ( ξ, η) g dξdη (.9) ode ξ e η correspodem às coordeadas retagulares atural, sedo que cada uma vara de a. Este tpo de tegral é faclmete ecotrado em um couto de tegras do MEC para o caso de aálse trdmesoal. Noroha (998) propôs uma extesão desta técca de DSP para polômos com duas varáves através da extesão do cohecmeto da técca exstete para o caso de polômos udmesoas. Esse mesmo pesqusador tratou de lustrar o que sera uma extesão do coceto de DSP aplcado a tegras bdmesoas (Equação.9), cosderado que r sera dado pela dstâca etre um poto (pólo) a superfíce de um elemeto de tegração e um poto qualquer deste elemeto, sedo que r é dado este caso por: = ( ξ ξ ) + ( η η ) r. (.) Fgura. Elemeto de tegração bdmesoal com o MEC Ao substtur a equação. a equação.9 e cosderado que a prmera tegral será feta a dreção de ξ, tem-se que a tegral da equação. poderá ser escrta como:

6 ηξ ηξ g ( ξ, η) R ( η) ξ R ( η) ( ξ ξ ) + ( η η ) R ( η) ( ξ ξ ) + ( η η ) dξdη. dξdη + ηξ R ( η) ξ ( ξ ξ ) + ( η η ) dξdη + (.) Tal como costa a equação 5.3, quado se cosdera que a tegração será efetuada a dreção de ξ, tem-se a expressão ξ = ξ ± ( η ) P η, (.) ode ξ P é a coordeada do pólo a dreção ξ. Logo ξ P, além de varável, é complexo. Assm, aplcado esta equação complexa a parte regular do tegrado se tem a expressão ( ξ η) = g( ξ ± ( η η ), η) g( η) g P,, (.3) e podemos admtr que ( ) a ( η) b ( η) g = +, (.4) η ode a ( η) e b ( η) represetam a parte real e magára de g ( η) por aaloga às equações A., A.7 e A.8, tem-se as expressões R ( ) ( η) η = b e R ( ) ( ) ( ) η a η R η ξ η η, respectvamete. Logo, =. (.5) ode, R ( η) e R ( η) correspodem aos coefcetes do polômo resto ( R ( ξ,η) procedmeto smlar a este podera ter sdo efetuado a dreção η. P ). Um No etato, o que se desea com a aplcação da técca de dvsão stétca para a tegral da equação.9 é que haa um termo regular o qual é possível ser utlzado a quadratura de Gauss-Legedre, sedo que sso é possível para a prmera tegral da equação., mas também é deseado que os termos restates possam ser avalados aaltcamete e o que se percebe, para este caso de sgulardade algébrca adotada, é que as tegras restates são tão dfíces de avalar quato a tegral da equação.9 e, cosderado um caso geral em que a parcela regular ão fosse polomal, mas uma fução qualquer, a avalação aalítca sera mpossível (NORONHA, 998).

7 Isso tudo permte coclur que uma avalação smlar à desevolvda para as tegras udmesoas, fazedo uso de um sstema de coordeadas retagulares, voltada para avalar tegras bdmesoas com fuções de sgulardade algébrca que compõe o tegrado ão pode ser cosderada. Isto se deve ao fato da própra atureza do pólo ser varável (Equação.), fazedo com que a técca de DSP com duas varáves ão obteha a mesma efcêca, tal como em polômos de uma varável. Logo, uma alteratva para solucoar este caso se faz ecessára e será apresetada o capítulo 5..3 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Neste tem serão apresetadas duas téccas comumete utlzadas para calcular umercamete tegras os mas dversos métodos umércos exstetes em egehara, detre eles o MEC. Serão fetas apresetações dvduas de cada técca para avalações de tegras udmesoas, embora a extesão destas téccas para avalar tegras bdmesoas é algo bastate smples e aálogo ao caso de avalação de tegras udmesoas, sedo que estas servem como uma base sólda de solução para tegras bdmesoas (solução por duas tegras udmesoas) e trdmesoas (solução por 3 tegras udmesoas). O procedmeto de avalação das tegras udmesoas e bdmesoas, umercamete, é bascamete o mesmo, tal como se pode ver abaxo: ode C e ξ f η ξ dξ C f f ( ξ, η) dξdη C f ( ξ, η ),., C são os fatores de peso e as fuções ( ) avaladas os potos específcos ξ e η. f ξ e f ( η ) (.6) ξ, são fuções a serem

8 Nos tes a segur será apresetada cada técca separadamete, sedo que em um tercero tem será mostrado um procedmeto para avalação de tegras bdmesoas..3. Itegração de Neto-Cotes udmesoal A grade característca desta técca de tegração é avalar uma tegral em potos gualmete espaçados em seu domío de tegração. Assm, para potos se pode tegrar exatamete um polômo de grau e a fução pode ser tegrada da segute forma: I = b ξ (.7) a b f a = ( ) dξ λ dξ f, ode λ λ é dado pela expressão ξ ξ λ =. (.8) = ξ ξ Esta expressão é cohecda como polômo de Lagrage que forece valor utáro para a abscssa ξ e valor ulo para as outras abscssas. Ao avalar a expressão.7, chega-se à expressão I = b f a = ( ) dξ ( b a) N f, ξ (.9) sedo que N são as costates de Neto-Cotes dadas a tabela.. 3

9 Tabela. Costates de Neto-Cotes. Número de tervalos () N N N N 3 N 4 N Itegração de Gauss-Legedre udmesoal Esta técca é a mas utlzada para se resolver umercamete uma tegral. Dos motvos comprovam a afrmação ateror, são eles: prmero, os potos são poscoados de tal forma que a melhor precsão sea obtda; segudo, quado se tem potos, obtém-se cógtas ( ξ, f polômo de grau. ) o que mplca que potos favorecem a tegração exata de um O procedmeto para se avalar uma tegral umercamete é semelhate ao da técca ateror. Porém, tato as abscssas quato o valor da fução aplcada em cada abscssa são descohecdos, como fo tratado acma. I = b f a = ( ) dξ G f, ξ (.) 4

10 Número de Potos () Tabela. Abscssas e pesos de Gauss-Legedre. ξ * G *.. ± ± ± ± ± ± ± ± *Estes valores foram gerados para um tervalo (-,) Note que os valores acma foram gerados para um tervalo que va de - a. Estes tervalos são os mas costumeramete utlzados a lteratura sobre métodos umércos em geral (Método dos elemetos ftos, Métodos dos elemetos de cotoro, etc.). Ao logo deste trabalho serão utlzados tervalos varado de a. Logo, será ecessáro fazer uma mudaça os valores que costam a tabela., sedo que para ' ecotrar a ova abscssa ξ é ecessáro fazer a segute trasformação: ' a + b b a ξ = + ξ. (.) Para ecotrar os ovos pesos, para tal tervalo, utlzar-se-á a segute expressão: G a + b ' = G. (.) 5

11 .3.3 Itegração umérca bdmesoal O processo utlzado para avalar tegras udmesoas pode ser faclmete esteddo para avalar fuções de duas ou mas varáves, tal como mostra a seguda expressão de.6. Neste tem serão dadas apeas oções de como avalar tegras bdmesoas, cuas resoluções em MEC, fazem parte do obetvo deste trabalho. Será dada êfase à extesão da técca de tegração do tpo Gauss-Legedre, avalado tegras do tpo I d ( ξ η) dξdη = f,. (.3) c b a É mportate dexar claro que o modo de se avalar uma tegral umercamete através da técca de Gauss-Legedre é muto semelhate à técca de Neto-Cotes, tal como fo vsto os tes.3. e.3., ou sea, o procedmeto é smlar e ão será tratado aqu. Ao cotuar com a extesão da avalação da técca de Gauss-Legedre para tegras bdmesoas a prmera oção que se precsa ter é saber que uma tegral bdmesoal é resolvda, prmeramete, a tegral tera para que posterormete, a tegral extera sea calcula. Por exemplo, cosdera-se a resolução da tegral tera a dreção ξ da segute forma: I = I = d c I dη b a f m m ( ξ, η) dξ G f ( ξ, η) g( η). = (.4) Note que fo utlzado a expressão. para avalar a seguda tegral ( I : Equação.4) e de posse de g ( η) é possível avalar a últma tegral, pos I d g c = ( ) dη G g( η ) η. (.5) 6

12 É teressate otar que as abscssas, bem como os pesos, a serem utlzados estes procedmetos de se avalar a tegral bdmesoal (Equação.3) são os mesmos que costam a tabela.. Isto mplca em dzer que o procedmeto de se resolver uma tegral bdmesoal com a técca de Gauss-Legedre é, a realdade, resolver duas tegras udmesoas, sedo que as abscssas e os pesos são os mesmos da tabela. para ambas as dreções, para o tervalo de - a. Itervalos dferetes mplcam em abscssas e pesos dferetes (Equações. e.). Através das expressões.4 e.5, chega-se à expressão fal que efetva a avalação da tegral bdmesoal (Equação.3), tal como se pode ver abaxo: I = d b f c a = = m m (, η) dξdη G G f ( ξ, η ) ξ. (.5).4 ESTUDO SOBRE QUÁDRICAS Neste tem serão vstos algus tópcos avaçados de Álgebra Lear. No prmero subtem serão vstos algus cocetos prelmares que audarão a compreeder a déa prcpal do estudo sobre a teora de quádrcas, sedo que esta teora fo utlzada para desevolver um procedmeto alteratvo este trabalho que é a técca de tegração umérca com pesos específcos. No capítulo 5 será vsto com mas detalhes a ecessdade de se utlzar um procedmeto matemátco alteratvo e elegate como o que fo utlzado..4. Formas Bleares Para uma fução V : V K ser classfcada como sedo uma forma blear terá que satsfazer as segutes codções:. λ u + u, v) = λ( u, v) + ( u, v), K, u, u, v V (.6) ( λ 7

13 . ( u, λ v v ) = λ( u, v ) + ( u, v ), λ K, u, v v V. +, Sea V : V K uma forma blear e α = { v...v } uma base de V. Seam X e Y dos vetores de V, tas como: X x x = x e Y y y = y. (.7) Assm, t ( ξ, η ) = X [ ] Y, ode [] é a matrz assocada à forma blear dada por: a a [ ] = a ( = v, v ). a a (.8) (.9).4. Formas Smétrcas Sabe-se, por meo de cocetos báscos de Álgebra Lear, que a cada base Β de V como, por exemplo, a base caôca, está assocada uma matrz [ ] B. Mas a frete será explcado com mas detalhes o motvo de explctar este tópco sobre formas smétrcas, mas é teressate apeas dzer o mometo que é mportate, para a formulação proposta este trabalho, que se possa cosegur uma base tal que [ ] B sea dagoal. Neste trabalho ão serão fetas provas de teoremas, apeas suas ctações quado ecessáro. Sabe-se, quado a fução ( ξ,η) é blear, que é possível ecotrar uma base 8

14 de tal forma que [ ] B sea uma matrz dagoal. Esta base exste para uma classe de fuções bem especal de formas bleares que são as formas smétrcas. Dz-se que ( ξ,η) é smétrca quado:. ( u, v) = ( v, u), u, v V. (.3).4.3 Formas Quadrátcas Da fução V : V K, fução blear e smétrca, def-se a fução f : V K sedo agora defda por f ( v) = g( u, v) e chamada de forma quadrátca. Algumas característcas especas podem ser otadas dretamete em uma fução com forma quadrátca, são elas:. f ( u + v) = f ( u) + ( u, v) + f ( v), u, v V (.3). f ( λv) = λ f( v), λ K, u, v V..4.4 Quádrcas Uma fução ( ξ,η ) (Equação 5.4) resposável por represetar a sgulardade da fução r ( ξ,η ) é dada por: (, η ) = a5ξ + a4η + a3ξη + aξ + aη a W + ξ. (.3) Através de mudaça de coordeadas e/ou traslações é possível reduzr a expressão.3 a uma forma mas smples. Nesta ova forma, pode-se recohecer o tpo de quádrca que é dado pela fução W. Aqu será mostrado os passos ecessáros para se fazer esta smplfcação. 9

15 Vale a pea mecoar que se trabalhará com fuções o espaço vetoral, tedo em vsta que o elemeto de cotoro alvo de estudo é o bdmesoal, e, também, será utlzado o sstema ortogoal de coordeadas cal o que sgfca que este sstema é formado por uma base ortoormal de, dcada pelos vetores, e k e o poto de orgem será fxado o. Isso é mportate devdo à possíves traslações ecessáras ao logo do processo descrto logo a segur. Uma quádrca em é uma superfíce formada pelos potos de cuas coordeadas em relação ao sstema verfcam uma equação do segute tpo: a + bη + pξη + Eξ + Fη + d = ξ, (.33) ode abd pef ea b,,,,, +. Cosdere, da expressão.33, apeas os termos do º grau, sedo agora cosderado uma ova fução a ser aalsada Q :, defda por: ( ξ, η) aξ + bη + pξη Q =. (.34) Agora, observe que Q ( ξ,η) é uma forma quadrátca em assocada à forma blear smétrca f cua matrz em relação à base caôca de [ ] = é dada por: a p f ca, (.35) p b ou sea, a p ξ Q ( ξ, η) = f (( ξ, η),( ξ, η) ) = ( ξ η). (.36) p b η A partr de agora, faz-se ecessáro fazer uso de um mportate teorema que exste a teora de álgebra lear, como se pode ver abaxo: TEOREMA I: Sea V um K espaço vetoral de dmesão. Se f Β s ( V, K ) etão exste uma base Β de V tal que [ f ] Β é uma matrz dagoal.

16 Através deste teorema se pode admtr uma base ortoormal Β = { v,v } tal que [ f ] Β é uma matrz dagoal. Assm, para cada v V, v = ξ ' v + η' v e, assm, obtém-se: Q ξ ', η' = λ ξ + ou sea, ( ) λ ξ ' λ η' ( ξ ', η' ) = ( ξ ' η' ) Q, (.37) ' λ ' η. Logo, percebe-se que ao aplcar a mudaça de base coveete, elma-se o termo cruzado de segudo grau das equações.3 e.33. Ao aplcar mudaça de coordeadas a equação.33 da quádrca, sedo que a matrz mudaça de base ([ M ] ) é dado com relação a cada autovalor ecotrado, gerado os autovetores ecessáros para compor [ M ], obtém-se a segute equação: λ ξ' + λ η' + E' ξ' + F' η' + d (.38) = A fm de tetar recohecer aquela quádrca é possível fazer uma traslação do segute tpo: x'' = x' α y'' = y' β. (.39) z'' = z' γ Assm, obtém-se uma ova mudaça de coordeadas que correspode, a verdade, a uma traslação. Coseqüetemete, tem-se a equação reduzda da quádrca o sstema { '', v v } o que faclta a forma de se detfcar a quádrca correspodete, mas este passo de recohecmeto ão é ecessáro para o desevolvmeto da técca aqu proposta.,