Apêndice 1-Tratamento de dados

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1 Apêdce 1-Tratameto de dados A faldade deste apêdce é formar algus procedmetos que serão adotados ao logo do curso o que dz respeto ao tratameto de dados epermetas. erão abordados suctamete a propagação de erros o método dos mímos quadrados e a cofecção de gráfcos. Icertezas e Propagação de erros: Essecalmete estem dos tpos de meddas que podemos fazer: meddas dretas cujo resultado é obtdo dretamete pela letura do pael de um strumeto de medda; e meddas dretas cujo valor é obtdo pela operação de gradezas que são meddas dretamete e portato possuem certezas assocadas a elas. Por eemplo medmos o comprmeto e uma largura de um retâgulo dretamete. A área desse retâgulo é obtda multplcado-se o comprmeto pela largura meddos. O comprmeto e a largura são meddas dretas e a área do retâgulo é uma medda dreta. Meddas Dretas: As certezas aparecem porque ão dspomos de strumetos de medda que os permtam dvdr ftamete a escala de medda. Dessa forma o valor de uma medda será trucado em algum poto para qualquer strumeto que se use. Em geral assummos que todos os strumetos de medda são corretamete costruídos ou seja os valores das dvsões e sub-dvsões que aparecem o seu pael estão corretos. O fato de termos que trucar uma medda em um dado valor sgfca que temos certeza que até esse valor a medda pode ser cosderada correta (ou eata). O restate é certo e devemos dar uma dcação da magtude dessa certeza. Por essa razão para mater a precsão do strumeto dada pelo fabrcate devemos fabrcar uma escala suplemetar dvddo a meor dvsão forecda pelo fabrcate em um certo úmero razoável de partes. Como essa ossa dvsão da meor escala do strumeto ão é acurada ela trsecamete cotém certezas. O procedmeto que adotamos para fazer o regstro correto de uma medda dreta etão é o segute: regstramos todos os algarsmos forecdos pela escala do strumeto e acrescetamos um outro algarsmo resultate da escala que cramos. O cojuto formado por esses algarsmos chama-se algarsmos sgfcatvos da medda e são esses algarsmos que utlzamos para regstrar qualquer medda. A certeza desse osso regstro será a meor dvsão da escala que fabrcamos. em perda de geeraldade a ossa dvsão da meor escala do strumeto deve ser feta por um dvsor de 10. Assm podemos dvdr a meor dvsão da escala em 10 partes (se a meor dvsão for muto grade) e esse caso a certeza sera um décmo da ossa dvsão; podemos dvd-la em 5 partes (se a meor dvsão do strumeto ão for tão grade como o caso ateror) e esse caso cada dvsão que cramos correspode a 1/5 (0) da meor dvsão do fabrcate e a certeza de ossa medda também; podemos subdvdr essa meor dvsão em duas partes (que é o caso mas comum) e esse caso cada dvsão que cramos correspode à metade da meor dvsão e a certeza também. Falmete se a escala do fabrcate for muto pequea de tal forma que ão seja razoável uma subdvsão adcoal da meor dvsão do strumeto devemos utlzar o meor valor da escala como o dígto certo da medda. Essa é uma forma coveete e razoável de estabelecermos o valor da certeza em meddas dretas e o crtéro para saber como devemos proceder em relação a sso depede do osso bom seso e das ossas codções para realzar a medda. Por eemplo com uma régua mlmetrada em codções boas de medda podemos o mámo subdvdr o mlímetro em duas partes e uma letura de um dado comprmeto podera ser 99

2 escrta por eemplo como (30 ± 005)cm se o comprmeto estver mas prómo do traço de 30cm ou (35 ± 005)cm se o comprmeto estver mas prómo do traço de 31cm. Esse crtéro va sempre depeder das codções da medda. ob codções ão muto boas deveríamos regstrar para essa medda o valor (3 ± 01)cm. Portato como dssemos o regstro correto da medda evolve a dcação de três formações como apresetamos o eemplo acma: L ( 35± 005)cm. (1) As formações que devem obrgatoramete aparecer o regstro de uma medda dreta (ou de qualquer medda) são o seu valor a sua udade e a sua certeza. Meddas Idretas Uma medda é dta dreta quado ela resulta da operação de duas ou mas gradezas cada uma delas medda com um certo grau de certeza. Dzemos que o erro cometdo em cada uma das gradezas meddas dretamete propaga-se para o resultado fal. A maera de determarmos a certeza de uma medda dreta ão é trval e depede do desevolvmeto de modelos estatístcos que ão remos abordar aqu. As meddas que remos realzar em osso curso obedecem à chamada estatístca de Gauss ou Gaussaa. Os detalhes podem ser ecotrados em tetos especalzados de estatístca. O resultado aalítco do tratameto estatístco utlzado a estatístca Gaussaa a determação do valor de uma gradeza f( 1... ) ode é uma gradeza epermetal que é defda em fução de gradezas 1 etc. que são meddas dretamete e portato possuem certezas assocadas a elas os dz que a certeza de é dada por: 1 f () ode cosderamos que as varáves são meddas depedetemete umas das outras. Esta fórmula é cohecda como fórmula de propagação quadrátca de erros. Nessa epressão as dervadas que aparecem sgfcam que devemos dervar a fução em relação a cada uma das varáves cosderado todas as outras varáves como costates. Essa forma de cálculo do erro propagado é chamada de erro médo. Este uma outra forma de cálculo de propagação de erros ode ão aparecem os quadrados dos termos da epressão acma que é cohecda como erro lmte. Esse tpo de erro ão ecotra suporte a teora estatístca e ão será adotado. Para eemplfcar vamos aplcar a Equação para um caso específco. Medmos a correte elétrca que passa por um codutor e a dfereça de potecal correspodete e queremos saber o valor da resstêca elétrca do codutor. Os valores meddos foram (V ± V ) para a voltagem e ( ± ) para a correte. O valor de R é dado por R V/ ou seja uma fução de V e e a certeza de R pode ser avalada usado a Equação : R R V V + R 1 V + V (3) 100

3 a certeza de R é a raz quadrada da epressão acma. O caso de uma fução ode ocorrem apeas produtos e quocetes como o eemplo acma é o mas comum de ser ecotrado o da-a-da do laboratóro. No eemplo acma o valor da fução pode ser fatorado o lado dreto da epressão levado a: R V V V + R V V +. (4) O caso mas comum que ocorre quado temos uma fução em que aparecem somete produtos e quocetes como o eemplo acma pode ser geeralzado para um úmero qualquer de varáves. Por eemplo se 1 /( 3 4 ) a aplcação da Equação e do desevolvmeto feto acma os leva a: (5) Quado ( 1... ) é formada apeas por produtos e quocetes ão mportado o úmero de varáves a Equação 5 os dz que o quadrado do erro relatvo da fução é gual à soma dos quadrados dos erros relatvos das varáves. O eemplo acma para o cálculo da certeza da resstêca é um caso partcular do uso da Equação 5 para duas varáves. Regstro correto de uma medda Um aspecto muto mportate dz respeto ao regstro correto da medda. Uma regra geral é adotada: A certeza de uma medda dreta é regstrada com dos algarsmos sgfcatvos dferetes de zero. Para eemplfcar vamos supor que tehamos feto as segutes meddas: V (591 ± 001)V e (083 ± 001)mA. O valor de R segudo essas meddas é 711Ω e a certeza calculada pela fórmula de propagação de erros é R Ω. Empregado-se as regras acma resulta para a certeza após o trucameto e arredodameto o valor δr 87Ω. Em fução desse resultado o regstro correto para o valor da resstêca após trucarmos seu valor a casa das dezeas e procedermos aos arredodametos adequados será: ( 710 ± 0087) Ω. R k (6) 101

4 Método dos Mímos Quadrados. Em mutas stuações do da-a-da do laboratóro observamos gradezas físcas que estão relacoadas etre s por alguma le ou fução cohecda. Neste caso gostaríamos de ecotrar quas são os parâmetros dessa fução que fazem com que a mesma melhor se ajuste aos dados coletados. Para sso usamos o método dos mímos quadrados. O método dos mímos quadrados é um método baseado o prcípo de máma verossmlhaça e que pode ser aplcado quado as dstrbuções de erros epermetas são gaussaas. O que a prátca acotece frequetemete. Além dsso a melhor fução f ( ) deve ser determada a partr de uma fução tetatva f ( ) f ( ; a1 a L a p ) prevamete escolhda. Isto sgfca que as varáves a serem ajustadas são os parâmetros a1 a L ap. Cosdere que um processo de medda de duas gradezas e obtemos um cojuto de potos epermetas que desgaremos por { }{ }... { } (7) ode a varável depedete é cosderada seta de erros e a varável tem certeza estatístca dada pelo desvo padrão. Na prátca a varável também apreseta erros estatístcos quado esses erros forem sgfcatvos eles podem ser trasferdos para a varável através das regras de propagação de erros. Cosdere agora o poto epermetal { }. Como estamos cosderado que a dstrbução estatístca de é gaussaa etão a probabldade P de ocorrêca desse poto é determada pela fução gaussaa de desdade de probabldade correspodete a: P C ep 1 µ (8) ode µ é o valor médo verdadero correspodete a e C é uma costate de ormalzação. Como a probabldade P de ocorrêca do cojuto dos potos epermetas é o produto das probabldades de ocorrêca de cada poto pos eles são estatstcamete depedetes temos que: C P P ep µ. (9) e substturmos o valor médo verdadero µ pela fução tetatva ( ) ( ; L ) teremos: C P P ep f f a1 a a p com 1 f ( ;a 1 a...a p ) C ep χ (10) 10

5 χ 1 f ( ;a 1 a...a p ). (11) egudo o prcípo da máma verossmlhaça a fução f ( ) f ( ; a1 a L a p ) que melhor se ajusta aos potos epermetas é aquela que mamza a probabldade se for cosderada como a fução verdadera. Portato tudo o que devemos fazer é determar os parâmetros a1 a L ap que mamzam P. Devdo à epoecal a epressão acma para P essa probabldade é uma fução decrescete de mmzar χ em relação aos parâmetros a1 a L ap. χ. Portato para mamzar P P basta Resumdo se f ( ; a1 a L a p ) é uma fução tetatva prevamete escolhda. Etão o método dos mímos quadrados cosste em determar os parâmetros a1 a L ap que mmzam a soma dos quadrados a Equação 11. teremos Nas stuações em que as certezas χ / ode ( ) são todas guas ou seja 1 L ( ; 1 L p. Nesses casos os parâmetros 1 f a a a a1 a L ap devem ser tas que mmzam. Note que um gráfco represeta a soma dos quadrados das dstâcas vertcas dos potos epermetas à curva que represeta f ( ). Regressão lear O problema da mmzação de χ o método dos mímos quadrados se tora especalmete smples quado a fução tetatva represeta uma reta ou seja f ( ) a + b. O problema do ajuste de uma reta a um cojuto de dados epermetas se chama regressão lear. Como esse caso a aplcação do método dos mímos quadrados é bastate smples vamos realzála aqu eplctamete para que você teha uma déa de como o método fucoa. Nosso problema cosste em mmzar a fução descrta a Equação 1: χ 1 (a + b) em relação aos parâmetros a e b. Para sso vamos dervar χ em relação a a e b e gualar essas dervadas a zero: (1) [ ] χ a (a + b) 0 1 χ b (a + b) 0. 1 [ ] (13) (14) 103

6 Rearrajado os termos podemos escrever o sstema de equações acma como: a + b a + b (15) (16) Para smplfcar a otação vamos defr: 1 ; ; ; ; Ao utlzarmos a ova otação obtemos o segute sstema de equações leares para as varáves a e b: a + b (17) a + b. (18) A solução desse sstema de equações pode ser faclmete obtda forecedo: a (19) e b. (0) As gradezas a e b foram obtdas em fução das varáves que possuem certezas estatístcas. Portato a e b também estão sujetas a erros estatístcos. uas certezas podem ser computadas através da fórmula de propagação de erros: a a 1 b b 1 a b (1) () (3). (4) 104

7 Como as gradezas a e b foram obtdas através das mesmas gradezas elas devem estar estatstcamete correlacoadas. A covarâca dessas duas gradezas pode ser calculada através da a b fórmula ab forecedo: 1 ab. (5) Apesar de smples esses cálculos são muto trabalhosos! Por sso em ossas aálses vamos sempre utlzar um programa de computador para fazer a regressão lear. Gráfcos regras geras Na cofecção dos gráfcos que vamos elaborar ao logo do curso algumas regras geras devem ser observadas: 1) Em todos os gráfcos este uma relação aalítca lear cohecda etre as varáves depedetes e depedetes. Por eemplo a le de Ohm ode V R. Nessas codções podemos smplfcar o problema do traçado dos gráfcos o que cocere às barras de erro. Embora as meddas das varáves depedetes teham certezas assocadas a ela podemos smplfcar o problema usado o fato dessas varáves serem arbtráras (ou seja podem ter o valor que desejarmos que teham) e assumr que o seu valor é eato (certeza zero). A coseqüêca dsso é que desaparecem as barras de erro horzotas. e cometermos um erro a sua determação esse erro se mafestará a varável depedete que terá um valor maor ou meor que o que devera ter e o desvo-padrão da regressão lear será afetado. ) A melhor reta que passa por um cojuto de dados epermetas é determada utlzado métodos umércos: o método dos mímos quadrados. Ele é aplcado quado cohecemos a relação aalítca etre as varáves (como é o osso caso ode a relação é dada pela fução lear). Em osso curso ós utlzaremos um programa de computador específco para realzar a regressão lear. 105